四川省成都东部新区养马高级中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题【含答案】

东部新区养马高级中学2022级数学开学考试一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）1.若​，则​（）A.​ B.​C.​ D.​【答案】B【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式即可得解.【详解】解：因为​，所以​.故选：B.2.已知向量，，那么（）A.5 B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.【详解】因为向量，，所以.故选：B.3.复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数除法运算可求得，根据对应点的坐标可得结果.【详解】，对应的点为，位于第三象限.故选：C.4.已知，是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】D【解析】【分析】对ABC，举反例判断即可；对D根据线面平行与线面垂直的性质判定即可【详解】对A，若，，则或，故A错误；对B，若，，则或，故B错误；对C，长方体同一顶点所在的三个平面满足，，，故C错误；对D，若，则平行于内的一条直线，又，故，故成立，故D正确；故选：D5.在四边形中，，，，，，，分别为，的中点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以为原点、所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，求出所需各点坐标，利用向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】以为原点、所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，设与轴交于点，因为，，，，，分别为，的中点，可得，，，，所以，，，，，，所以，，，故选：D.6.在中，，则是（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理实现角化边，再整理条件可得，从而为直角三角形.【详解】在中，由正弦定理得，，又，所以，整理得.所以为直角三角形.故选：C.7.已知空间四边形中，，分别是，的中点，若，，，则与所成的角为（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】【分析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得，，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案.【详解】解：设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.∴，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数，又EF⊥AB，，∴EF⊥GF，则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°，∴在直角△GEF中，，∴∠GEF=30°.故选：A.8.在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设球的半径为r，由等积法得，由此可求得设球的半径为r，再根据球的表面积公式可求得答案.【详解】解：因为平面，平面，平面，平面，所以，，，又，所以平面，所以，所以均为直角三角形，设球的半径为r，则，而，，所以，解得，所以球的表面积为，故选：A.二、多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）9.在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是（）A.若，则 B.若，则B取值范围是C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理判断A；由角形为锐角三角形，，所以，即有，根据可得的范围，从而判断B；由，可得，进而得，从而判断C；由，可得，从而判断D.【详解】解：对于选项A，因为A>B，所以有,所以，故正确；对于选项B，因为，则，所以，由可得的取值范围是，故错误；对于选项C，锐角三角形ABC中，，，∴，同理，，所以故正确；对于选项D，锐角三角形ABC中，因为，即，，又∵，∴，故正确．故选：ACD．10.如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，给出以下结论，其中正确的有（）A.与所成的角为45°B.//平面C.平面平面D.对于任意的点，四棱锥的体积均不变【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线夹角的定义，线面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】连接，∵，∴为与所成角，设正方体棱长为1，则，∴，故A错误；∵平面平面，平面，∴平面，故B正确；连接，则，∵平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面，故C正确；设正方体棱长为1，则，故三棱锥的体积均不变，故D正确；故选：BCD.【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，线面平行的判定以及面面垂直的判定，属综合基础题.11.如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（）A. B. C.3 D.【答案】BC【解析】【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、圆的性质进行求解即可.【详解】由题意：因为正六边形的边长为2，所以圆心到各边的距离为：，所以，所以，故选：BC．12.函数的图象，可由的图象经过下列哪项变换而得（）A.向右平移个单位长度，横坐标伸长到原来的倍，纵坐标伸长到原来的倍B.向右平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍C.横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的倍D.横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的倍【答案】BC【解析】【分析】利用诱导公式化简函数解析式为，利用三角函数图象变换可得出结论.【详解】由诱导公式可得，所以，为了得到函数的图象，可由的图象向右平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，B选项满足条件，也可由的图象横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的倍，C选项满足条件.故选：BC.三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.在平行四边形ABCD中，_________．【答案】##【解析】【分析】先用平行四边形法则，再用三角形法则．【详解】平行四边形ABCD中，.故答案为：.14.______．【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦公式可求得结果.【详解】.故答案为：.15.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】首先将复数化简，再根据复数的几何意义，列不等式求实数的取值范围.【详解】复数，因为复数对于的点在第四象限，所以，解得：.故答案为：16.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则：（1）球的表面积为__________；（2）若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根据垂直关系,可将三棱锥可放入以为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,进而求解即可；（2）易得为底面的外接圆圆心,当截面时,截面面积最小,即截面为平面,求解即可.【详解】（1）由题,根据勾股定理可得,则可将三棱锥可放入以为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,即,则,所以球的表面积为；（2）由题,因为,所以为底面的外接圆圆心,当截面时,截面面积最小,即截面为平面,则外接圆半径为,故截面面积为故答案为：（1）；（2）【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题,考查球的表面积,考查转化思想,考查空间想象能力.四、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）17.已知向量，，，．（1）若，且，求x的值；（2）是否存在实数，使得？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）或；（2）存在；.【解析】【分析】（1）根据平面向量平行的坐标表示可得答案；（2）根据平面向量垂直的坐标表示可得答案.【小问1详解】∵，又，∴，即．又，∴或；【小问2详解】∵，，若，则，即，∴．由得，得．∴当时，．18.如图，在棱长为6的正方体中，点E是的中点，与交于点O.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理可证得；（2）利用三棱锥的体积公式可求解.【小问1详解】因为四边形为正方形，所以点O为的中点，又点E是的中点，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】由正方体性质知平面，且点E是的中点，所以点E到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即于是，所以三棱锥的体积为.19.已知向量，，函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，求的零点和单调递增区间．【答案】（1）（2）零点为和；单调递增区间为，【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算以及二倍角公式，辅助角公式，将化简为，利用周期公式即可求解.（2）将零点转化为方程的根即可求解，根据整体法代入正弦函数的单调递增区间中即可求解.【小问1详解】由向量，，函数得．所以的最小正周期为．【小问2详解】令，∴，，解得，，∵，所以的零点为和．令，，得，．又，所以单调递增区间为，．20.四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，，平面．（1）求直线与平面所成角；（2）求证：平面平面．【答案】（1）（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据平面，得到AD为直线PD在平面ABCD上的射影，从而直线与平面所成的角求解；（2）易知是等边三角形，再由E为CD的中点，得到，从而，然后由平面，得到，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明.【小问1详解】解：因为平面，所以AD为直线PD在平面ABCD上的射影，所以直线与平面所成的角，在中，，因为，所以；【小问2详解】中，，，所以是等边三角形，又E为CD的中点，所以，又，所以，又平面，平面，所以，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，又平面PBE，所以平面平面PAB.21.如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且.（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（2）记为，为，求的值.【答案】（1）2，18平方（2）【解析】【分析】（1）由同角的平方关系，求出，在中结合余弦定理即可求出结果；（2）在中结合正弦定理求得，然后根据同角的平方关系求出，再由平面几何图形以及诱导公式求出和，然后利用两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】（1）因为，且角为钝角，所以.在中，由余弦定理得，，所以，即，解得或（舍），所以小岛与小岛之间的距离为.∵，，，四点共圆，∴角与角互补，∴，，在中，由余弦定理得：，∴，∴.解得（舍）或.∴.∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方.（2）在中，由正弦定理，，即，解得又因为，所以，且为锐角，所以为锐角，所以，又因为，，所以.22.已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．（1）求的单调递减区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取