湖南省张家界市一鸣实验中学高三数学理模拟试题含解析

湖南省张家界市一鸣实验中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C略2.在圆内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项，最长弦长为，若公差，那么n的取值集合为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A由题意得，，，，，，，，．故选A。3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（

）

A．

B．C．

D．参考答案：A4.若函数()满足且时，,函数，则函数在区间内零点的个数为A．

B．

C．

D．

参考答案：C略5.设R，，，则.

.

.

.参考答案：B略6.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是

A．(2,0)

B．(4,0)

C．(－2,0)

D．(－4,0)参考答案：C由y2＝－8x，易知焦点坐标是(－2,0)．7.如下框图，当时，等于（

）A.7

B.8

C.10

D.11参考答案：B8.“x＜1”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由ln（x+1）＜0得0＜x+1＜1，得﹣1＜x＜0，则“x＜1”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．9.若空间三条直线满足，，则直线与

………（

）.一定平行

一定相交

一定是异面直线

一定垂直参考答案：D10.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A．

B．8

C．8－

D．8参考答案：C由三视图知：原几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥，正方体的棱长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，所以该几何体的体积为：。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在Rt△ABC中，AB=AC=3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则的值为．参考答案：4考点： 平面向量数量积的运算．专题： 计算题；平面向量及应用．分析： 运用向量垂直的条件，可得=0，由M，N是斜边BC上的两个三等分点，得=（+）?（+），再由向量的数量积的性质，即可得到所求值．解答： 解：在Rt△ABC中，BC为斜边，则=0，则=（）?（+）=（+）?（+）=（+）?（）=++=×9+=4．故答案为：4．点评： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．12.某飞机显示屏上的每个指示灯均以红光或蓝光来表示不同的信号，已知一排有个指示灯．若每次显示其中的4个，并且恰有3个相邻，则可显示的不同信号共有（

）A．80种

B．160种

C．320种

D．640种参考答案：C13.己知是虚数单位,若，则__________.参考答案：2+i14.已知函数，则满足的实数x的取值范围是________.参考答案：15.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离,截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．参考答案：【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为的余弦值，即可得出椭圆离心率。【详解】如图，圆锥面与其内切球，分别相切与B,A，连接则，，过作垂直于，连接，交于点C设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为在中，，∵△EO2C≌△FO1C解得即则椭圆的离心率【点睛】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦与圆锥母线与轴的夹角的余弦之比，即。16.关于的方程（其中为虚数单位），则方程的解_______.参考答案：由行列式得，即。【答案】【解析】17.有一列向量：，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列，满足，，那么这列向量中模最小的向量的序号n=．参考答案：4或5【考点】数列与向量的综合．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】求出等差向量列的差向量，得出得通项公式，代入模长公式求解最小值．【解答】解：∵{}是等差向量列，∴{xn}，{yn}是等差数列，设{xn}，{yn}的公差分别是d1，d2，∴，解得d1=1，d2=1，∴xn=﹣20+n﹣1=n﹣21，yn=13+n﹣1=n+12，∴=（n﹣21，n+12）．∴||2=（n﹣21）2+（n+12）2=2n2﹣18n+585=2（n﹣）2﹣+585．∴当n=4或n=5时，||2取得最小值．故答案为4或5．【点评】本题考查了数列与向量的综合应用，求出{}的通项公式是关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知二阶矩阵的特征值所对应的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为，求曲线的方程．参考答案：（1）依题意,得，

即，解得，；

（2）设曲线上一点在矩阵的作用下得到曲线上一点，

则，即，

，，整理得曲线的方程为．19.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，x∈R（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求实数a的最小值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知正实数m，n，p满足m+2n+3p=M，求的最小值．参考答案：【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求出f（x）的最小值，即可求实数a的最小值M；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求++的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|≥|a﹣2|，∵关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，∴|a﹣2|≤a，∴a≥1，∴实数a的最小值M=1；（Ⅱ）m+2n+3p=1，++=（++）（m+2n+3p）≥（+2+）2=16+8，∴++的最小值为16+8．【点评】本题考查绝对值不等式的运用，考查柯西不等式在最值中的应用，考查计算能力．20.已知函数f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x）相切？并说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，解关于导函数的不等式，从而得到函数的单调区间；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），求出切线斜率K，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数g（x）（x＞0），求出导函数，通过讨论①当m＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0，②当m＞0时，类比求解，推出当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线，③当m=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．【解答】解：（1）f（x）=x2+mlnx+x，（x＞0），f′（x）=x++1==，①m≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）递增，②m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），则切线斜率k=1+，切线方程为y﹣（x0+alnx0）=（1+）（x﹣x0）．因为切线过点P（1，3），则3﹣（x0+alnx0）=（1+）（1﹣x0）．即m（lnx0+﹣1）﹣2=0．

…①令g（x）=m（lnx+﹣1）﹣2（x＞0），则g′（x）=m（﹣）=，①当m＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当m＜0时，切线的条数为0．②当m＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．取x1=e1+＞e，则g（x1）=a（1++e﹣1﹣﹣1）﹣2=ae﹣1﹣＞0．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取x2=e﹣1﹣＜，则g（x2）=m（﹣1﹣+e1+﹣1）﹣2=me1+﹣2m﹣4=m[e1+﹣2（1+）]．设t=1+（t＞1），u（t）=et﹣2t，则u′（t）=et﹣2．当t＞1时，u′（t）=et﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立，所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．③当m=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当m≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．21.已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜﹣1的解集；（2）若不等式f（x）≤a|x﹣2|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；不等式．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，|x+1|﹣|2x﹣1|≤a|x﹣2|恒成立，即a≥||﹣||=|1+|﹣|2+|，利用绝对值三角不等式求得|1+|﹣|2+|的最大值，可得a的范围．【解答】解：（1）不等式f（x）＜﹣1，即①，或②，或．解①求得x＜﹣1；解②求得﹣1≤x＜﹣，解③求得x