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文档简介

第三节机动目录上页下页返回结束曲线的凹凸与拐点

第三章

定义.

设函数在闭区间

上连续,若曲线 在内总是位于其切线的上方则称图形是凹的机动目录上页下页返回结束曲线的凹凸与拐点（下方），(凸的)连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点

.凹凸判定法(1)在

I内则在I

内图形是凹的;(2)在

I内则在

I

内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数例

判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束例.

求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸机动目录上页下页返回结束例.

求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸机动目录上页下页返回结束水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例.

求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.机动目录上页下页返回结束函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周机动目录上页下页返回结束内容小结曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点机动目录上页下页返回结束作业P1025(1);6(2),(3)思考与练习上则或的大小顺序是()提示:

利用单调增加,及B1.

设在机动目录上页下页返回结束

.2.

曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及作业P1513(1),(7);4(2),(4);8(3),(6);9(3);10;12;13;14

;

;第五节目录上页下页返回结束有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线证明：备用题机动目录上页下页返回结束令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.机动目录上页下页返回结束证明:当时，有证明:令,则是凸函数即

2.机动目录上页下页返回结束(自证)定义.

设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的

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