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文档简介
2023北京丰台高三(上)期末
数学
2023.01
1.答题前,考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚,并认
考真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
生2.本次练习所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项
须涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写,
知要求字体工整、字迹清楚。
3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效,在练习卷、草稿纸
上答题无效。
4.本练习卷满分共150分,作答时长120分钟。
第一部分(选择题40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.己知全集。=11,集合A={x[—l<x40},则Q,A=
(A)(-oo,-l)U(0,+oo)(B)U(0,+oo)
(C)(-<x>,-l)UrO,+oo)(D)(-oo,-HU[0,+oo)
2.已知复数2=堪+»,则在复平面内,复数]对应的点位于
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
3.在(x-4)4的展开式中,常数项为
x
(A)-24(B)24(C)-48(D)48
4.已知向量。=(2,2),』=(/M),则“2=0”是“a〃b”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
5.下列函数是偶函数,且在区间(0,1)上单调递增的是
(A)y=1-x2(B)y=tanx(C)y=xcosx(D)y=e'+e~x
6.已知抛物线。:丁=2〃氏5〉0)过点4(1,a),焦点为F.若点5(租,0)满足|A日=怛%则加的值为
(A)2(B)x/2+1(C)2或一1(D)拉+1或1一0
7.已知函数/(x)=31og2X—2(x—1),则不等式/(x)〉0的解集是
(A)(1,4)(B)y,l)U(4,”)
(C)(0,l)U(4,e)(D)(0,4)
X2y2
8.设双曲线C:三-二=1(。〉0力>0)的右焦点为八过点尸的直线/平行于双曲线C的一条渐近线,与
ab~
另一条渐近线交于点P,与双曲线。交于点。若。为线段尸产的中点,则双曲线。的离心率为
(A)-(B)—(C)V2
22
9.如图,在四棱锥中,底面A8CC是边长为3的
正方形,PZR平面ABCQ,点M为底面上的动点,M到
PD的距离记为d,若MC=2d,则点M在底面正方形内
的轨迹的长度为
(A)2(B)—
3
(C)x/5(D)—
4
10.市场占有率指在一定时期内,企业所生产的产品在其市场的销售量(或销售额)占同类产品销售量(或
销售额)的比重.一般来说,市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化,如果市场的顾客流动趋向
长期稳定,那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态(即顾客的流动,不会影响市
场占有率),此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”.有4,B,C三个企业都生产某产品,2022年
第一季度它们的市场占有率分别为:40%,30%,30%.经调查,2022年第二季度A,B,C三个企业之
间的市场占有率转移情况如下图所示:
10%
若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同,则当市场出现稳定的平
衡状态,最终达到“稳定市场占有率”时,A企业该产品的“稳定市场占有率”为
(A)45%(B)48%(C)50%(D)52%
第二部分(非选择题110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
11.函数/0)=+jn斤的定义域是.
12.在等差数列{4}中,公差d不为0,4=9,且q,%,生成等比数歹U,则d=;当n=
时,数列{〃“}的前〃项和Sn有最大值.
13.已知集合A={(x,y)|x-y-〃z=0,x,yER},3={(x,y)|f+y?_2x+2y=O,x,ywR},若AplB为2
个元素组成的集合,则实数机的取值范围是.
14.已知函数/•")=sin((yx+工)(<y>0),若/(马=/(二),且/(x)在区间(二,马上有最小值无最大值,则
66262
/=.
15.已知函数/(x)=alnx-(x-l)2(a£R)存在两个极值点石,工2(百</),给出下列四个结论:
①函数/(X)有零点;②。的取值范围是(一L+oo);
③々>1;®/(x2)>0.
其中所有正确结论的序号是.
三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
16.(本小题13分)
如图,已知正方体ABCD-A4Gq中,点E是棱8c的中点.
(I)求证:〃平面£>C|E;
(II)若点尸是线段8R的中点,求直线OF与平面OGE所
成角的正弦值.
17.(本小题14分)
在△43C中,2asinB=6b.
(I)求A;
(H)若。=2及,从下列三个条件中选出一个条件作为已知,使得AABC存在且唯一确定,求△ABC的
面积.
条件①:8$。=一』过;
10
条件②:a=2;
条件③:sinB=心~.
5
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(本小题14分)
非物质文化遗产(简称“非遗”)是优秀传统文化的重要组成部分,是一个国家和民族历史文化成就的
重要标志.随着短视频这一新兴媒介形态的兴起,非遗传播获得广阔的平台,非遗文化迎来了发展的春天.为
研究非遗短视频受众的年龄结构,现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝,记录他们的年龄,
将数据分成6组:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70],并整理得到如下频率分布直
方图:
(I)求a的值;
(H)从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人,记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X,用频率估计
概率,求X的分布列及数学期望E(X);
(111)在频率分布直方图中,用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数,估计非遗短视
频粉丝年龄的平均数为“若中位数的估计值为",写出相与〃的大小关系.(结论不要求证明)
19.(本小题15分)
已知椭圆E:「■+/=1(。>。>0)过点A(-2,0),离心率为等.
(I)求椭圆E的方程;
(II)设点P(2,〃z)(加>0),直线出与椭圆E的另一个交点为C,。为坐标原点,3为椭圆E的右顶点.
记直线O尸的斜率为勺,直线BC的斜率为%2,求证:为定值.
20.(本小题15分)
已知函数/(x)=lnx+sinx.
(I)求曲线y=f(x)在点(1J⑴)处的切线方程;
(II)求函数/(x)在区间[1同上的最小值;
(III)证明函数/(x)只有一个零点.
21.(本小题14分)
设♦为正实数,若各项均为正数的数列{勺}满足:VneN*,都有。向之4+九.则称数列{““}为PQ)
数列.
(I)判断以下两个数列是否为P(2)数列:
数列A:3,5,8,13,21;
数列B:log?5,兀,5,10.
(II)若数列{2}满足4>0且〃川=b„+而5-^A不,是否存在正实数2,使得数列{a}是PQ)数列?
若存在,求4的取值范围;若不存在,说明理由.
(III)若各项均为整数的数列{4}是P⑴数列,且{〃“}的前胴(〃栏2)项和弓+生+%+…+4为150,求
am+m的最小值及取得最小值时am的所有可能取值.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
参考答案
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.
题号12345678910
答案BCBADCACBC
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11.1-1,0)U(0,4w)12.-2:513.(0,4)
14.415.①④
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.(本小题13分)
(I)证明:连接C",交。G于点
依题意知,四边形为正方形,所以“是
线段的中点,
连接石因为E为棱5c的中点,
所以
因为EMu平面£>GE,B.Z平面。GE,
所以平面£>GE.5分
(II)解:设正方体ABCD-A8cA的棱长为1,
以。为坐标原点,DA,DC,DDt所在的直线分别为
x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则0(0,0,0),8(1,1,0),0,(0,0,1),C,(0,1,1),
C(0,L0),
因为点尸是线段的中点,E为棱5c的中
点,
所以尸(万,万,万),E(—,i,o)>
所以而=(g,g,;),DC'=(0,1,1),DE=(l,l,0).
设〃=(x,y,z)是平面£)GE的一个法向量,则
u-DC[=y+z=0,
,—►1八
w-D£=—x+y=0.
取y=l,则x=-2,z=—l.
于是〃=(1,一2,-1)是平面DQE的一个法向量.
设直线。尸与平面。GE所成角为。,
1
-1--
22>/2
所以sin0=|cos<DF,“>|==
j~3
,娓
2
所以直线DF与平面DCF所成角的正弦值为当
13分
17.(本小题14分)
b
解:(I)在AABC中,由正弦定理,得。sinB=bsinA,
sinAsinB
因为2asin8=V2Z?
所以2bsinA=W,
因为AwO,
所以sinA=遮,
2
因为0<4<兀,
所以A=四或A=包;7分
44
(ID若选择①,
在△ABC中,0<。<兀,
因为…一噜,所以si©曙
又因为A=至,A+B+C=it
4
兀71
所以sinB=sin(A+C)=sin—cosC+cos—sinC
44
也号(3啊二6
2①丽
在△ABC中,由正弦定理可得。=”必—1—=6
sinB
5
所以SAW=,0csinA='仓也&6?—6.14分
ZA/IOI.222
若选择②,
在aABC中,因为‘一二—纹,所以sinB=M4
sinAsinBa
因为。=2,b-2\[2,sinA=,
2
所以20x—■
所以sinB=------2_=1
2
因为Bw(O,兀),所以8二个,
2
所以/J?=a?+c?,所以/=4,
所以c=2,
所以S—8C=,8csinA=,仓也贬2?2.
△ABC222
18.(本小题14分)
解:(I)由题意10(0.004+0.012+0.014+a+0.024+0.028)=l
所以a=0.018;............3分
(II)记“一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁”为事件A,
P(A)=10(0.004+0.012+0.014)=0.3,
所以估计一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁的概率为03
X可能取值为0,1,2.
,2
P(X=0)=C*0.7=0.49;
P(X=1)=《0.3x0.7=0.42;
P(X=2)=C;0.32=0.09.
所以X的分布列为
X012
p0.490.420.09
E(X)=0x0.49+1x0.42+2x0.09=0.6...........11分
(或因为乂~5(2,0.3),所以E(X)=2x0.3=0.6)
(Hl)m<n.............]4分
19.(本小题15分)
a=2、
解:(I)由题意得£=迎,
a2
CT=b2+c2,
解得〃=4,b2=2.
22
所以椭圆E的方程是工+二=1.
5分
42
(H)因为A(-2,0),P(2,m),所以直线AP的方程为y='(x+2)(加>0).
4
m/八、
y=——(x+2)
4得(m2+8)x2+4m2x+4m2-32=0,
x2+2y2=4
即(1x+2)[(m2+8)x+(2m2-16)]=0.
2
9>n_1A
因为点A的横坐标为-2,所以点C的横坐标为一=-2一
"+8
216
代入直线AP的方程可得点C的纵坐标为y=-(_%-+2)=犁一
4M+8"+8
即。(-驾潸福-
又点B的坐标为(2,0),
8m
所以N=—或隹一=—2,
2m~-16m
又因为匕=‘,所以匕.幺=里.(_2)=_1.
22m
即《•修为定值............15分
20.(本小题15分)
解:(I)由题意得,fr(x)=—4-COSX,所以/'⑴=1+COS1,
X
又/(l)=sinl,
所以曲线y=f(x)在点(!,/(1))处的切线方程为y-sinl=(14-cosl)(x-l),
即y=(14-cosl)x+sinl-cosl-l;............4分
(II)因为/'(%)=—+cosX,
x
因为y='和y=cosx均在区间因为[l,e]上单调递减,
x
所以/'(X)在区间[l,e]上单调递减,
因为/,(l)=l+cosl>0,f'(e)=-+cose<-+cos—=--—<0>
ee3e2
所以/"(幻=0在(l,e)上有且只有一个零点,记为%,
所以xe[l,不)时,((x)>0;X€(/工]时,―")<0,
所以/(x)在区间工/)上单调递增,在区间(x0,e]上单调递减.
因为/(I)=sin1,/(e)=1+sine,所以/(x)在区间[l,e]上的最小值为sin1.
......................10分
(III)函数/(x)的定义域为{x|x>0},
由(II)知,/(x)在区间[l,e]上的最小值sinl>0,
又当xe(e,+oo)时,f(x)>Ine+sinx=1+sinx>0»
所以/(x)在区间[1,+oo)上没有零点;
当xe(0,l)时,/,(x)=-+cosx>0,所以/(x)在区间(0,1)上单调递增,
X
因为/(I)=-l+sin-<(),/(l)=sin1>0,
ee
所以.(x)在区间(0,1)上仅存在一个零点;
综上所述,函数/(x)有且仅有一个零点.............15分
21.(本小题14分)
解:(I)数列A是P(2)数列,
数列3不是P(2)数列.............3分
(II)不存在正实数2,使得数列{6“}是尸(外数列.
说明理由如下:假设存在正实数;L
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