高教线性代数第五章二次型-课后习题答案

高教线性代数第五章二次型——课后习题答案

第五章二次型

1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。1)

4x1x22x1x32x2x3；

2)x222

12x1x22x24x2x34x3；

3)x22

13x22x1x22x1x36x2x3；

4)8x1x42x3x42x2x38x2x4；

5)xlx2xlx3xlx4x2x3x2x4x3x4；6)x222

12x2x44x1x24x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4；7)x2222

1x2x3x42x1x22x2x32x3x4。

解1)已知fxl,x2,x34x1x22x1x32x2x3,先作非退化线性替换

xlyly2

x2yly2(1)

x3y3

则

fxl,x2,x22

34yl4y24yly3

4y2

14y222

ly3y3y34y2

2y322

1y3y34y2,

再作非退化线性替换yl11

2zl2z3

y2z2

y3z3

则原二次型的标准形为

fx22

1,x2,x3zl4z2z2

3,

最后将（2）代入（1）,可得非退化线性替换为2）

（11XzzZ32121211x2zlz2z3（3）22x3z3

于是相应的替换矩阵为11102110221

T11001000100120

且有121,12010

100TAT040o

001

2）已知fxl,x2,x3xl2x1x22x24x2x34x3,222由配方法可得

fxl,x2,x3xl2x1x2x2x24x2x34x32222

xlx2x22x3，22于是可令

ylxlx2y2x22x3,

yx33

则原二次型的标准形为

fxl,x2,x3yly2,22且非退化线性替换为

xlyly22y3x2y22y3,

xy33

相应的替换矩阵为

112T012,001

且有

001101121001

TAT1101220120100

221024001000

(3)已知fxl,x2,x3xl3x22x1x22x1x36x2x3,22

由配方法可得

fxl,x2,x3xl2x1x22x1x32x2x3x2x34x24x2x3x322222

xlx2x32x2x3,22

于是可令

ylxlx2x3y22x2x3,

yx33

则原二次型的标准形为

fxl,x2,x3yly2,22

且非退化线性替换为13xyyy31212211x2y2y3,

22x3y3

相应的替换矩阵为1

TOO

且有12120321,21

11TAT23210011110133

0213001121212032100101

0o21000

(4)已知fxl,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4,先作非退化线性替换

xlyly4xy22

x3y3

x4y4

则

fxl,x2,x3,x48yly48y42y3y42y2y38y2y42

221111118y42y4yly2y3yly2y3

282282

1118yly2y32y2y3282

11118yly2y3y42yly2y32y2y3,2842

再作非退化线性替换222

ylzlyzz223,

y3z2z3

y4z4

则

53531fxl,x2,x3,x48zlz2z3z42zlz2z3

88442

2z22z3,

再令2222

53wzxx312144w2z2,

w3z3

153w4zlz2z3z4288

则原二次型的标准形为

fxl,x2,x3,x42wl2w22w38w4,2222且非退化线性替换为

153xww121424w3w4

x2w2w3,

x3w2w3

lxwlw442

相应的替换矩阵为120T012

且有5411031410,1001

020TAT0000200o020008

(5)已知fxl,x2,x3,x4xlx2xlx3xlx4x2x3x2x4x3x4,先作非退化线

性替换

xl2yly2xy22,xy33

x4y4

则

fxl,x2,x3,x42yly2y22yly32y2y32yly42y2y4y3y42

yly2y3y4再作非退化线性替换2132y3y4y4yl2,

242

zlylzyyyy21234,1z3y32y4

z4y4即

ylzly2zlz2z3lz42,yzlz3432yz44

则原二次型的标准形为

222fxl,x2,x3,x4zlz2z332z4,4

且非退化线性替换为1xzzzz4123121xzzzz421232,

lxzz4332x4z4

相应的替换矩阵为11T0

0

且有111211121012001

10

TAT00

20100010o30042200(6)已知

fxl,x2,x3,x4xl2x2x44x1x24x1x32x1x4

2x2x32x2x42x3x4,由配方法可得

fxl,x2,x3,x4xl22x12x22x3x42x22x3x42

2x22x3x42x2x42x2x32x2x42x3x4222xl2x22x3x4于是

可令231122x2x3x4x3x42222

ylxl2x22x3x431y2x2x3x422y3x3x4y4x4

则原二次型的标准形为fyl2y2且非退化线性替换为2212y3,2

xlyl2y2y3y43x2y2y3y42x3y3y4x4y4

故替换矩阵为1213012T100

000

且有1111

01

200000

221002TAT000022(7)已知

fxl,x2,x3,x4xlx2x3x42x1x22x2x32x3x4,

由配方法可得

fxl,x2,x3,x4x22x2xlx3xlx32x1x32x3x4x4222

xlx2x32x1x3x32x3x4x4x32222

xlx2x3x3x42x1x3x3xlxl22222

xlxlx2x3x3x4xlx32222于是可令

ylxlyxXX2123，

y3x3x4

y4xlx3

则原二次型的标准形为

fyly2y2y4,

且非退化线性替换为2222

xlylxyy224,xyyl43

x4yly3y4

相应的替换矩阵为

10T11

且有0101,001011

0100。010001000010TAT00

(n)把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非

退化线性替换。

解1)已求得二次型

fxl,x2,x34x1x22x1x32x2x3

的标准形为

fyl4y23y3,

且非退化线性替换为222

11xyyy32121211x2yly2y3,22x3y3

(1)在实数域上，若作非退化线性替换ylz31y2z2,2y3zl

可得二次型的规范形为

fzlz2z3。

(2)在复数域上，若作非退化线性替换222

ylizl1y2z2,2y3zl

可得二次型的规范形为

fzlz2z3»

2)已求得二次型

fxl,x2,x3xl2x1x22x24x2x34x3222222

的标准形为

fyly2,

且非退化线性替换为22

xlyly22y3x2y22y3,

xy33

故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形

fyly2o

3)已求得二次型

fxl,x2,x3xl3x22x1x22x1x36x2x32222

的标准形为

fyly2,

且非退化线性替换为22

13xyyy31212211x2y2y3,22x3y3(1)在实数域

上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即fyly2。

(2)在复数域上，若作非退化线性替换22

ylzly2iz2o

yz33

可得二次型的规范形为

fzlz2(.

(3)已求得二次型

fxl,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4

的标准形为

f2yl2y22y38y4,

且非退化线性替换为222222

153xyy121424y3y4

x2y2y3,

x3y2y3

1x4yly42

(1)在实数域上，若作非退化线性替换yl

y2y3

y4

可得二次型的规范形为

21212121z4z2,z3zl222fzlz2z3z2。

(2)在复数域上，若作非退化线性替换22yl

y2y3

y4

可得二次型的规范形为

2i212i21zlz2,z3z4222fzlz2z3z2。

(5)已求得二次型

fxl,x2,x3,x4xlx2xlx3xlx4x2x3x2x4x3x4的标准形为

fyly2y3且非退化线性替换为2222232y4,4

1xyyyy4123121xyyyy421232,

lxyy4332x4y4

(1)在实数域上，若作非退化线性替换ylz2yz21y3z3,

y42z43

可得二次型的规范形为

fzlz2z3z4o

(2)在复数域匕若作非退化线性替换2222

ylizlyz22y3iz3,y42iz4

可得二次型的规范形为

fzlz2z3z4o

6)已求得二次型

fxl,x2,x3,x4xl2x2x44x1x24x1x32x1x42222222

2x2x32x2x42x3x4的标准形为fyl2y2且非退化线性替换为2212y3,2

xlyl2y2y3y43xyy3y422。2x3y3y4x4y4

(1)在实数域上，若作非退化线性替换ylz21yz322,y2zl3

y4z4

可得二次型的规范形为

222fzlz2z3o

(2)在复数域上，若作非退化线性替换ylizliyz222,y2z33

y4z4

可得二次型的规范形为

222fzlz2z3o

7)已求得二次型

fxl,x2,x3,x4xl2x2x44x1x24x1x32x1x42222x2x32x2x42x3x4

的标准形为fyyyy,2222

1224

且非退化线性替换为

xlyl

x2y2y4

x3ylyo

4

x4yly3y4

(1)在实数域上，上面所作非退化线性替换」将二次型化为规范形，即fy222

1y2y2y2

4o

(2)在复数域上，若作非退化线性替换

ylzl

y2z2,

y3z3

y4iz4

可得二次型的规范形为

fz2222

1z2z3z4o

2.证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于1的对称矩阵之和。证由题设知

AA且rank(A)r,于是存在可逆矩阵C使CACD,

且D为对角阵，又因为C,C1,ClC1均为可逆矩阵，所以有

CACDID2Dr,

其中

0

dl0

D0

于是

AC1D1

1D2DrC

C1D1

DrClo0因

DCli1,2,,r

111111DCCDCCDCCoiii

IDiC1都是对称矩阵，故A可表成r个秩为1的对称矩阵之和。即C

3.证明：

合同,其中ili2in是1,2,,n的一个排列。

证题中两个矩阵分别设为A,B,与它们相应的二次型分别为

fA1x12x2nxn,

fBilyli2y2inyn,

作非退化的线性替换

ytxitt1,2,,n,

则fB可化成fAo故A与B合同。

4.设A是一个n阶矩阵，证明：

1)A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X,有一XAX0。

2）如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有XAX0,那么A0。证1）必要

性。因为AA,即aii0,aijajiij,所以XAX

由于aijaji0,故

XAX

n222222ai,jijxixjaijajixixjijaijijajixixj0。充分

性。因为XR,有XAX0,即

allxlal2a21xlx2xlnanlxlxna22x2

22a2nan2x2xnannxn0,

2

这说明原式是一个多元零多项式，故有

alla22ann0,aijajiij,即AA,

2）由于A是对称的，且XAX0,即

allxl2al2xlx22alnxlxna22x22a2nx2xnannxn0,这说明

XAX为一个多元零多项式，故有alla22ann0,2aij0aijaji0,

即A0o

5.如果把实n阶对称矩阵按合同分类，即两个实n阶对称矩阵属于同一类当且仅当它

们合同，问共有几类？

解实对称矩阵A与B合同的充要条件为存在可逆矩阵T与C使

2

2

2

dl

TBTCAC

d2

dr

Do0

0

下面考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类情况，在dii1,2,,r中可分为

r210

个正，0

个负个负

r1个正，1

个正，r2个负个正，r1个负个正，r

个负

共计r1个合同类。但秩r又可分别取n,n1,,2,1,0,故共有

123nn1

n1n2

2

个合同类。

6.证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条

件是：它的秩等于2且符号差等于0,或者秩等于1。

证必要性。设

fxl,x2,,xnalxla2x2anxnblxlb2x2bnxn,其中

ai,bii1,2,,n均为实数。

1）若上式右边的两个一次式系数成比例，即

bikaii1,2,,n

不失一般性，可设al0,则可作非退化线性替换

ylalxla2x2anxnyxi2,,nii

使二次型化为

fxl,x2,,xnkyl,2

故二次型fxl,x2,,xn的秩为1。

2）若两个一次式系数不成比例，不妨设ala2，则可作非退化线性替换blb2

ylalxla2x2anxny2blxlb2x2bnxn,

yxi3,,nii

使

fxl,x2,,xnyly2o

再令

ylzlz2y2zlz2,

yzi3,,nii

则二次型可化为

fxl,x2,,xnyly2zlz2,22

故二次型fxl,x2,,xn的秩为2,且符号差为0。

充分性。1）若fxl,x2,xn的秩为1,则可经非退化线性替换ZCY使二次型化

为

fxl,x2,,xnkyl,2其中yl为xl,x2,,xn的一次齐次式，即

ylalxla2x2anxn,且

fxl,x2,,xnkalxla2x2anxn2

kalxlka2x2kanxnalxla2x2anxn。

2)若fxl,x2,,xn的秩为2,且符号差为0,则可经非退化线性替换ZCY使二次

型化为

fxl,x2,,xnyly2yly2yly222

alxla2x2anxnblxlb2x2bnxn,故fxl,x2,,xn可表

成两个一次齐次式的乘积。

7.判断下列二次型是否正定：

1)99x112x1x248x1x3130x260x2x371x3；2)

10x18x1x224x1x32x228x2x3x3；3)222222x

i1

nn2i1ijnn1

i1xxij；4)xi12ixixi1。

解1)二次型的矩阵为

24996A613030,

243071

因为

1990,2

故原二次型为正定二次型。

2)二次型的矩阵为99661300,3A0,

41210A421412141

因为A0,所以原二次型非正定。

3）记二次型的矩阵为Aaij

nn

，其中

1,

aij1

,2

即

ijiJ

112

A1

212

121121211221122

1,

1

2

1

12

由于A的任意k阶顺序主子式所对应的矩阵Ak与A为同类型的对称矩阵，且

1

Akk10

2

故原二次型为正定二次型。

4）记二次型的矩阵为Aaij

k

k1,2,,n,

nn

,则A的k级顺序主子式为

112

121

112

20

13200

2

11221

000

k

12

1

Ak

21

12

0143

1

0

2

k

k1

0

k

1

k10,2

k

故原二次型为正定二次型。

8.t取什么值时，下列二次型是正定的：1)xlx25x32txlx22x1x34x2x3

2)xl4x2x32txlx210x1x36x2x3解1)二次型的矩阵为222222

It1Atl2,

125

因为A的各阶顺序主子式为

110,2t

tl0,It

1120,

53At

12

当原二次型为正定时，有

21t0,25t4t0

4解上面不等式组，可得t0o5

2）二次型的矩阵为

lt5At43,

531

当A的所有顺序主子式都大于零时，即110,2t

t44t20,lt5

3At43t230t1050,

531由原二次型为正定得

2

4t0

2t30t1050

但此不等式组无解，即不存在t值使原二次型为正定。

9.证明：如果A是正定矩阵，那么A的主子式全大于零。所谓主子式，就是行指标与

列指标相同的子式。证设正定矩阵Aaijxj0则可得新二次型

nn

,作正定二次型

a

i1J1

nn

ij

xixj,并令

jkl,k2,,ki,klk2ki,

a

ikljkl

kiki

ij

xixj,

由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故A的一切i级主子式

Ai0i1,2,,no10.设A是实对称矩阵，证明：当实数t充分大之后，tEA是

正定矩阵。

证

al2tall

ta22a21

tEA

aan2nl

它的k级顺序主子式为

tal1

kt

aln

a2n

tannalka2k

al2ak2

a21akl

ta22

takk

当t充分大时，kt为严格主对角占优矩阵的行列式，且taii故

kt0k1,2,,n,从而tEA是正定的。11.证明：如果A是正定矩阵，

那么A也是正定矩阵。

1

ai1,2,,n,

ijji

证因A是正定矩阵，故XAX为正定二次型，作非退化线性替换XAY,又A也是对称

矩阵，故

11

AA1YXAX0,YAYYA

11

从而YAY为正定二次型，即证A为正定矩阵。

12.设A为一个n级实对称矩阵，且A0,证明：必存在实n维向量X0,使

11

XAX0o

证因为A0,于是A0,所以rankAn,且A不是正定矩阵。故必存在非退化线

性替换XCY使1

AXYC1ACYYBYX

yly2ypyp1yp2yn,

1且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在ZCY中，令yly2yp

222222

0,yp1yp2yn1,则可得一线性方程组

cl1x1cl2x2clnxn0cplxlcp2x2

cpnxn0,cp1,1x1cp1,2x2cp1,nxn1

cnlxlcn2x2cnnxn1

由于C0,故可得唯一组非零解Xsxls,x2s,,xns使

AXs000111np0,Xs

即证存在X0,使XAX0o

13.如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵。

证因为A,B为正定矩阵，所以XAX,XBX为正定二次型，且

XAX0,XBX0,

因此

AXXBX0,XABXX

于是XABX必为正定二次型，从而AB为正定矩阵。

14.证明：二次型fxl,x2,,xn是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相

等。证必要性。采用反证法。若正惯性指数p秩r,则pro即

fxl,x2,,xnyly2ypyp1yr,22222若令

yly2yp0,yp1yr1,则可得非零解xl,x2,,xn使

fxl,x2,,xn0o这与所给条件fxl,x2,,xn0矛盾，故pro

充分性。由pr,知

fxl,x2,,xnyly2yp,222

故有fxl,x2,,xn0,即证二次型半正定。

15.证明:nxi是半正定的。

i1i12

in2

n2证nxixi

i1i1

nxlx2xnn2222

x2

122x2xn2x1x22xlxn2x2x32x2xn2xnIxn

n1xlx2xn(2x1x22xlxn2x2x3222

2x2xn2xnlxn)

xl2x1x2x2xl2x1x3x3xn12xnlxnxn222222

可见：1ijnxixj2

1)当xl,x2,,xn不全相等时

xl,x2,,xn

2)当xlx2xn时

fxl,x2,,xn1ijnxxixj0o2ixj0o2

1ijn

故原二次型fxl,x2,,xn是半正定的。

AX是一实二次型，若有实n维向量XLX2使16.设fxl,x2,,xnX

AX0,X2AX20oXI

AXOOo证明：必存在实n维向量X00使X0设A的秩为r,作非退化线性替换

XCY将原二次型化为标准型

XAXdlyld2y2dryr,

其中dr为1或-1。由已知，必存在两个向量XI,X2使222

AX10和X2AX20,XI

故标准型中的系数dl,,dr不可能全为1,也不可能全为-1。不妨设有p个1,q个-

L且pqr,即

AXylypyp1ypq,X

这时P与q存在三种可能：

Pq，Pq，Pq

下面仅讨论Pq的情形，其他类似可证。

令ylyqLyq1yp0,yp1ypq1,则由ZCY可求得

非零向量X0使2222

AXOylypyp1ypq0,X0

即证。

17.A是一个实矩阵，证明：

rankAArankA。

证由于rankArankAA的充分条件是AX0与AAX0为同解方程组，故

只要证明AX0与AAX0同解即可。事实上

AX0AAX0XAAX0

AXAX0AX0,

即证AX0与AAX0同解，故

rankAArankA

注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。

2222

一、补充题参考解答

1.用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果:

1)xlx2nx2x2n1x2x2n1xnxn1；

2)xlx2x2x3xnIxn；

3)x

i1

nn2i1ijn2xxij；

4)xilix,其中xxlx2xn。n解1)作非退化线性替换

xlyly2nxyy22n12

xnynyn1,xyynn1n1

x2n1y2y2n1xyyl2n2n

即XTY,则原二次型的标准形为fyly2ynyn1y2n1y2n,且

替换矩阵222222

10

T0

1

使111011,1111000100

11,TAT11其中

A12

2)若yl

则121212xlx2x3xx2x3,y21,22

yly2yly2yly222

xlx2x2x3,

于是当n为奇数时，作变换xixi1xi2yi2xxi1xi2

yi1ii1,3,5,,n2,2ynxn

则

xlx2x2x3xnIxnyly2y3y4yn2yn1,且当n4k1

时，得非退化替换矩阵为222222

11111110000110

11111T11000,

1101

当n4k3时，得非退化替换矩阵为11111110000110

11111T11000,

1101

故当n为奇数时，都有

1111TATo

110

当n为偶数时，作非退化线性替换

xixi1xi2yi2yxixi1xi2i12

i1,3,5,,n3,xxnyn1

n12xxnynn1

2

则

xlx2x2x3xnlxnyly2y3y4yn1yn,于是当n4k时，得

非退化替换矩阵为222222

1111111100001111T1100,

1111

于是当n4k2时，得非退化替换矩阵为111111000110

1111T1100,

1111

故当n为偶数时，都有

111TAT1o1

3）由配方法可得22ln3Inxxxxf2j

12j43j3j2

nln12xn1xnxn,2n1n2n

于是可令2

Inylxl2xj

j2In

y2x2xj3j3,

1yn1xn1xnnynxn则非退化的线性替换为

1111xyyyyynl23n1123nInxylyly23nIn2

3nIn,

1xn1yn1ynnxnyn

且原二次型的标准形为fyl

相应的替换矩阵为232nn122y2ynyn,142n12n

11201T00

0000

又因为1113nIn1113nIn11

1nIn101n001

11112221111222A

11112221111222所以

01003000400406TAT000

4）令

则

由于

则

000n02n1n1000Onylxlx

y2x2x,

yn1xn1xynxnnxl2ylyii2nx2yl2y2yi

i3o

n2xn1yi2yn1yni1xnynnnyixin1xx

,iliIn122y2inyn1n1原式

2nyiyiyi

ilili1i12n1y2ii1yiyjijn1

12232n2

zl4z2nIz2n1

2z2

31

2z2n2

2n1

zn1,其中所作非退化的线性替换为

yllll

zlzzzn1

2233n1

yz1223z314z4InIz

n1

yn1

z

n1

ynzn

故非退化的替换矩阵为

121111

11310

121112In110

1121101

3nT011

1

0

011121n1

00001

00010

00001

2013

0

01001214101

o23

Oilnl23n1

00001

又

xlx

2

x

XX,X,XXX

i

x

12x,nx

i1

2

xnx

n1

1n

1nn11

1

nnlxl,x2,,xxIn

Innln

nnnn1nInn1

In

nIn

1nxl1nx2n1xnn

n1n

1

xl,x2,,xxn1n

ZAZ,

所以InnIn1n1xln12n

n1xnn

0020030000240000TAT

3nOOO0n100000

2.设实二次型

fxl,x2,,xna

ilsillxai2x2ainxn2

证明：fxl,x2,xn的秩等于矩阵

alla21Aasi

的秩。

证设rankAr,因al2alna22a2nas2asn

fxl,x2,,xnAAX,

下面只需证明rankAr即可。由于rankArankA故存在非退化矩阵

P,Q使PAQ0

从而

PAAP

令ErOErPA或

00Er0011QQ0E001Q,00

0

则IBQDIrCM

CM00Br00

rErPAAP0由于Q110Br0DOo0Q

是正定的，因此它的r级顺序主子式B0,从而AA的秩为ro

即证rankArankAA

3.设

fxl,x2,,xn1112IpIp1Ipqo22222

其中lii1,2,,pq是xl,x2,,xn的一次齐次式，证明：fxl,x2,,xn的

正惯性指数P，负惯性指数qo

证设libilxlbi2x2binxni1,2,,pq,fxl,x2,,xn的正

惯性指数为s,秩为r,则存在非退化线性替换yicilxlci2x2cinxn

i1,2,,n,使得

fxl,x2,,xn1112IpIp1Ipq22222

ylysys1yr。下面证明spo采用反证法。设sp,考虑线性方程

组2222

bilxlbinxn0bplxlbpnxn0

exexOs1,nns1,11

cnlxlcnnxn0

该方程组含pns个方程，小于未知量的个数n,故它必有非零解al,a2,,an

于是fal,a2,,anIp1Ipqylys,2222上式要成立，必有

Ip1Ipq0,ylys0,这就是说，对于xlal,x2a2,,xnan

这组非零数，有yl0,y20,

yn0,

这与线性替换YCX的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以spo

同理可证负惯性指数rsp,即证。4.设

AA

All

12AA2122

是一对称矩阵，且A0,证明：存在TE

XII

0

E使TATA11

0个级数与A22相同的矩阵。

证只要令T

E0

AA1

E，则EA1

11A12,

2111T0E

注意到

A,A1

12A21

11A

1

11,

则有

TAT

EOA12

A111A12

A21A1

HEA11

A21AE

E220

AA11

12

E

A1

11A12

0A121A11A12A22OE

All

0

0

o

即证。

5.设A是反对称矩阵，证明：A合同于矩阵

011001

10O

0

0

0

,其中表示一

证采用归纳法。当n1时，A0合同于0,结论成立。下面设A为非零反对

称矩阵。

当n2时0Aa12

故A与lal2第2行乘al20110第2列乘

a1201合同，结论成立。10

假设nk时结论成立，今考察nk1的情形。这时

0Aalka1,k1alk0ak,klai,k1,

ak,k10

1

ak,k1如果最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设，结论已证。若不然，经过行

列的同时对换，不妨设ak,k10,并将最后一行和最后一列都乘以，则A可化成

0aIkblalkbl,0110

再将最后两行两列的其他非零元bi,aiki1,2,,k化成零，则有

由归纳假设知100

0bl,k与

0l,k合同,从而A合同于矩阵

再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对k1级矩阵也成立，即证。

6.设A是n阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c,使对任一个实n维向量X都有

AXcXX。X

证因为AXX

令amaxaij,则i,jai,jijxixjaiji,jxixj,XAXax

i,jixjo利用xixjxi2x2

j

2可得AXaXi,jxi2x2j2anxi2cXX,

i

其中can,即证。

7.主对角线上全是1的上二角矩阵称为特殊匕三角矩阵。

1）设A是一对称矩阵，T为特殊上三角矩阵，而BTAT,证明：A与B的对应顺序主

子式有相同的值；

2）证明：如果对称矩阵A的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵T使

TAT成对角形；

3）利用以匕结果证明：如果矩阵A的顺序主子式全大于零，则XAX是正定二次型。

证1）采用归纳法。当n2时，设

allAa21

则

BTATbal2lbT,01,

a2210all1a21al2lball.

a2201考虑B的两个顺序主子式：B的一阶顺序主子式为all,

而二阶顺序主子式为BTA1A1A,

与A的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。

归纳假设结论对n