高三数学（文）黄金考点总动员考点23线线、线面、面面的位置关系含解析

2017届高三数学33个黄金考点总动员

考点23线线、线面、面面的位置关系

【考点剖析】

1.最新考试说明：

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.

2.以立体凡何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定.

3.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理.能证明一

些空间位置关系的简单命题.

2.命题方向预测：

1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点.以考查点、线、面的位置关系为

主.

2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点.着重考查线线、线面、面面平行的转化

及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力.

3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点.着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查

逻辑推理能力与空间想象能力.

4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填

空题及解答题.难度中、低档题兼有.

3.课本结论总结：

1.平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有二条过该点的公共直线.

2.直线与直线的位置关系

f［平行

共面直线4-------

⑴位置关系的分类JI相交

、异面直线：不同在任何一个平面内

（2）异面直线所成的角

①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点。作直线a'Ha,b'//b,把a'与"

所成的锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角（或夹角）.

②范围:呜•

3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.

4.平面与平面的位置关系有壬红、相交两种情况.

5.公理4

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

6.定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

7.直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

a--------b—a-----------

图形

口目口£Z7

a//Q,au8,

条件aG(1=0HUa,依a,*/balla

aC8=b

aO4=

结论a//ob//a-〃b

0

8.面面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

看着//B"/

图形/d^~7

au£,buB,a//

a〃£,aC\y

条件aC\8=0“Gb=P,a〃a,B,a

=a,£Gy=b

bHau£

结论a"Ba〃Ba//ba//a

9.直线与平面垂直

(1)判定直线和平面垂直的方法

①定义法.

②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平

面.

(2)直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.

②垂直于同一个平面的两条直线平行.

③垂直于同一条直线的两平面平行.

10.斜线和平面所成的角

斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.

11.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的判定方法

①定义法.

②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

(2)平面与平面垂直的性质

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

12.二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射

线所成的角叫做二面角的平面角.

4.名师二级结论：

(1)异面直线的判定方法：

判定定理：平面外一点A与平面内一点8的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线.

反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.

(2)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在

平面内.

(3)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法.

(4)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线：③证明多点共线.

(5)平行问题的转化关系：

性质

到定到定

线〃I~我警线〃面柒面〃面

一定

(6)垂直问题的转化关系

线线垂直熊线面垂直蔡面面垂直

性质

(7)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等;

(8)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.

5.课本经典习题：

(1)必修2第37页

用&b,c表示三条不同的直线，7表示平面，给出下列命题：

①若a〃小b//c,则@〃。；

②若a_Lb,bX.c,则a_Lc；

③若a〃y,b//y,则a//b；

④若a_Ly,bX.y,则a//b.

其中真命题的序号是().

A.①②B.②③C.①④D.③④

解析由公理4知①是真命题.在空间内。b_Lc,直线a、c的关系不确定,

故②是假命题.

由。〃/b//y,不能判定a、b的关系，故③是假命题.④是直线与平面垂直的

性质定理.

答案C

【经典理由】考查线面、线线的平行和垂直关系。

(2)必修2第42页

已知加、〃为两条不同的直线，。、£为两个不同的平面，则下列命题中正确的是().

A.miln、加_L。。

B.。〃£,/ua,〃u£="〃〃

C.zz7±a,m1n=n//a

D.mUa,〃Uci,m//£,n//£na〃£

解析选项A中，如图①，n//m,m耳_La一定成立，A正确；选项B中,

如图②，a〃⑶冽<=a,〃仁行冽与那互为异面直线，不正确；选项C中，

如图③，冽JLa,巾JL«=>?：Ua,「.C不正确；选项D中，如图④，mUa,

m//jS,"〃。=>a与£相交，「.D不正确.

A与

答案A

【经典理由】考查线面、线线、面面的平行和垂直关系。

6.考点交汇展示：

(1)立体几何与函数交汇

【2016高考浙江理数】如图，在△4BC中，AB=BC=2,N4BC=120°.若平面ABC外的点P

和线段AC上的点Q,满足尸D=D4,PB=BA,则四面体尸BCQ的体积的最大值是.

AB

【答案】一

2

【解析】Al5c中，因为/5=3C=2,//4C=120°,

所以440==30°.

由余弦定理可得AC1=AB2+BC2-2ABBCCOSB

=22+22-2X2X2COS1204=12,

所以/C=2道一

设疝)=x,则0<£<2有，DC=2^/3-x.

在SABD中，由余弦定理可得BD1=AD1+AB1-2ADABcosA

—x1+22-2x-2cos30*=J?一2君x+4.

故即=旧-2任+4.

在AP8D中，PD=AD=x,PB=BA=2.

PD2+PB2-BD2x+22-(x2—2任+4)_白

由余弦定理可得8sNfi尸D=

2PDPB2x2=T

所以NJBPD=30°.

P

EC

D

AB

过P作直线8。的垂线，垂足为。.设PO=d

则S"BD=gBDxd=；PDPBsinNBPD,

即;Jf-2岛+4xd=；x-2sin30",

解得d=

J龙2—2y[^)x+4

而ABC。的面积S=gCO-BCsinN8CQ=g(2百一x)•2sin30"=；(26—x).

设P。与平面ABC所成角为e,则点P到平面ABC的距离〃=dsin夕

故四面体P6CO的体积

x

v=!S"cDX〃=!SABcDdsinew?SSBcDJ=1x|(2V3-x).•一1----

33332&_2氐+4

；1x(2百-x)

6&一2岳+4

设1=1/一2百*+4=J(x—6y+l,因为04xW2ji,所以1W/W2.

则|*一向=必］.

(1)当时，有石|=百_%=J»_1,

故X=y/3-yir-1.

此时y_1(G-J：—1)[2行一(百一J1)]

'~6T

14T214、

=--=-(一0-

6t6t

14

V,(r)=-(---1),因为1〈才<2,

141

所以V'(f)<0,函数V。)在[1,2]上单调递减，故V(f)<V(l)=—(—一1)=-.

612

(2)当y/i<工《时,有|x—|=%—J户—[>

故X=y/3+《产—1.

1(73+#-1)[2^-(73+7?-1)]

141

由（1）可知，函数［（。在（L2］单调递减，故4r）vP（i）=w（；-1）=不

612

综上，四面体MCD的体积的最大值为2.

2

（2）立体几何与基本不等式交汇

如图，在三棱锥P—A8C中，NPA8=NPAC=NACB=90°.

（1）求证：平面P8C，平面PAC；

（2）若PA=1,AB=2,当三棱锥P—ABC的体积最大时，求6c的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）当三棱锥P—ABC的体积最大时，BC=V2.

【解析】(D证明：因为/P4B=/H4C=90°,所以尸4_L4B,PA1AC.1分

因为AfinKC=d,所以尸4_L平面JSC........................................................................2分

因为BCu平面&C,所以笈CJLH4...............................................................................3分

因为NNCB=90。，所以BCJ_a......................................................................................4分

因为所以BC工平面2/c.........................................................................5分

因为BCu平面PBC,所以平面EBCJ■平面PAC................................................................6分

(2)方法1：由已知及(1)所证可知，PA_L平面ABC,BC1CA,

所以PA是三棱锥P—ABC的高.......................7分

因为PA=1,AB=2,设8C=x(0<x<2),.................8分

所以AC==J22-Y=J4—犬.........9分

因为VP-ABC=]^AABCXPA

2

—x\J4-x••••10分

6

<上八(4一"2).........................................................八分

62

=-....................................................................................................................12分

3

当且仅当丁=4一即无=立时等号成

立・...........................................13分

所以当三棱锥尸-ABC的体积最大时，

BC=42...................................................................14分

(3)立体几何与三角函数交汇

如图，已知A4BC,。是的中点，沿直线CO将A4CO折成A4'CO,所成二面角

A'—CD—3的平面角为a,则()

A.ZArDB<aB.ZArDB>aC.ZAfCB<aD.ZArCB<a

【答案】B.

【解析】设NAOC=e，设48=2,则由题意AD=BD=1,在空间图形中，设=

『+12-2

在AA,CB中，。一加=吟舞严2-尸

2x1x12

在空间图形中，过A'作ANJ.OC,过B作3MJ.DC,垂足分别为N,M,

过N作NP'MB,连结A'P,NPJ.OC,

则NA'NP就是二面角A-CD-B的平面角，NA'NP=a,

在MAA'NQ中，Z）N=A'OcosZA'OC=cose,A'N=4'。sinZA'QC=sin6,

同理，BM=PN=sin。,DM=cos。,故BP=MN=2cos6,

显然BP,面A'NP,故BPJ.A'P,

在Rt/^BP中，A/?=AfB2-BP2=Z2-（2COS0）2=/2-4cos26,

AN+NPAPsin2夕+sin?夕一（「一4cos2&）

在AA'NP中，cosa=cosZA'NP='1~'.

2A'NxNP2sin6xsin。

2+2cos~e—厂2-t2cos'61._cos20

----------1-------=-------+—=-cosZADB+——

2sin202sin20sirr0sin~0sin20

^>0,竺ACOSa>COSZA：DB（当。=工时取等号）,

sin26sin262

,：a,ZA/DBe[0,^],而4=85%在[0,同上为递减函数，二口444力5,故选B.

【考点分类】

热点1线线、线面、面面平行与垂直关系的判定

1.12016高考新课标2理数】a,夕是两个平面，加，〃是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果〃?_L〃,m,那么aJ■夕.

（2）如果zn_La,〃//a,那么”_L〃.

（3）如果a//2,〃?ua,那么zn//夕.

（4）如果加//〃,。//0,那么加与a所成的角和〃与夕所成的角相等.

其中正确的命题有.（填写所有正确命题的编号）

【答案】②③④

【解析】对于①，min3mla加⑹则鬼尸的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为〃〃a,所以

过直线篦作平面y与平面齐相交于直线C,则因为加J_a，二加_Lc,二M_L〃，故②正确；对于③，

由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③

④.

2.如图，在直三棱柱ABC-A/Ci中，已知AC_L8C,BC=CC1,设A片的中点为。，

B|CcBG=E.求证：（1）DE〃平面A41G。；（2）BC,±ABt.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】（1）由题意知，E为B£的中点,

又D为AB】的中点，因此DE//AC.

又因为DE（Z平面AAC。，ACu平面AA|GC,

所以DE〃平面AA|C£.

（2）因为棱柱ABC—A]B1G是直三棱柱，

所以CGJ•平面ABC.

因为ACu平面ABC,所以AC_LCJ.

又因为AC_LBC,CGu平面BCQB],BCu平面BCGS，BCC|CC1=C,

所以AC_L平面BCGS.

又因为BGu平面BCGB],所以BC\_LAC.

因为BC=CG，所以矩形BCGB1是正方形，因此BG_LB1c.

因为AC,B1cu平面B1AC,ACf|B]C=C，所以BG，平面B）AC.

又因为A^u平面B1AC,所以BG-LAB..

【方法规律】

1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定

理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.

2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的

性质定理：（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明

这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.

线面平行的证明思考途径：线线平行Q线面平行Q面面平行.

3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面

面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平

面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.

4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面

面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、

面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的

多样性.

5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的

性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的

证明思考途径：线线垂直=线面垂直=面面垂直.

6.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法

向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，

关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进

行垂直之间的转化.

【解题技巧】

1.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定

交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.

2.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性

问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在

这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.

3.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判

定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.

4.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.

5.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.

6.垂直关系综合题的类型及解法

（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

（2）垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.

（3）垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.

7.线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使

用平行、垂直的判定定理和性质定理；

8.线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平

行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；

【易错点睛】

1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.

2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平

行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要

注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.

3.解题中注意符号语言的规范应用.

4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定

理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.

5.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是

先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.

6.证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.

例.已知加和〃是两条不同的直线，1和月是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一

定能推出加_L£的是

A.a_L£,且B.«?〃"，且〃J.£

C.a_L£,且加〃aD.且〃〃£

【答案】B

【解析】•「mln,/»_!_产，并上尸故选B.

【易错点】没有掌握线面垂直的条件

热点2空间线线、线面及面面关系中的角度问题

1.12016高考新课标1文数】平面a过正方体ABCD—ABCD的顶点A,&〃平面CgA,

eCl平面ABCO=〃z,an平面45片4=〃，则m,n所成角的正弦值为（）

(A)也

(C)(D)

22T

【答案】A

【解析】如图,设平面CBpm平面ABCD=朋',平面CBQi平面加为4=疗，因为a〃平面CBR,所

以旭〃Mw"疗,则m,»所成的角等于m\n，所成的角.延长加，过凸作〃用C,连接C瓦及口,则

CE为,同理用及为才，而AD〃C瓦与耳HA.B,则/««'所成的角即为卒迎所成的角,即为60。，

故/初所成角的正弦值为坐，故选A.

2

2.【2016高考天津文数】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED_L平面ABCD,EF||AB,

AB=2,BC=EF=1,AE=V6,DE=3,ZBAD=60°,G为BC的中点.

(I)求证：FG〃平面BED；

(II)求证：平面BED_L平面AED；

(111)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.

【答案】(I)详见解析(H)详见解析(III)—

6

【解析】(I)证明：取5。的中点为。，连接OE,OG,在ABCD中，因为G是的中

点，所以OG〃。。且OG=；OC=1,又因为EFHAB,ABHDC,所以EFV/OG且

EF=OG

,即四边形。GEE是平行四边形，所以FG//OE,又/G<Z平面BE。，OEu平面BED,

所以FG〃平面BED.

(H)证明：在A4B。中，AO=LAB=2,NBA。=60°,由余弦定理可8。=百，进而

可得乙4。3=90°,即BDJ.A。，又因为平面AEO_L平面ABCD,B£)u平面A8CQ；平

面AEOD平面A6CD=AQ,所以8。_L平面AE£>.又因为8。u平面BED,所以平面

BED±平面AED.

（Ill）因为EF//AB,所以直线EF与平面BE。所成角即为直线AB与平面BE。所成角.

过点A作A”_LOE于点“，连接84,又因为平面BEOn平面AEO=E。，由（II）知

AH上平面BED,所以直线AB与平面BED所成角即为NAB”.在A4DE中，

/7

AD=\,DE=3,AE=46,由余弦定理可得cosNAOE=—2，所以sinNAOE=也，因此

33

AHADsmZADE^—,在中，sinNAB”=9="，所以直线A3与

3AB6

平面BED所成角的正弦值为—.

6

【方法规律】

求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行

线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移.

判定空间两条直线是异面直线的方法

（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点6的连线和平面内不经过该点6的直线是异面直线.

（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.

3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问

题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可

以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解.

【解题技巧】

求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，

经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出

异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.

【易错点睛】

1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同•个平面

内”.

2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.

3.两条异面直线所成角的范围是（0°,90。］.

例.过正方体/比力一464〃的顶点/作直线使/与棱/况AD,所成的角都相等，这样

的直线，可以作（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】D

【解析】如图，连接体对角线显然比;与棱幽幽、网所成的角都相等，所成角的正切值都为必.联

想正方体的其他体对角线，如连接班，则典与棱无、BA、8A所成的角都相等，

AAi,BCUAD,

...体对角线被与棱出?、心、川।所成的角都相等，同理，体对角线46&i也与棱助、川、川i所成的角都

相等，过*点分别作助、4C、笳i的平行线都满足题意，故这样的直线/可以作4条.

【易错点】忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平

行关系.

热点3线线、线面、面面的位置关系的综合问题

1.【2016高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC-AIBIG中，D,E分别为A8,BC的中点，点

F在侧棱SB上，且，4C|_LA4.求证：

(1)直线OE〃平面4GF；

(2)平面BQE_L平面4GF.

【答案】(1)详见解析(2)详见解析

【解析】证明：(1)在直三棱柱ABC—ABG中，4C//AC

在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.

所以OE//AC,于是DE//AG

又因为DE<z平面4GF，AGu平面AGF

所以直线DE〃平面AC/

(2)在直三棱柱ABC—ABC中，A4,_L平面A|B£

因为AGu平面A4G，所以A4,_LA|C|

又因为AGMu平面u平面A5B1A，AB|=A

所以AGJ_平面AB4A

因为BQu平面A3qA，所以AG_L

又因为耳o，AF,AGU平面AGF，AFu平面AGF，acn4F=A

所以4。_L平面AGF

因为直线与。u平面4DE,所以平面4DE_L平面AGE

2.12016高考上海文科】将边长为1的正方形AAQQ（及其内部）绕001旋转一周形成圆柱,

如图，3c长为史，耳4长为工，其中Bl与C在平面AAQQ的同侧.

63

（1）求圆柱的体积与侧面积；

（2）求异面直线0B与0C所成的角的大小.

【解析】（D由题意可知，圆柱的母线长1=1,底面半径广=1.

圆柱的体积V==兀xP义1=兀，

圆柱的侧面积S=2陋=2兀X1XI=2兀.

（2）设过点B1的母线与下底面交于点B,则O|B//OB,

所以NCOB或其补角为与OC所成的角.

由贝禺长为可知NAOB=NAQ|B|=四，

11311,3

由MC长为2,可知NAOC='，ZCOB=ZAOC-ZAOB=-,

662

Jr

所以异面直线0月1与OC所成的角的大小为

【解题技巧】

1.利用线线、线面和面面的平行、垂直关系相互转化.

2.求线面所成角时注意垂直关系的应用.

3.结合向量法进行证明和求解

【易错点睛】

(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.

(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线

与交线平行.

(1)证明过程要规范

(2)注意角度的取值范围(线线、线面和面面)

例1.12016高考四川文科】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA±CD,AD〃BC,ZADC=ZPAB=90°,

BC=CD=-AD.

2

(I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM〃平面PAB,并说明理由；

(II)证明：平面PABL平面PBD.

【答案】(I)取棱AD的中点M,证明详见解析；(H)证明详见解析.

(I)取棱AD的中点M(MG平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:

因为ADIIBC,BC=-AD,所以BCIIAM,且BC=AM.

2

所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMIIAB.

又ABu平面PAB,CM（Z平面PAB,

所以CM〃平面PAB.

（说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（II）由已知，PA1AB,PA1CD,

因为AD//BC,BC=-AD,所以直线AB与CD相交,

2

所以PA1平面ABCD.

从而PA1BD.

因为AD//BC,BC=iAD,

2

所以BCIIMD,且BC=MD.

所以四边形BCDM是平行四边形.

所以BM=CD=』AD,所以BD1AB.

2

又ABAAP=A,所以BD1平面PAB.

又BDU平面PBD,

所以平面PAB1平面PBD.

【易错点】不会灵活应用线线、线面和面面平行的判定定理和性质定理进行转换，答题过程

不规范。

【热点预测】

1.设夕是两个不同的平面，机是直线且根ua.“相〃夕”是“a〃尸”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为a,是两个不同的平面，机是直线且，〃ua.若“m〃，：则平面a、△可

能相交也可能平行，不能推出a〃4，反过来若a〃月，勿ua,则有加〃4，则“加〃户”

是“a〃夕”的必要而不充分条件.

2.（2016高考浙江文数】已知互相垂直的平面a,°交于直线/.若直线相，〃满足m//a,n±/3,

则（）

A.m//IB.m//nC.n.LI

D.mA.n

【答案】c

【解析】由题意知aD4=/,.•./<=△，'：n1/3,.-.nil.故选C.

3.已知二面角a—/一4为60。，ABua,ABJL/,A为垂足，CDu。,Cel,

NACO=135。，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为)

A-zB.

【解析】如图作5EJ.产于E,连结NE,过/作NG〃CD,作EG_L4G于G,连结5G,则EG_LNG

设.4B=2i.在&1BE中，/5，£=60。：//£5=90。：；乂5=27:二/£=已在长处丝6中，

NG.4E=90°—NaG=45°,4GF=90°..，G=acos45°=注a在&2USG中，

2

也ar

8sN由6=空=屋=申异面直线AB与CD所成角的余弦值为坐，故选B.

AB2a44

4.若/，加是两条不同的直线，〃z垂直于平面a,则“/，机”是“///a的（)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

【解析】若/_L/〃，因为〃2垂直于平面a,则///a或/ua；若///a,又加垂直于平面a,

则/_L加，所以“/J”是“///a的必要不充分条件，故选B.

5.【2016高考山东文数】已知直线a,b分别在两个不同的平面a,6内，则“直线a和直线

b相交”是“平面a和平面6相交”的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不

必要条件

【答案】A

【解析】“直线a和直线〃相交”=>“平面a和平面/相交”，但“平面a和平面夕相交”

X“直线a和直线力相交”，所以“直线。和直线人相交”是“平面a和平面/相交”的充

分不必要条件，故选A.

6.如图，在正方体ABC。—A4GA中，点。为线段3。的中点•设点「在线段CG上，直

线OP与平面43。所成的角为a,贝"sina的取值范围是（）

A.[y,l]B.停Jc.俘，乎]D.苧1]

【答案】B

E解析】设正方体的棱长为1,所以

33+Lrr

+9=学，。，=一卫:在

cosN/OG=—Lsin4QGcos///3sin/4OC=

2x

l2x—

2

又直线与平面所成的角小于等于90°,而4QC为钝角，所以sina的范围为［半刀，选B.

7.【广东省惠州市2017届高三第一次调研】已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等

腰直角三角形，AB=2,SA=SB=SC=2,则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距

离是（）

V3D.乎

B.1C.V3

【答案】A

【解析】因为三棱锥S-ABC的底面是以A3为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2,

r.S在面ABC内的射影为AB中点"，.。.S"_L平面ABC,.•.S”上任意一点到A,B,C的

距离相等.

•;SH=6CH=1,在面S”C内作SC的垂直平分线M。，则。为S—ABC的外接球球

心.

v5C=2,.-.SM=1,NOSM=30。，.•.50=逋,0"=立，即为。到平面ABC的距

33

离，故选A.

8.【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考】如图，已知矩形ABC。，A£）=2,

E为A8边上的点，现将A4DE沿DE翻折至A4OE,使得点4在平面E3C0上的投影在

CO上，且直线与平面EBC。所成角为30°,则线段AE的长为

【解析】如下图所示，过，作，CD于由题意得，/'“，平面加四一二/^二匕破：下，

设NE=x,.•.即=必]，在四边形ZUEH中，可得-/尸=/_]=尢=±抬，故埴：生叵

33

9.【改编自广东省珠海市2017届高三9月摸底】在正方体ABC。-44GA中，民尸分别

是棱44，B1G的中点，。是AC与8□的交点，面OEf与面8CC4相交于〃?，面。。也与

面BCC.B,相交于n,则直线加,〃的夹角为.

【答案】0.

【解析】延长RE，G区交于点M，延长。0,与8交于点N,连接MN.因为民尸分别是

的中点，。是AC与3。的交点，所以面OEF与面3CG4的交线为CF,即旭=。尸；由

作法知面

与面BCC.B,的交线为MN，即〃=MN,因为EFIIC。，且Eb=CO，所以四边形EFCO

为平行四

边形，所以CTIIEO,所以所II平面。。£,所以CbIIMN,即加II〃，所以直线〃?,〃

的夹角为0.

10.【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）（开学考试）】如图，在直三

棱柱ABC—A4G中，底面ABC是等腰直角三角形，且斜边A8=20,侧棱AA=3,点

。为A3的中点，点E在线段AA上，AE=/L44（2为实数）.

(1)求证：不论力取何值时，恒有C£＞，4E；

当4=工时一求平面CDE与平面ABC所成二面角的余弦值.

(2)

3

川广

D

【答案】（1）证明见解析；（2）—.

3

【解析】（D证明：在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，点D为AC的中点，二CDJ.AB,（1分）

又在直三棱柱KBC-44G中，AA」平面ABC,CDu平面ABC,

二AAiKD,（3分）

又=4=CD_L平面ABB^,（4分）

又不论X取何值时,B]Eu平面,..CDl^E.（6分）

（2）法一：由（1）知，CD_L平面皿44,

.DE±CD,AD±CD

即N/DE为二面角E—CD—A的平面角.（8分）

A=-

•:3,.-.AE=1.

AD=-AB=^2

又2,

DE=ylAD2+AE2=6

二8saIDE=（11分）

DE3

二平面CDE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值大小为也.（12分）

3

法二：分别以CA,CB,CC|所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系C—xyz,则C（0,0,0）,D

（1,1,0）,E（2,0,1）,4（°，2,3），G（0,03丽=（1,1,0）,在=（2,0,1）

设平面CDE的一个法向量为〃=（再>*）,

n-CD=x+y=0,

<

则［〃-CE=2x+z=0,令x=l,得〃=（1,一1,一2）.（9分）

平面ABC的一个法向量为℃

,中,

\n-CCl\6V6

l»IICC,|3X712+(-1)2+(-2)23

•，•平面CDE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值大小为逅.(12分)

3

11.【江苏省南京市2017届高三上学期学情调研】如图，在直三棱柱ABC—A归Ci中，点

N分别为线段A8,4G的中点.

(1)求证：MN〃平面BBiGC；

(2)若。在边BC上，AD±DC1,求证：MNLAD.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】证明：（1）如图，连结4c.

在直三棱柱池，-/山心1中，侧面为平行四边形.

又因为N为线段/G的中点，

所以小C与NQ相交于点N,

即4C经过点N,且N为线段4c的中点............2分

因为亚为