专题17 解答压轴题型：几何综合题（原卷版）

专题17解答压轴题型：几何综合题一、解答题1．（2022·广东深圳·统考中考真题）一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯的中点为(1)如图①，为一条拉线，在上，求的长度．(2)如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．(3)如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．2．（2022·广东深圳·统考中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．3．（2021·广东深圳·统考中考真题）在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值．（1）①__________；②__________；③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）求：①__________（用k的代数式表示）②__________（用k、的代数式表示）4．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在矩形中，点E为边的中点，点F为上的一个动点，连接并延长，交的延长线于点G，以为底边在下方作等腰，且．(1)如图①，若点H恰好落在上，连接，．①求证：；②若，，求的面积；(2)如图②，点H落在矩形内，连接，若，，求四边形面积的最大值．5．（2023·广东深圳·统考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；(2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；(3)如图3，已知，若，直接写出的最小值．6．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考模拟预测）问题背景：（1）如图1，点是内一点，且，连接，，求证：．

（2）如图2，点是线段垂直平分线上位于上方的一动点，是位于上方的等腰直角三角形，且，则，

①______1（填一个合适的不等号）；②的最大值为______，此时______°．问题组合与迁移：（3）如图3，是等腰底边上的高，点是上的一动点，位于的上方，且，若，求的最小值．

7．（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．(1)①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则；②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则；(2)拓展研究：如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；(3)解决问题：如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．8．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考二模）“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题．(1)【知识理解】如图1，圆的内接四边形中，，，①________；________（填“”，“”，“”）②将点绕点顺时针旋转得到点，则线段的数量关系为________．(2)【知识应用】如图2，是圆的直径，，猜想的数量关系，并证明；(3)【知识拓展】如图3，已知，分别是射线上的两个动点，以为边往外构造等边，点在内部，若，直接写出四边形面积的取值范围．9．（2023·广东深圳·二模）如图①，已知线段，以为直径作半圆O，再以为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），的延长线交半圆O于点D．(1)判断线段与的大小关系，并说明理由；(2)连接，当时，求弧的长；(3)过点D作，垂足为E（如图②），设，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．10．（2023·广东深圳·二模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当时，求的值；（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．11．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，∠ACO＝90°，∠AOC＝30°，分别以AO、CO为边向外作等边三角形△AOD和等边三角形△COE，DF⊥AO于F，连DE交AO于G．（1）求证：△DFG≌△EOG；（2）H为AD的中点，连HG，求证：CD＝2HG；（3）在（2）的条件下，AC＝4，若M为AC的中点，求MG的长．12．（2023·广东深圳·统考模拟预测）过四边形的顶点A作射线，P为射线上一点，连接．将绕点A顺时针方向旋转至，记旋转角，连接．(1)如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形是正方形，且．无论点P在何处，总有，请证明这个结论．(2)如图2，如果四边形是菱形，，，连接．当，时，求的长；(3)如图3，如果四边形是矩形，，，平分，．在射线上截取，使得．当是直角三角形时，请直接写出的长．13．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点．

（1）观察猜想图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____；（2）探究证明把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值．14．（2023·广东深圳·统考二模）操作：如图1，点E在矩形边上，沿折叠，使点E与点A重合，得多边形（图2），思考：若，．

(1)求图1中CE的长；(2)求证：．(3)探究：若用一张A4（）纸进行上述操作，判断与的数量关系．15．（2023·广东深圳·深圳中学校联考二模）已知四边形中，P为射线上一点，过P作交射线于点E，过P作交射线于点F．(1)如图1，四边形是正方形，连接交于G，则与的数量关系为______；若，，______（填数字）；(2)如图2，四边形是菱形，且直线恰好经过点D，连接，求的值；(3)如图3，四边形是菱形，连接并延长与交于点O，若O是的中点且为等腰三角形，直接写出：①的值，②的值．16．（2023·广东深圳·校联考二模）在四边形中，（E、F分别为边、上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N．(1)问题证明：如图①，若四边形是正方形，求证：．(2)拓展应用：如图②所示平面直角坐标系，在中，点A坐标为，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数图像经过上的点D，且，求k的值．(3)深入探究：如图③，若四边形是菱形，连接，当时，且，试用关于的式子来表示的值，则__________．（直接写出结果）17．（2023·广东深圳·统考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：(1)【观察与猜想】如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为______；

(2)如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，，则的值为______；

(3)【证明与理解】如图3，在矩形中，，，，求的值；

(4)【知识点应用】如图4，在中，，，，将沿翻折后得到，点在边上，点在边上，，求的值．

18．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校联考二模）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．(1)如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；(2)如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．19．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考二模）如图，是边长为的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边，连接.

(1)【尝试初探】如图1，当点在线段上运动时，与相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由.(2)【深入探究】如图2，当点在线段上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值.(3)【拓展延伸】如图3，当点在的延长线上运动时，、相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长.20．（2023·广东深圳·深圳大学附属中学校考一模）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．21．（2023·广东深圳·统考二模）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率．如图1，在中，，顶角的张率记作底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义的张率，例如，，，请根据材料，完成以下问题：如图2，是线段上的一动点（不与点，重合），点，分别是线段，的中点，以，，为边分别在的同侧作等边三角形，，，连接和．(1)【理解应用】①若等边三角形，，的边长分别为，，，则，，，三者之间的关系为；②；(2)【猜想证明】如图3，连接，，猜想的值是多少，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图4，连接，，若，，则的周长是多少？此时的长为多少？（可直接写出上述两个结果）22．（2023·广东深圳·统考模拟预测）将正方形的边绕点A逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点B作直线，垂足为点F，连接．(1)如图1，当时，的形状为______，的值为______；(2)当时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请根据图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②如图3，正方形边长为4，，，在旋转的过程中，是否存在与相似？若存在，则的值为______，若不存在，请说明理由．23．（2023·广东深圳·校考二模）已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的平分线所在直线与直线相交于点．

(1)如图1，当为锐角时，请先用“尺规作图”作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：；(2)在（1）的条件下，①的度数为________；②连接，猜想线段和之间的数量关系，并证明；(3)若正方形的边长，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．24．（2023·广东深圳·校联考一模）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．求证：；（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，求的长．25．（2023·广东深圳·二模）如图1，点E是正方形ABCD外的一点，以DE为边构造正方DEFG，点M是△ADE边AE上的动点，点N是△CDG的边CG上的动点．(1)证明：△ADE≌△CDG；(2)如图（1）：当DM和DN分别是△ADE和△CDG的中线时，试猜想DM和DN的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)类比猜想：①在（2）问中，当DM、DN分别是△ADE和△CDG的高（如图2），其他条件不变时，问题（2）的结论是否仍然成立？（只写出结论，不要求证明）②在（2）问中，当DM、DN分别是△ADE和△CDG的角平分线，其他条件不变时，问题（2）的结论是否仍然成立？（只写出结论，不要求证明）26．（2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校（集团）高新中学校考三模）（1）[探究发现]如图①，已知四边形是正方形，点E为边上一点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点D落在处，、的延长线交于点F．小明探究发现：当点E在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长交于点G．

（2）[类比迁移]如图②，四边形为矩形，点E为边上一点，连接，将沿折叠，点D落在处，的延长线与的延长线交于点F，连接，当，，时，求的长；（3）[拓展应用]如图③，已知四边形为菱形，，，点F为线段上一动点，将线段绕点A按顺时针旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．

27．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．（2）如图2，四边形内接于，四边形的外角平分线交于点F，连结并延长交的延长线于点E．求证是中的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结，若是的直径．求的度数．28．（2023·广东深圳·统考二模）在平行四边形中，，，点为平面内一点，且．(1)若，①如图1，当点在上时，连接，作交于点，连接、，求证：为等边三角形；②如图2，连接，作，作于点，连接，当点在线段上时，求的长度；(2)如图3，连接，若，为边上一点（不与、重合），连接，以为边作，且，，作的角平分线，与交于点，连接，点在运动的过程中，的最大值与最小值的差为__________．29．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）（1）如图1，中，，E是上一点，，垂足为D，求的长．（2）类比探究：如图2，中，，点D，E分别在线段上，．求的长．（3）拓展延伸：如图3，中，点D，点E分别在线段上，．延长交于点F，，_______；______．30．（2023·广东深圳·校考三模）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．

(1)操作判断：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作交、、于点E、F、N，连接并延长交于点Q，连接，如图①，当E为中点时，是___________三角形，___________；(2)迁移探究：如图②，若，且，求正方形的边长．(3)拓展应用：如图③，若（），直接写出的值为___________．31．（2023·广东深圳·二模）【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．（1）求证：．【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．32．（2023·广东深圳·统考二模）【课本再现】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则______；【迁移应用】如图2，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：；【拓展延伸】在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．①线段与的数量关系是_____________________．②若，是的三等分点，则的面积为____________________．33．（2023·广东深圳·统考一模）如图1，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝（45°＜＜90°），点D是上一点，连接CD交AB于E．（1）连接BD，若∠CDB＝40°，求的大小；（2）如图2，若点B恰好是中点，求证：；（3）如图3，将CD分别沿BC、AC翻折到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问是否为定值，若是请求出这个值，若不是，请说明理由；34．（2023·广东深圳·统考二模）【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题：已知：如图1，的外角和的平分线相交于点F．求证：点F在的平分线上．【解答】某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法：如图2，过点F作于点G，作于点H，作于点M，由角平分线的性质定理可得：，．∴．∵，，∴F在的平分结上．【探究】(1)小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中和三条线段存在一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系：________；(2)小明也发现和之间存在一定的数量关系．请你直接写出它们的数量关系：________；(3)如图3，边长为3的正方形中，点E，F分别是边上的点，且．连接，若，求的长；(4)如图4，中，，．中，．将的顶点D放在边的中点处，边交线段于点G，边交线段于点H，连接．现将绕着点D旋转，在旋转过程中，的周长是否发生变化？若不变，求出的周长，若改变，请说明理由．35．（2023·广东深圳·校联考一模）【探究发现】（1）如图①所示，在等腰直角中，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，则有下列命题：①；②；③；请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程；【类比迁移】（2）如图②所示，在等腰中，，，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，若，求的值；【拓展应用】（3）在等腰中，，，，点D，O分别为射线，上一点，且，延长交射线于点E，当为等腰三角形时，请直接写出的长（用a，b表示）．36．（2023·广东深圳·统考一模）如图1，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F．(1)证明与推断：②求证：四边形是正方形；②推断：的值为___________；(2)探究与证明：将正方形的绕点C顺时针方向旋转，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形在旋