机械振动理论：初始激励的响应

1机械振动理论基础2特征值问题求解步骤：

1、写出系统的惯性矩阵和刚度矩阵，求得振幅的系数矩阵；

2、由特征值行列式等于零的条件求得

3、将代入振型公式，求出对应的主振型。

3例1双弹簧质量系统其结构如图所示。已知：，求：特征值问题。解：1.写出矩阵

——

惯性矩阵

特征值矩阵

刚度矩阵

4例1双弹簧质量系统其结构如图所示。已知：，求：特征值问题。解：1.写出矩阵

惯性矩阵特征值矩阵

刚度矩阵

特征值矩阵一般形式

2．求特征值【由特征行列式等于零，得频率方程；求方程的根】52．求特征值由特征行列式等于零：得频率方程：3.求振型

振型定义：关于和的线性齐次代数方程组：该系统刚度、质量矩阵系数：该系统固有频率：7画振型图：3.求振型

8振型图为：3.求振型

-1.6182110.6182###

9例2初轧机传动线系统简化为两个自由度，分别为两园盘绕轴的转动惯量。为轴段的扭转刚度，试解特征值问题。解：1.列写质量矩阵、刚度矩阵：2.列写运动微分方程:[本系统是半正定系统——

势能大于、等于零]正定系统——

指系统的势能表达式为正定的二次型，即对于任意非零的广义坐标，势能永远是正的非零值。10本系统的势能表达式为：所以是半正定系统。其刚度矩阵的行列式为：3.写特征矩阵:由：[这种半正定系统不存在柔度矩阵。]11将带入：将带入：4.求振型：说明——整个系统作刚体运动。[半正定系统都存在刚体运动]说明——在轴段上有一始终不动的节面。

[设计时应考虑]12将带入第二列：5.用特征阵的伴随阵的列元素比值求振型写伴随矩阵：***1）去掉计算元素的所在行、列元素，余项计算它的代数余子式。2）确定该元素符号：

整个系统作刚体运动，半正定系统都存在刚体运动。第二种求振型的方法：13将带入第二列：5.用特征阵的伴随阵的列元素比值求振型写伴随矩阵：1）去掉计算元素的所在行、列元素，余项计算它的代数余子式。2）确定该元素符号：

整个系统作刚体运动，半正定系统都存在刚体运动。第二种求振型的方法：14将带入第二列：[两种方法结果相同。]例：写出特征矩阵(c)的伴随矩阵：写矩阵的伴随矩阵：1）去掉计算元素的所在行、列元素，余项计算它的代数余子式。2）确定该元素符号：

练习：例：写出特征矩阵(c)的伴随矩阵：写矩阵的伴随矩阵的方法：***1）去掉计算元素的所在行、列元素，余项计算它的代数余子式。2）确定该元素符号：

17得两组特解为：[令]初始激励[条件]的响应对于一个两自由度系统，根据系统的参数，解特征值问题——求出系统的频率和主振型：也可以改写为：将两组主振动线性叠加，得系统的通解为：4.4.2初始激励的响应（拍的现象）用两角和公式展开，且令：18下面用初始条件确定常数由：得到下列代数方程组：将代回原式，即得系统对初始条件的响应。分别解两组代数方程，得：19求系统在下列三种初始条件下的响应：1.振型图为：振幅比：

-1.6182110.6182例3前例1中的双质量弹簧系统已求出频率：——系统的响应为两阶主振动的合成。202．——

即两质量初始位移之比为一阶振幅比。计算得：所以

——可见系统以第一阶频率按第一阶振型作同步谐振动，即系统仅做第一阶主振动。213.计算系数：——显然，系统的响应为二阶主振动。结论——

振动的成分构成与初条件有关。响应：——

即两质量初始位移之比为二阶振幅比。*例4求双联摆系统在给定初始条件下的响应。[设:时，]解：列矩阵方程：23*例2—7求双联摆系统在给定初始条件下的响应。[设:时，]得两阶固有频率：

特征方程为：带入（A）式，特征矩阵为：解：列矩阵方程：设同步特解：24*例2—7求双联摆系统在给定初始条件下的响应。[设:时，]得两阶固有频率：

特征方程为：带入（A）式，特征矩阵为：解：列矩阵方程：设同步特解：25*例2—7求双联摆系统在给定初始条件下的响应。[设:时，]得两阶固有频率：

特征方程为：带入（A）式，特征矩阵为：解：列矩阵方程：设同步特解：26*例2—7求双联摆系统在给定初始条件下的响应。[设:时，]得两阶固有频率：

特征方程为：带入（A）式，特征矩阵为：解：列矩阵方程：设同步特解：27第一阶主振动中——

两摆永远平行，同时达最大值同时到平衡位置，频率和一单摆的摆一样，

弹簧不变形。由特征矩阵求伴随矩阵:任取一列求振幅比:28第一阶主振动中——

两摆永远平行，同时达最大值同时到平衡位置，频率和一单摆的摆一样，

弹簧不变形。由特征矩阵求伴随矩阵:任取一列求各阶振型:29第一阶主振动中——

两摆永远平行，同时达最大值同时到平衡位置，频率和一单摆的摆一样，

弹簧不变形。由特征矩阵求伴随矩阵:任取一列求各阶振型:30第二主振动——

两摆的摆动相对系统的对称轴对称，相向摆动达最高值，然后又相背摆动。一个系统——

如有一对称面，则主振型相对此对称面，不是对称就是反对称，而且从低频到高频排列，对称、反对称振型交潜出现。311、由初始条件：及频率振幅比,计算出各常数：确定系统对初始条件的响应：*[和差化积]323、如果初条件为：——

即系统作第一阶主振动

响应为：2、如果初始条件为:响应为：——

系统作第二阶主振动33即：系统的初条件，相当于两种初条件的叠加；系统的响应，也相当于两式响应的叠加。相当于：本题的初条件为：初条件叠加响应的叠加34当弹簧刚度很小时，即：比小得多，将出现一种很有趣的现象——称为拍。由于：当：很小时，令：

则系统对初始条件的响应改写为：3