湖南省益阳市朝阳大海棠中学高三数学理期末试卷含解析

湖南省益阳市朝阳大海棠中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设双曲线的渐近线方程为则的值为（

）A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：C本题考查双曲线的渐近线方程和双曲线方程，难度较低。由双曲线方程可得渐近线方程为，由已知得，所以a=2。，选择C。2.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右图）。由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数（

）

A．20

B．25

C．30

D．35参考答案：C3.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是

（

）

A．所有奇数的立方都不是奇数

B．不存在一个奇数，它的立方是偶数

C．存在一个奇数，它的立方是偶数

D．不存在一个奇数，它的立方是奇数参考答案：C略4.在中，，若，则(

)

A． B． C． D．参考答案：【知识点】向量的数量积

F3Ｄ由题意可得：，，由同角三角函数基本关系式可得：所以，故选择Ｄ.【思路点拨】根据已知可得，，进而得到，即可得到三角形面积.5.在正方体中，直线与平面所成的角的正弦值等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.设向量，向量，向量，则向量（

）

A．（－15，12）

B.0

C.－3

D.－11参考答案：C7.设O是△ABC内部一点，且，则△AOB与△AOC的面积之比为 A．4 B．1 C． D．参考答案：D略8.函数的图象大致为参考答案：C9.已知数列的前项和，则（A）

（B） （C）

（D）参考答案：D【知识点】数列的求和【试题解析】因为

故答案为：D10.已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（）A．f（x）的图象关于（，1）中心对称B．f（x）在（，）上单调递减C．f（x）的图象关于x=对称D．f（x）的最大值为3参考答案：B【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性，最值性，对称性的性质分别进行判断即可．【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，A．当x=时，sin（2x﹣）=0，则f（x）的图象关于（，1）中心对称，故A正确，B．由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，当k=0时，函数的递减区间是[，]，故B错误，C．当x=时，2x﹣=2×﹣=，则f（x）的图象关于x=对称，故C正确，D．当2sin（2x﹣）=1时，函数取得最大值为2+1=3，故D正确，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆与双曲线有公共的左、右焦点F1,F2,它们在第一象限交于点P,其离心率分别为,以F1,F2为直径的圆恰好过点P,则

.参考答案：212.当无理数x=

时，代数式的值是整数．参考答案：13.双曲线过其左焦点作轴的垂线交双曲线于两点，若双曲线右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为

.参考答案：（1，2）由题知：若使双曲线右顶点在以为直径的圆内则应有：

又,

.故选A14.已知F是抛物线的焦点，M、N是该抛物线上的两点，，则线段MN的中点到轴的距离为__________.参考答案：略15.如图，△ABC内接于,AB=AC，直线MN切于点C，弦，AC与BD相交于点E．若AB=6,

BC=4，则DE=__________.参考答案：16.若向量与向量共线，则

．参考答案：17.已知函数满足：，，则=__

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（15分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AD的中点M是顶点P的底面ABCD的射影，N是PC的中点．（Ⅰ）求证：平面MPB⊥平面PBC；（Ⅱ）若MP=MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明BC⊥平面PMB，即可证明：平面MPB⊥平面PBC；（Ⅱ）过B作BH⊥MC，连接HN，证明∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，即可求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，设AB=2a，M是AD的中点，MB2=AM2+AB2﹣2AM?AB?cos60°=3a2，MC2=DM2+DC2﹣2DM?DC?cos120°=7a2．又∵BC2=4a2，∴MB2+BC2=MC2，∴MB⊥BC，又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，∴PM⊥平面ABCD，又∵BC?平面ABCD，∴PM⊥BC，而PM∩MB=M，PM，MB?平面PMB，∴BC⊥平面PMB，又BC?平面PBC，∴平面MPB⊥平面PBC．（Ⅱ）解：过B作BH⊥MC，连接HN，∵PM⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BH⊥PM，又∵PM，MC?平面PMC，PM∩MC=M，∴BH⊥平面PMC，∴HN为直线BN在平面PMC上的射影，故∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，在△MBC中，由（Ⅰ）知BC⊥平面PMB，PB?平面PMB，∴PB⊥BC．，∴．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.（本小题满分12分） 如图，平面平面ABCD，，点E在线段AD上移动． （Ⅰ）当点E为AD的中点时，求证：EF//平面PBD； （Ⅱ）求证：无论点E在线段AD的何处，总有．参考答案：（Ⅰ）证明：在三角形中，， 所以是的中点，连接，………………2分 在中，点分别是边的中点， 所以

…………………4分 又

所以//平面．……………6分 （Ⅱ）因为平面平面，平面平面,， , 所以平面

……8分 又,所以,又， ,, 所以……10分 又

所以 所以无论点在线段的何处，总有．…………12分20.

f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2.若对任意的x∈t，t+2，不等式f(x+t）≥2f(x)恒成立，求t的取值范围。参考答案：f(x+t）≥2f(x)=f(),又函数在定义域R上是增函数故问题等价于当x属于t,t+2时x+t≥恒成立恒成立，令g(x)=，

解得t≥.

21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是的中点。（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值。参考答案：【知识点】空间向量解决线面位置关系G10【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）（Ⅰ）平面ABCD，平面ABCD，，，，，又，平面PBC，∵平面EAC，平面平面PBC

(2)以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，－1，0）。设P（0，0，a）（a>0），则E（，，），

，，，

取=（1，－1，0）则，m为面PAC的法向量设为面EAC的法向量，则，即，取，，，则，依题意，，则。于是设直线PA与平面EAC所成角为，则，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为。【思路点拨】利用线面垂直证明面面垂直，利用空间向量求出法向量求出正弦值。22.（本题满分12分）袋中装有4个大小相同的小球，球上分别编有数字1，2，3，4.(I)若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率：(II)若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，球的编号为b，求直线与圆有公共点的概率，参考答案：(Ⅰ)用(表示第一次取到球的编号,表示第二次取到球的编号)表示先后两次取球构成的基本事件,

………………1分则基本事件有:

共个.

……3分设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被整除”为事