高数期末复习（解答题）

一.极限与连续

导数与微分

sin4x

1.求极限吗k_i

lim-^―(1-cosWcos2x)

2.

2._1_21

3sinx+xcos

3.求极限lim----------------------

X-。(1+cos%)ln(l+x)

1

1+X23-1

4.求极限勤工^

「tanx-x

件笛lim---------

5.vr导ioxsin"

「A/1—sinx—A/1—x

6.彳+菖hm----------------------

叮昇Dsin3x

7.求极限%jsinxx?+1—x

8.计算哩(新|严

XmT

9.求极限一。xln(l+3x)

1

io.指出函数＞=一二的间断

1—X

点，并判别其类型.

71

----arctanx

2________

11.计算风.1

sin

x

Insinx

、工…lim

12.计舁z生(%—

2

71

4flimsin(-----x)tan3x

13.TT舁1—生6

6

11

求lim

14.x—>0ln(l+x)x

(X1)

Alim-------------

1O・—lInxJ

11

⑥计算噂(记二二I)

11

17.计算船。一口)

fl)

18.求极限吧

lim(-)tanx

19.计算Xf+0JQ

sinx

20.求极限li曾m+r%.

2

.、.「/si•nx、V一

21.求极限曾［丁J

Lcosi…

22.论函数/(')=%

0x=0

在X=0处的连续性与可导性O

23.论函数"%）=6

0x<0

在x=0处的连续性与可导性

Ji+%—1„

24.设函数/⑴=--“

0x<0

试讨论/（X）在X=0处的连续

性及可导性.

25.设y=/0nx）,/二阶可导，

d2y

求正

_arctanVx,

26.设y=e，求y

27.设厂1+商二求严）

28.设y=\三，求/)・

JL十X

29.设〉二拉“，求了⑺

30.设sinxy+ln(y—x)=羽求半L=o

ax

31设ysinx-cosQ-y)=0,求电

'""dx

32.已知e"+y历x=cos2x,

dy

求瓦

33.已知*+yin%=cos2%,求

dy

dx-

设炉=V，求手

34.

以dx

设y=xS如，求y.

35.

(%—1)(%-2)步合

36.设产；(x-3)(x-4)，求dx，

x=l-t2，求玲，d2y

设

37.t3dxdx2

x=atcost求J,

设

38.y=atsvat'

d2y

dx2

39.求曲线x=sin/,y=cos2r

77

在"k处的切线及法线

的方程

x=ln(l+产)^d2y

40.设，2­

y=t-arctanZdx'

41,求常数使函数

e_axx<0

小）=>°在(-8,+8)内可微.

b(l—x2

42.求常数Q,b,使

|*%<0

/(x)=

Z?(l-%2)%>0

I

在（-8,+8）上可微.

43.设函数有连续的导函

数，/（0）=0,/'（。）=3,若

f(x)+2sinx八

尸⑴-％八在x=0处

A%=0

连续，求A的值

44.设函数"%)=J…且

1x=0

/（x）,0（x）在点x=0处均连

续，求9（。）及。（。）

三、导数应用

1-设/（X）在［。,上可导，证

明存在j£（0,»），使得

/'C)sinJ+/C)cosJ=0

2.当X>0时，证明：

x<ex-1<xex

3.当X>。时，证明:

arctanx

ln(l+%)>

1+x

4.当X<1时，证明:

1

ex<

1-X

兀

5.证明当x<一时,sinx+tanx>2x

2

6.求函数/（X）=X——的

极值

7.试确定〃，使

/(x)=qsinx+—sin3x，在

71

X二一处有极值，指出是极大

3

还是极小值，并求出此值

24、

设/(工应［-1,1］上具有二阶导数，g(x)=［sin

证明：在(-1,1)内至少存在一点。使得g〃图=0

24、证明

••・小庵及［0,1世满足罗尔定理的条件

至少有一G(-1,0),使广低)=0

蜃£(0,1),使/怎2)=。

同理在七&)u(-1,1)内至少存在一点

使得g"怎)=0

8.求函数y=sinx+cosx在

［0,2乃］上的极值

16

9.求函数y=------1的极

x(4-x2)

值

10.求函数

f(X)=Y—%2—1+1在

[-1,2]上的最大最小值

11.求y=ln(l+%2)的拐点

22.讨论函数y=6/-5x3的

性态，并作出图形.

22、奇函数，

f'(x)=15x2(2x2-l),

%=0,%=土辛；

f"W=30x(4x2-l),

%=0,x=土3

列表作图

23.描绘>=比—x的图形

23.x=l（极大值点）；（2,Ze」）为拐

点；》=。为水平渐近线；

四、不定积分学

、।f广％?+3x+47

1.计算J-------------dx

x—1

2.设

/!(cos2%)=sin2%

"0)=0,求/(x)

3.计算］—,dx

xj21nx+1

17

4.r.dx

17

5.f—Z------------dx

x2+4x+29

6.计算Jln(cosx)tanxdx

irA/X2—9,

7.计舁J---------dx

X

8.计算Jxarctanxdx

9.计算jxsin2xdx

、…「(lnx)2

10.计舁J2dx

x

11.已知/(x)的一个原函数为

xcosx求Jxf\x)dx

7X

、〜,d+arcsin4x

13.计算］------尸------drx

4x

14.计算Je芸dr

15.计算J%2cos2xdx

16.计算Je*sin^Jx

17

17.计算rJ-----------------dx

1+sinx+cosx

2

计算

18.vl-x

19.广(e")=x+l,求/(x)

五、定积分及应用

1.已知当X〉。时，

1+2*/«)力=/,其中

连续，求/(2)

2.求常数a和b,使

[{at-arcsint)dt

lim二1

x->0b-cosx

3.设/(X)在(—8,+8)内连

续且/(X)>0,证明

Vf⑴出

b(x)二在(0,+00)

If⑴出

内为单调增加的函数

4.求使得

21；于⑺dx+f(x)-x-0

In2x7

5.----ax

1x

dx

xy/l+lnx

,41

7.计算dx

2+x—2

8.

1+x2,x<0

设/(x)=

e：x>0

9.计算货^=dx

°11+V2x

10.计算K---(

Jol+VLxix

11」/-dx

X2A/1+X2

12.计算成去

13.计算，xarctanxdx

14.计算[；

p41nx

15.计算L正公

16.计算J：dx

17.计算J"Inx|dx

e

万?

18.计算卜*cosxdx

19.计算J：sin(lnx)公：

20.已知/(2x+l)=x/，求

[lf{x}dx

21.设了“(X)连续，

"0)=1J⑺=3,求

J//(x)+/'(x)]sinxdx

22.计算

x^/l-Qnx)2

23.计算必；

yjX-X

iarcsin4x

dx

2

25.确定m,使直线y=mx和抛物

线y=2x—«?所围成区域面

积为36o

26.求抛物线＞2=2%与其上

过(2,2)处的法线所围成平面

图形的面积。

27.求抛物线y2=8x与其上

过(2,4)处的法线所围成平面

图形的面积。

28.求曲线y=f在区间(0,

1)内的一条切线，使该切线与

直线x=0,x=l及曲线

y=V所围成的面积最小。

29.求曲线>=S•in3X,

(0<X<7T)与x轴所围成的

平面图形的面积，并求该图形

绕工轴旋转一周所得旋转体的

体积。

30.求由曲线y=%2+7及

>=3%2+5所围图形绕。乂轴

旋转一周而成的旋转体的体积

31.求曲线y=lnx与其过原点的

切线及x轴围成的平面图形的

面积，并求该图形绕x轴旋转

成的旋转体的体积。

32.设在区间［0,1］上

给定函数y=/,问

/为何值时，图中

阴影部分4与A2的

面积之和为最小？

何时为最大？

■

20.求摆线

|x=^-sinO>0,0<r<2^)

[y=a(l-cos，)

的拱的长度.

20、ds=2asin-dt

'Int

2asin—at-Sa

Jo2

28.解微分方程

(x+1)?-y=，(1+1)2

ax

29.解微分方程

y'+ycosx-esmx=0

，Lx

求方程满足

30.y+Ay^y=i

y|x=i=°的特解

31.已知y"—5y'+6y=0,

1

求该微

2

分方程的特解。

32.

求微分方程y〃-4y'+4y=e2x的通解.

33.解微分方程