2020年高中数学必修第一册：不等式的性质 练习（北师大版）（解析版）

第一章预备知识

第三节不等式

3.1不等式（解析版）

一.选择题（共13小题）

1.己知a,b,c为实数，则下列结论正确的是（）

A.若〃c>bc>0,贝!JB.若a>b>0,则。c〉Z?c

C.若〃02>反2,贝UD.若a>b,则4c

答案：c

【解析】解：由题意，可知：

对于A：可设〃=-5,b=-4,c=-3,很明显满足4c>bc>0,但故选项A不正确;

对于8：因为不知道。的正负情况，所以不能直接得出就>反，故选项3不正确；

对于C:因为idA。一，所以（?2>0,所以〃>0,故选项C正确；

对于。：若。=0,贝I」不能得至1」〃。2>衣2,故选项。不正确.

故选：C.

2.已知a>b,则下列不等式成立的是（）

A.a2>b2B.

ab

C.ac2>bc2D.总_>耳（cWO）

c2c2

答案：D

【解析】解：A当〃=-2,》=3时，〃2=4,02=9,42Vb2,所以A错误.

B当a=3,。=2时，—<C—,所以3错误.

ab

C当c=0时ac2=bc2,所以C错误.

D因为J〉。，3.〉小一，所以。正确.

c2c2

故选：D.

3.下列命题正确的是（）

A.若包>k,则B.若〃2>庐，则〃

CC

C.若」_〉」」，贝D.若心<~瓜,贝

2,2

ab

答案：D

【解析】解：A.<0时，由且〉上，可得因此不准确；

CC

B.由〃2>庐，可得或aVb,因此不正确；

C」->」」，可得〃2V庐，可得〃或"V。，因此不正确；

212

ab

D/<®利用不等式的基本性质即可得出：a<b,因此正确.

故选：D.

4.下列结论不正确的是（）

A.若a>b,c>0,则〃c>Z?cB.若a>b,c>0,则£_〉二

ab

C.若a>b,则〃+c>Z?+cD.若a>b,贝!J〃-c>b-c

答案：B

【解析】解：A.a>b,c>0,则”c>Z?c

B.若a>。，c>0,则q与q的大小关系不确定，因此不正确.

ab

C.a>b,则〃+c>Z?+c,正确；

D.a>b,贝!Ja--c,正确.

故选：B.

5.若a>b>c,ac<0,则下列不等式一定成立的是（）

A.ab>0B.bc<0C.ab>acD.b（〃-c）>0

答案：C

【解析】解：u：a>b>c,ac<0,

・••取a=l,b=0,c=-1代入，排除A、B、D,

故选：C.

6.已知a,b,mGR,则下列说法正确的是（）

A.若〃>。，则B.若a〈b,贝!J〃m2〈加：2

C.若工<工，则a>6D.若/>/,贝Ija>6

ab

答案：D

【解析】解：A.a>b得不出加，比如，a=4,。=-2时；

B.m=0时，a<b得不出am2<bm2；

得不出a>b,比如，a=-2,0=4；

ab

D.•.•y=r3是增函数，得出〃>瓦

故选：D.

7.已知〃，b,c>0,则互，£,包的值（）

abc

A.都大于1B,都小于1

C.至多有一个不小于1D.至少有一个不小于1

答案：D

【解析】解：令a=b=c,则互益算=1，排除A,B.

abc

令a=l,b=2,c=4,则旦=2=2,且排除C.

abc4

对于。，假设立<1,—<C1,—<C1>则b<a,c<b,a<c,

abc

相加得a+6+c<a+b+c,矛盾，

故选：D.

8.若M=2/-3a+5,N=a2-a+4,则M与N的大小关系为（）

A.M沁B.M>NC.M<ND.MWN

答案：A

【解析】解：M-N=2a2-3a+5-（a1-a+4）=（T-2a+l=（a-1）2^0；

故选：A.

9.某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只

玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2只玫瑰花所需费用为A元，购买3只康乃馨所需费

用为2元，则A,2的大小关系是（）

A.A>BB.A<B

C.D.A,B的大小关系不确定

答案：A

f2x+y>8

【解析】解：由题意得|，2x=A,3y—B,

4x+5y<C22

整理得X=a,y=L,

23

,A+f>8

2A卷〈22

将A+殳>8乘以-2与2A+&<22相加，解得B<6,

33

将8<6代入A>8-旦中，解得A>6,

3

故A>2,

故选：A.

10.生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜.若b

>a>0,n£R*,则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（）

A.a+n>b+nB.a~*'n->—C.a+n<b+nD.a~*~—<—

b+nbb+nb

答案：B

【解析】解：若6>a>0,“CR*,设糖的量为m糖水的量设为6,添加糖的量为w,

选项A,C不能说明糖水变得更甜，

糖水甜可用浓度体现，而空口>旦，能体现糖水变甜；

b+nb

选项。等价于。v〃，不成立，

故选：B.

二.填空题（共3小题）

11.如果给出下列不等式：（1）—<-5-；②/>序；③@2ac2>2bc2；（5）-3.>1；（6）«2+/?2+1

>ab+a+b.

其中一定成立的不等式的序号是一②⑥.

【解析】解：,不一定成立，例如取〃=2,b=-1；

ab

②利用函数y=/在R上单调递增，可知：〃3>及，正确；

③不一定成立，例如4=1,b=-2；

21

（4）2ac>2bcf不一定成立，例如取c=0时；

©—>b不一定成立，例如取〃=2,b=-1；

b

@a2+fe2+l>ab+a+b化为：(a-1)2+(Z?-1)2>(a-1)(/?-1).[a-1-^-(b-1)]2+2缶一1)2〉

0,时，a>l,...左边恒大于0,成立.

其中一定成立的不等式的序号是②⑥.

故答案为：②⑥

12.对于实数a、b、c,有下列命题①若a>6,贝!Jac<bc；②若ac?〉/?。?，则。>6；③若a<6<0,则/

>ab>b2；④若c>a>b>0,则—―—；⑤若a>b,—,则a>0,b<0.其中正确的是

c-ac-bab

②③④⑤.

【解析】解：当c=0时，若a>b,则ac=A,故①为假命题；

若acbbc1,则c#0,c2>0,故a>b,故②为真命题；

若a<6<0,则且">廿，即。2>诏>/,故③为真命题；

若c>a>b>0,则£<£,则匕包<£二｝，则3>_L,故④为真命题；

ababc-ac-b

若a>b,L>L,即去一故a・Z?<0,则a>0,b<0,故⑤为真命题；

ababab

故答案为：②③④⑤

13.已知-则a-6的取值范围是(-2,0)

【解析】解：V-l<a<l,-Kb<l

：.-1<-b<\,

-1-l<a-b<l+l

：.-2<a-b<2,又a〈b,：.a-b<0

故答案为：(-2,0)

三.解答题(共7小题)

14.已知aCR且aWl,试比较_X_与1+°的大小.

l-a

12

【解析】解：・・•，-（1+4）=W_.可得

l-a1-a

①当〃=0时,―--=1+&；

l-a

②当。＞1时，——＜0，

l-al-a

21

③当〃V1且4/0时，＞0，・••二一〉l+a・

1-a1-a

综上可知：当〃=0时，1=1+&;

1-a

当〃>1时，

1-a

当〃V1且。W0时,——〉］_+&.

l-a

15.已知〃，Z?为正数，且aWb,比较〃?+/与/匕+次^的大小.

【解析】解：：（浸+/）-（"2。+4必）=/+/一“2。一

=a2（〃-/?）-b2（q-b）

=（a-b）（/-房）

=（〃-6）2（4+。）；

9：a>0,。>0且”》；

/.（〃-。）2>0,a+b>0；

（a-b）2（”+。）>0；

即（«3+Z?3）-（"2。+〃//）>0；

/./+/>c^b+ab2.

16.(1)已知〃>b>0,cVO求证：£>£.

ab

(2)比较(〃+3)(〃-5)与(a+2)(Q-4)的大小.

【解析】证明：(1)〈a〉。〉。，

.*..L>.L>o,

ba

再由(?<o,可得£>>£.

ab

故要证的不等式成立；

解：(2)(。+3)(〃-5)-(〃+2)(«-4)

=“2-2〃-15-(。2-2〃-8)

=-7<0,

(。+3)(〃-5)<(。+2)(〃一4).

17.比较大小

(1)已知x>5,比较4+5%与5f+x的大小.

(2)比较工3-和1的大小.

【解析】解：⑴Vx>5

322

/.X+5X-(5x-x)=%3+4%-5^2=%(x-5%+4)=x[x(x-5)+4)]>0

/.X3+5X>5X2+X.