2018年高中数学微复习合辑

专题复习（一）数列

（-）知识梳理

1、等差数列（其中犯〃,p,q,kGN+）

（1）等差数列的通项公式：4=%+（〃—1）4推广形式：an=am+（n-m）d

（2）等差数列的前n项和公式：=

〃+。

（3）a,b,c成等差数列=2/j=a+c或》=幺」

2

（4）已知｛4｝为等差数列，^m+n-p+q,则+=4+4.

特别地，若〃?+〃=2左，则am+an=2ak.

（5）若｛a,,｝为等差数列，前n项和为S.，

则S“，52n-5„,S3n-S2n,……也成等差数列•

（6）等差数列的判定：

①定义法：*-a.=d（常数）=>数列｛%｝为等差数列.

②等差中项法：24=«„_1+an+ln数列｛%｝为等差数列.

（7）等差数列前n项和S“=〃q+曳pd,则使S,最大（或最小）的序号n的求法:

方法一：前n项和公式可以写成S“=g〃2+（%—：1）〃，

因此可以利用二次函数来求n的值；

a>0

方法二：①当4>0,d<0时，前n项和有最大值，由"一八求得n的值；

1«„+1《。

an<0

②当qvO,d>0时，前n项和有最小值，由〃八求得n的值.

1-N0

2、等比数列（其中叫n,p,q,kwN.）

nn

（1）等比数列的通项公式：a“=%qi推广形式：an=an,q-'

na^q=1

（2）等比数列的前n项和公式：Slt=<4（l—q"）_a「a“q°丰1

.1-q="q"

(3)a,b,c成等比数列n。？=ac或/?=±J^Z

(4)已知｛%｝为等比数列，若m+n=p+q,则a“=4,4.

特别地，若，”+〃=23则anian=a；.

(5)若｛%｝为等比数列，前n项和为5.，

则S“，S2n-Sn,Sin-S2n.....也成等比数列.

(6)等比数列的判定：

①定义法：智=q(常数)=数列｛a,,｝为等比数列.

②等比中项法：4=a,-a„+l=>数列｛q｝为等比数列.

3、求数列通项公式的常用方法

(1)已知数列｛%｝的前n项和S“=2〃2+〃+l,求数列｛%｝的通项公式.

分析：可以利用公式为[c进行求解.

解：当“22时，=S„-S„_,=2n2+n+1-[2(n-1)2+(n-1)+1]

=2n2+〃+l—(2/-4n+2+n—1+1)

=2n2+n+\—2n2+3n-2

=4n-l①

当几=1时，4=S]=4不适合①式

4〃=1

数列｛q｝的通项公式为%=<9

[4n-l,n>2

(2)已知数列｛4｝的前n项和S.=2a”+3,求数列｛4｝的通项公式.

S,,n=1

分析：可以利用公式q'。进行求解.

⑸-S"22

解：当〃22时，an=Sn-Sn_x=2an+3-(2an_t+3)=2an-2an_x

/.an-2a〃_i即2-=2(fi>2

2

当〃=1时，q=S[=2q+3ax=—3

.,.数列｛%｝是首项为-3,公比为2的等比数列..•.%=—3X2"T(〃GM)

(3)已知数列｛4｝中，q=l,且a,用一a,,=2",求数列｛%｝的通项公式.

分析：形如a„+1-a„=/(〃)可以利用累加法进行求解.

解：%-a”=2"

a2-4=2

q一出=2~

%一%=2'

将以上各式累加，得4—4=2+2?+23+2〃-|=苫三11=2"一2

，q,=2"-2+1=2”—1(〃22)①显然％=1适合①式

G

二数列｛4｝的通项公式为an=2"—1(“NJ

(4)已知数列｛4｝中，q=l,且第=岛，求数列｛4｝的通项公式.

分析：形如&a=/(〃)可以利用累乘法进行求解.

a2_1

%2

&=2

a23

幺=3

«34

3

4」T

%n

将以上各式累乘，得女堂幺2=1x2x3—,即&=,

a

a｝a2%n-\234na｝n

a=—(n>2)①显然4=1适合①式

nn

数列｛4｝的通项公式为a„=：(〃€—)

(5)已知数列｛4｝中，4=1,且4川=24+3,求数列｛4｝的通项公式.

分析：形如«,=+左可以通过构造一个等比数列｛《,+进行求解.

1+1manp｝

解：。,用=2%+3:.设a.+i+p=2@,+p'

即4+1=24+〃p=3；.。,什］+3=2幻+3

即一用+3=2又4+3=1+3=

4+3

二数列｛《,+3｝是首项为4,公比为2的等比数列.

二n+i

a“+3=4x2"T=2T:.an=2e/y

(6)已知数列&｝中，q=l,且见+产景R，求数列｛4｝的通项公式•

分析：通过取倒数进行求解.

两边取倒数，得二一=冬山=2+'-——-=2

%a„a,.all+lan

而L=i数列]-L是首项为i,公差为2的等差数列.

4la,.]

=1+(H-1)X2=2H-1.•.q,=—^―(〃eN+)

a.2〃-1

4

求数列通项公式练习题

(1)已知数列｛4｝的前n项和Sn=3/+〃，求数列｛q｝的通项公式.

(2)已知数列｛4｝的前n项和5„=3all+]+4,求数列｛4｝的通项公式.

(3)已知数列｛”“｝中，4=1,且4川=2〃，求数列｛«,｝的通项公式.

(4)已知数列｛4｝中，q=l,且誓=号，求数列｛《,｝的通项公式•

(5)已知数列｛q｝中，q=1,且4,=4«„_,+3(〃>2),求数列｛q｝的通项公式.

(6)已知数列｛q｝中，q=l,且勺=(〃N2),求数列｛%｝的通项公式.

3a“_1+1

5

4、数列求和的常用方法

<1>分组求和法：就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，进而利用等差

数列或等比数列的求和方法分别求和，然后再合并，从而得到该数列的和.

例题：若数列｛叫的通项公式为为=2"+2〃，求数列｛4｝的前n项和5“.

解：S„=q+4+«3+

=2'+2xl+22+2x2+23+2x3++2"+2〃

=(21+22+23++2")+2(1+2+3++〃)

2x(1—2")“〃(1+〃)

=----------+2x-------

1-22

=2m—2+〃(〃+1)

<2>裂项相消法：将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和

的目的.

适用范围：通项公式是一个分式的形式，并且分母是两个一次因式的乘积.

常见裂项公式：-------=-------

------------=~(~-----------)

(2n-l)(2n+l)22〃-12〃+1

---=-(-------)

〃(〃+%)knn+k

I-------产=~+Z-Vn)

+kk

例题：已知数列｛%｝的通项公式为4“J+2），求数列｛%｝的前n项和1,.

11

解：a”)

〃(〃+2)2nn+2

1

——(Id----

22n+1n+2

3«2+5〃

4(〃+l)5+2)

6

<3>错位相减法：①列出前n项和②乘公比③错位相减④整理得到前n项和的值

适用范围：适用于｛q｝是等差数列，他,｝是等比数列，求数列｛4d｝的前n项和7；.

例题：已知数列｛4｝的通项公式为。“=〃最，求数列｛4｝的前n项和7；,.

解：7；=lx；+2x*+3x*+(〃-1)击+①

=lxJ+2x—+%—++我/"国②

1(一)

①-②得匕」+一〃一〃+2

11=LL23+-L-nJn-+l=2__2_L+'=i_L

，行22222"2112"2"2向

1--

2

FC〃+2

••1=2-----

〃2"

(二)历年高考真题训练

1、（2011年高考全国卷I）等比数列｛4｝的各项均为正数，且24+34=1，后=9a2a6.

(I)求数列｛a,,｝的通项公式；

(II)设b“=log,O]+log3%+...+log3求数列，—,的前n项和.

7

2、(2014年高考全国卷I)已知数列｛叫的前〃项和为S“，4=1,「0,tzA+1=2S„-l,其中

4为常数.

(I)证明:an+2-an=2；

(II)是否存在4,使得｛4｝为等差数列？并说明理由.

3、(2014年高考全国卷H)已知数列｛3｝满足％=1,an+i=3an+\.

(I)证明是等比数列，并求｛《,｝的通项公式：

1113

(H)证明一+—+

4a2a„2

8

4、(2015年高考全国卷I)S„为数列｛4｝的前〃项和，已知4>0,。；+2%=4s“+3.

(I)求也｝的通项公式；

(II)设％=」一错误!未找到引用源。，求数列｛"｝的前〃项和.

《4+1

5、(2016年高考全国卷HI)已知数列｛4｝的前n项和S“=I+%,,其中4x0

(I)证明｛q｝是等比数列，并求其通项公式；

31

(II)若既=一，求X.

9

历年高考真题训练参考答案

1、解：（I）设数列｛%｝的公比为q,

由抬=9〃2。6，得=9。：=/==§

由己知可得为>0,故4

由2〃1+3%=1,得2q+3qq=1=>q=；

数列｛《｝的通项公式为4=9(y=..

(H)由(I)知，a.《

b“=log3%+log3a2+...+log3an=log,1+log3"++log3*

=-(1+2++”)

n(n+l)

-r~

i2〃

••・数歹！］｛'｝的前n项和为——

bn〃+1

aa,=AS-1①

2、解：（I）证明：当2时，（〃川+n―

①-②，得必,用一%4=4(5”一5,1)=4,(%—4-)=%,

4产°•,•4+「4-1=2，即4+2—4=丸•

（II）存在.

理由如下：假设存在4,使得｛%｝为等差数列，则有2%

10

由已知有4=1,44-1.,.生=2-1

由(I)知，q=/l+l

2(4—1)=l+A+l=>/1=4+2—an=4

二数列｛4一1｝是首项为1，公差为4的等差数列，=1+("-1)X4=4〃—3=2(2〃-1)-1

数列｛4“｝是首项为3,公差为4的等差数列，4“=3+(〃—l)x4=4〃-l=2x(2〃)—l

对于任意的〃eN*,an=2n-\又an+x-an=2

：.数列｛%｝是首项为1.公差为2的等差数列.

假设成立，故存在％=4使得数列｛%｝为等差数列.

3、解：(I)

(法一)证明:4+i=3a“+l..•设+/L=30“+；l

a.,“+=13an+2/12A=k=>A=—2

1

+-

11%2

a,用+]=3(a“+5)=>—3

1

a+—

一-,,2

又q+LO

1222

二数列”,+g3

是首项为大,公比为3的等比数列.

2

a.+；=|x3"T_3"3"1_3"-1

222

3〃_1

数列｛a,｝的通项公式为a„=y.

(法二)证明：all+i=3an+]

1c.10/1、

a+

„+i23%+1+53(a“+-)

r=1-=r~=3

an+a，，+2""+2

数列是首项为g,公比为3的等比数列.

11

13n-l

2-2

3"-1

.••数列｛q,｝的通项公式为%=35」.

3"-112

(H)证明：由(I)知凡-

'2a3"-]

n>l=>n-l>03n-1>3°=8一至一"3

I<--------

3n-l2X3"T

1,111"(1一三)313

+—<l+-+-r++—r=--------=-(1-----------)<-

2

an333"TJ_123"2

~3

±3

+2

4、解：（I）当〃=1时，《+冽=45]+3=44+3=4=3或4=一1（舍去）.

a-+3①

当“22时，+2«„_.=45„_,+3②

①-②，得a；+2q,-(a；_]+2a,l_l)=4atl

(«„+«,.->)=2(a“+

«„>0=2

数列&｝是首项为3,公差为2的等差数列.

・'.a”=3+（九一l）x2=2〃+l.

(II)由(I)知,—：—=____：____=_(_I____2_)

(2〃+1)(2〃+3)22n+l2〃+3

.・・数列｛2｝前n项和为:

4+4++b=­——)+++(------------)]=—(-------—)=---.

”235572〃+12〃+3232〃+36〃+9

5、解：(I)由题意得a[=&=1+初

故2w1,4=------4w0

1-291

12

，=1+4①

当〃22时，5„_,=1+^„_,②

①-②，得玛=幽,一2%_]=>4（2-1）=%1

由4声0,得。”/0.•.嗅=工一.

a

n力-1

1J

；.数列他“｝是首项为士，公比为E的等比数列.

）n-'.

"1-22-1

122

（II）由（I）得S〃=l+；l—!-（3）"T=l—（3）”

"i-z2-rz-r

由勒=||得i-（/产得

32A—13Z

即（£）5=（，解得2=—1.

专题复习（二）——三角函数

（-）知识梳理

TT

1=---rad~0.01745rad

180

1、角度制与弧度制的互化<

«57.30

①弧长/=aR

弧度制土191（。为弧度）

②扇形面积S=-aR-=-lR

22

扇形公式〈〃兀R

①弧长/=

180

角度制（〃为角度）

②扇形面积s=M

360

13

sina-±A/1-COS2a

©sin2cjf+cos2a=1=><cosa-±Vl-sin2a

(其中“土”由a所在象限确定)

②tana=2

3、同角三角函数恒等式1

“土”由a所在象限确定）

sin(a+2k7i)=sinasin()+a)=-sina

公式一<cos(6r+2k7v)=cosa公式二<cos(i+a)=-cosa

tan(a+2k兀)=tanatan(乃+a)=tana

sin(-a)=-sinasin(〃一a)=sina

公式三1cos(-of)=cosa公式四｛cos(乃一a)=-cosa

tan(-a)=tanatan(〃一a)=—tana

诱导公式sin(-----a)=cosasin(——F«)=cosa

2

公式五公式六,一

/冗X.

cos(--a)=sinacos(—+a)=-sina

加

s一./乃、

2-a)=-cos«sin(—+a)=-cosa

推论1

AKin(

冽推论2

cOS一,3万、.

2-a)=~sinacos(—+a)=sma

I

cos(cr-/?)=cosacos夕+sinasin0

余余正正号相反

cos(a+夕)=cosacos/?一sinasin(3

sin(a一夕)=sinacosp-cosasin0

正余余正号相同

5、差(和)角公式sin(a+£)=sinacos夕+cosasina

/八、tana—tan£

tan(a.0)=---------------

1+tanortanp

/c、tanQ+tan

tan(Q+J3)=---------------

1-tanatan0

14

sin2a=2sinacosansinacosa=—sin2a

2

cos2a=cos2a-sin2a

22

6、二倍角公式（倍角公式）.COc2/y-17cinzy—seinzy-'-COS2a

一,一2

-c2i21+cos2a

cos2a=2cos-«-1=>cosa=---------

2

32tana

1-tana

①，一=上-==2R（R为A/1BC外接圆的半径）

sinAsinBsinC

②。=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

7、正弦定理及推论.@sinA=—,sinB=—,sinC--

2R2R2R

@a:/?:c=sinA:sinB:sinC

有。sinAasinAbsinB

bsinBcsinCcsinC

2/2,b2+c2-a2

a=b+c-2Z?ccosA=>cosA=----------

2bc

8、余弦定理及推论.h2=a2+c2-2accosB=>cosB=-———

lac

22^,2a2+b2-c2

c=a+h-29«PACOSC=>cosrC=----------

lab

S=L"（a为底,h为高）

2

三角形面积公式』（人+）（为内切圆的半径）

9、Js=ra+crA4BC

2

S=—absinC=—acsinB=—hesinA

222

尸AsinM+e）+A）最小正周期为广普

10、求最小正周期的公式|y=Acos（s+8）+k/囱

y=Atan（s+e）+左的最小正周期为丁二g

15

(1)定义域：R，值域:[-1,1]

在+2%)二+2丘],ZeZ单调递增;

(2)单调性22；

在-+2k7v,—+2k7r，4eZ单调递减

当且仅当产y+2k兀(keZ)时，y

11、正弦函数丫二§也、ma!

(3)最值,

当且仅当x=-/+2^^eZ)时，ymin=-1.

(4)周期性：周期为24万(％eZ且k/0),最小正周期为2乃.

(5)奇偶性：y=sinx为RE1的奇函数.

-①为轴对称图形，对称轴为x=—+&肛ZeZ;

(6)对称性《

②为中心对称图形，对称中心为(k小G),keZ.

严sinxR

-^4n-3^\-2nM

(1)定义域：R,值域:[-1,1]

%、一’在[-万+2痴,2版■],%eZ单调递增;

(2)单倜性IL」

在[24匹万+2Z司/eZ单调递减.

⑶最值(当且仅当x=2而(keZ)时，)^=1；

(J))ExIS.\

12、余弦函数丫=«^「[当且仅当x=%+2"万伏eZ)时，ymin=-1.

(4)周期性：周期为26'(ZeZ且4/0),最小正周期为2万.

⑸奇偶性：y=cosx为R上的偶函数.

'①为轴对称图形，对称轴为x=A;r,keZ;

(6)对称性，rr

②为中心对称图形，对称中心为(工+版■,()),AGZ.

I2

尸cosxR

16

⑴定义域:+Z肛ZeZ：，值域：R

(2)单调性：在开区间(-工+版■，工+%万)次€2单调递增.

22

13、正切函数丫=12城1(3)周期性：周期为的'(ZeZ且上。0),最小正周期为万.

(4)奇偶性：y=tanx为奇函数.

'①不是轴对称图形；

(5)对称性，k兀

②是中心对称图形，对称中心为(丝,O)MwZ.

I2

14>简谐运动y

①asinox+8coscox=Va2+h2sin（s+夕）（其中tan夕=­）

15、三角恒等变换之辅助角公式a

(其中a>0)②asina）x+bcoscox=\la2+b2cos（（yx-9）（其中tan（p=­）

b

辅助角公式的证明如下：

证明：asinCOX+bcosCOX=（2~+b~（―J,"/—sinCOX+―J,"/—cosCOX）,

ab

①令一,-=cos（D,­.-=sin（D,

贝（IasinCOX+bcosCOX=+b“（sinCOXcos（p+cosCOXsin（p）

17

yjCT+b~sin(COX+^?)(其中tanO=­)

a

b

②令/="sin5,j-------------------=cos(p，则

yja2+b2yja2+b2

da~+〃(sinCOXsin(p+cosCOXcos(p)

asinCOX+bcosCOX

cos(69%-9),(其中tan0=—)

b

b

注：其中0的大小可以由sin。、cos。的符号确定。的象限，再由tan0的值求出；或由tan0=一和

a

（a,b）所在的象限来确定.

例：化简y=gsin2x+cos2x.

法一：逆用差（和）角公式

y=Gsin2x+cos2x=2(日sin2x+gcos2x)=2(sin2xcos+cos2xsin^-)=2sin(2x+令法

二：应用辅助角公式

y=A/3sin2x+cos2x=2sin(2x+—)(其中tan(p-)

6V336

（二）考点剖析

考点一：正、余弦定理，三角形面积公式的应用

An4

例1:在△A8C中，C=2B,77=1-

⑴求cosB；

（2）若BC=3,求S4ABC.

解：（1）由C=23和正弦定理得

AB_2

sinC=2sinBcosB=2*~r»sinC*cosBcosB=2AC=3

(2)设AC=3x,则43=4x.

由余弦定理得

22222

(3X)=(4X)+3-2X4XX3COSBf即9x='16x+9-16x

9

A7x2-16x+9=0解得x=l或％=,

当x=l时,AC=3,AB=4.•.S^A6c=3BAxBCxsin3=：x4x3x坐=24.

当工=3时，AC=亨，AB=^-:.S△ABC=^AXBCXSIII6=；x竿x3x坐=^/^.

18

考点二：利用正、余弦定理判断三角形的形状

例2:在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且3siiiA=(2b+c)sin3+(2c+b)sinC.

(1)求角A的大小；

(2)若sin3+sinC=L试判断△ABC的形状.

解：(1)2asinA=(2b+c)sin6+(2c+b)sinC

由正弦定理得2/=(28+c))+(2c+mc,即〃2=52+02+加①

由余弦定理得a2=fe2+c2—2bccosA

12万

/.-2Z?ccosA=bc^>cosA-——又0<A<%A-——.

23

(2)由①得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC

又sinB+sinC=1sinB=sinC=；

jrjr

又0<B<—,0<C<—：.B=C.1△ABC是等腰三角形.

22

考点三：三角恒等变换之辅助角公式：asincox+bcoscox=Ja)+〃sin(s+e)(其中tan(p=—

a

例3：已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2%,xeR

(1)求f(x)的最小正周期及最大值；

(2)求函数f(x)的单调递增区间；

1T

(3)若xw0,-,求函数f(x)的值域.

_2_

解：f\x)-2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=esin(2x+—)+1

4

(1)f(x)的最小正周期为T=,=7，最大值为/(幻3=0+1.

TTTTTT

(2)由一5+2左乃<2x+—<—+2k7r,kGZ

33冗I//冗[.

得-----FK714XW-----FK7T,k0兀

88

37r7T

二函数f(x)的单调递增区间为—3+%巴3+%万,k^Z

88

,、八兀R〜71571

(3)0<x<—/.—<2xH——

2444

二-----<sin(2x+—)<10<OsinX邛4)1

244

即。<f(x)<72+1.•・函数f(x)的值域为[0,V2+1]

19

即时训练：已知函数y=(sinx+cos%)2+2>/§cos2x-G，xeR

(1)求函数f(x)的最小正周期、最小值及单调递减区间;

7T

(2)当0<x<一时，求函数f(x)的值域.

2

(三)历年高题真题训练

1、(2012年高考全国卷I)已知仇c分别为AABC的三个内角A,8,C的对边，

acosC+>/3asinC—b—c-Q.

(I)求A；

(II)若a=2,A48c的面积为石，求"c.

2、(2013年高考全国卷I)如图，在△ABC中，ZABC=90°,AB=0BC=1,

尸为△ABC内一点，ZBPC=90°.

(I)若PB=一,求出；

2

(II)若NAP3=150。，求tanNPBA.

20

3、(2013年高考全国卷II)ZkABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB。

(I)求B；

(II)若b=2,求aABC面积的最大值。

4,(2015年高考全国卷II)△ABC中，。是8c上的点，40平分NK4C,

△ABD面积是△AOC面积的2倍.

sin/8

(I)求

sinNC'

(II)若40=1,OC=乎，求8。和AC的长.

21

5、(2016年高考全国卷I)ABC的内角A,B,C的对边分别别为a,b,c,已知

2cosC(«cosB+bcosA)=c.

(I)求C；

(II)若c=ABC的面积为主8,求ABC的周长.

2

6、(2017年高考全国卷I)4A5C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为一一