湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023学年八下期中数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）期中数学试卷一、选择题1.下列各曲线中，表示y是x的函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答．【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故A不符合题意；B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B不符合题意；C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C不符合题意；D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．2.下列计算正确的是（）A.a2+a3=a5 B. C.（x2）3=x5 D.m5÷m3=m2【答案】D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【详解】解：A、a2与a3不是同类项，无法计算，故此选项错误；B、3-=2，故此选项错误；C、（x2）3=x6，故此选项错误；D、m5÷m3=m2，正确．故选D．【点睛】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”，每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多市民和游客前来赏花踏春．桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【详解】．故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定的值以及的值．4.若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0，

∴y随着x的增大而增大．

∵点（-3，y1）和（4，y2）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-3＜4，

∴y1＜y2．

故选：A．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．5.如图，在中，，为的中点，若，则的度数为（）A.55° B.35° C.45° D.30°【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半确定AD=BD，根据三角形内角和定理求出∠A，根据等边对等角即可求出∠ABD．【详解】解：∵中，，为的中点，，∴，．∴∠ABD=∠A=35°．故选：B．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握这些知识点是解题关键．6.数形结合是解决数学问题常用的的思想方法.如图，一次函数与一次函数的图象交于点，根据图象可知，关于x的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一次函数图像的交点直接判断即可．【详解】解：根据图像可得当时，，即，故选：C．【点睛】题主要考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键7.如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，根据题中已知条件：四边形ABCD为菱形，，可得，在中，利用三角函数即可求得AB、AO，进一步即可确定CE、DE长，即可求得D点的坐标．【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，∵，∴，∵四边形ABCD为菱形，，∴，，在中，，，∴，，∴菱形ABCD边长为2，，∴，点D坐标为：，故选：D．【点睛】题目主要考查菱形的性质、运用特殊角的三角函数求边长等，难点主要是在坐标系中灵活运用这些性质．8.下列说法中不正确的是（）．A.矩形的对角线互相垂直且相等 B.平行四边形的对角线互相平分C.四条边相等的四边形是菱形 D.正方形的对角线相等【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可判断．【详解】解：A选项：矩形对角线互相平分且相等，故A不正确；B选项：平行四边形互相平分，故B正确；C选项：四条边相等的四边形为菱形，故C正确；D选项：正方形的对角线相等，故D正确．故选A．【点睛】本题考查了平行四边形，解题的关键正确理特殊平行四边形的性质，本题属于基础题型．9.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（）A.（x﹣1）2+52＝x2 B.x2+102＝（x+1）2C.（x﹣1）2+102＝x2 D.x2+52＝（x+1）2【答案】A【解析】【分析】首先设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，根据勾股定理可得方程．【详解】解：设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，由题意得：（x-1）2+52=x2，故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．10.如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是（）A.一直增大 B.不变 C.先减小后增大 D.先增大后减小【答案】C【解析】【分析】连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化情况．【详解】解：如图所示，连接．∵，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小，∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大．故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，判断出时，线段的值最小是解题的关键．二、填空题11.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式进行分解即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行分解因式，注意因式分解要彻底，直到不能分解为止．12.函数中，自变量的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x-3≥0，

解得：x≥3．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．13.如图，在中，AD=10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________【答案】21【解析】【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10,∵AC+BD=22，∴OC+BO=11，∵BC=10，∴△BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21．故答案为：21．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题．14.平面直角坐标系中，点到原点的距离是_____．【答案】【解析】【分析】作轴于，则，，再根据勾股定理求解．【详解】作轴于，则，．则根据勾股定理，得．故答案为：．【点睛】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．15.对于非零实数a，b，规定．若，则x的值为_____________．【答案】##0.5【解析】【分析】根据题中新定义化简所求式子，计算即可得到结果．【详解】∵，∴，解得，经检验是方程解，故答案为：．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．16.如图，在四边形中，，，点，，，分别为边，，，的中点，连接，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】先证明平行四边形两对角线长的平方和等于四边长的平方和，进而根据，即可求解．【详解】解：预备知识：平行四边形两对角线长的平方和等于四边长的平方和．如图①已知四边形是平行四边形，求证：．证明：作于M，交BC延长线于N，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴；解决问题：如图②，连接，，，，，分别是，中点，是的中位线，，同理，，，，，四边形是平行四边形，．故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题17.计算：．【答案】4【解析】【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质、分别化简，进而计算得出答案．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质是解题的关键．18.先化简，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】先化简分式，再代值求解即可；【详解】解：原式====，将代入得，原式=．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．19.已知：一次函数y＝（3﹣m）x+m﹣5．（1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值；（2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围．【答案】（1）m＝5；（2）3＜m＜5【解析】【分析】（1）由一次项系数非零及一元一次函数图象上点坐标特征，可得出关于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出实数m的值；（2）由一次函数的图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出实数m的取值范围．【详解】（1）∵一次函数y＝（3﹣m）x+m﹣5的图象过原点，∴，解得：m＝5．（2）∵一次函数y＝（3﹣m）x+m﹣5的图象经过第二、三、四象限，∴，解得：3＜m＜5．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据一次项系数非零及一元一次函数图象上点的坐标特征，找出关于m的一元一次不等式及一元一次方程；（2）牢记“k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限”．20.今年是毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词60周年，为深入贯彻落实党的二十大精神，大力弘扬宣传雷锋精神，某学校举行了以“传承雷锋精神，争当追锋少年”为主题的知识竞赛活动，竞赛满分为10分，学生成绩平均在7分以上，将成绩10分、9分、8分、7分，分别定为A，B，C，D四个等级．学校随机抽取部分学生的竞赛成绩绘制统计图，请回答下列问题：（1）学校随机抽取的学生人数为；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“C”部分所对应的圆心角的度数为度；（4）如果该校共有学生人，且规定等级为A、B的为优秀，请估计该校学生在此次知识竞赛活动中成绩为优秀的有多少人？【答案】（1）（2）见解析（3）（4）估计该校学生在此次知识竞赛活动中成绩为优秀的有2400人【解析】【分析】（1）根据等级的人数除以占比得出抽取的学生人数；（2）根据总人数求得等级的人数，进而补全统计图即可求解；（3）根据等级的人数除以总体人数，乘以，即可求解；（4）根据样本估计总体，用乘以等级为、的占比即可求解．【小问1详解】，故答案为：．【小问2详解】C等级人数为（人）补图如下：【小问3详解】；故答案为：．【小问4详解】（名）答：估计该校学生在此次知识竞赛活动中成绩为优秀的有2400人．【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21.如图，一次函数的图象与x轴相交于点B，与过点的一次函数的图象相交于点．（1）求一次函数图象相应的函数表达式；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）12【解析】【分析】（1）把点代入即可求得m的值，根据待定系数法即可求解；（2）求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．【小问1详解】解：（1）∵点在一次函数的图象上，∴，∴点，设一次函数图象相应的函数表达式为，把点，代入得：，解得，∴一次函数图象相应的函数表达式；【小问2详解】解：∵一次函数的图象与x轴交于点B，∴当时，，解得，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，掌握待定系数法是解题的关键．22.如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2．【解析】【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】（1）证明：∵AB//CD，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵∥，∴四边形是平行四边形，又∵，∴是菱形．（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，∴，，，∴，在Rt△AOB中，，∴，∵，∴，在Rt△AEC中，，为中点，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．23.4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进，两类图书，已知购进本类图书和本类图书共需元；购进本类图书和本类图书共需元．（1），两类图书每本的进价各是多少元？（2）该书店计划购进，两类图书共本，且类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的．已知类图书每本的售价为元，类图书每本的售价为元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？【答案】（1）类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元；（2）该书店购进类图书本，类图书本时所获利润最大，最大利润为元【解析】【分析】（1）设类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解．（2）设购进类图书本，获得利润为元，根据题意得出函数关系式，根据类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的，得出，然后根据一次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：设类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元，根据题意得：，解得，答：类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元；【小问2详解】解：设购进类图书本，获得利润为元，根据题意得：，类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的，，解得，，随的增大而减小，当时，有最大值，最大值为，此时，答：该书店购进类图书本，类图书本时所获利润最大，最大利润为元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．24.在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“吉祥点”．（1）求函数的图象上所有“吉祥点”的坐标；（2）证明：无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”；（3）若直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点C．记线段围成的区域（不含边界）为W．若区域W内没有“吉祥点”，直接写出k的取值范围．【答案】（1）（2）见解析（3）或时，W内没有整数点【解析】【分析】（1）由“吉祥点”的定义可知时，不是整数，所以只有，是函数图像上的整点；（2）把函数关系式整理为，发现图象一定过“吉祥点”；（3）解出，，，然后根据，，，，，分情况解题即可．【小问1详解】∵x是整数，时，是一个无理数∴时，不是整数，∴，即函数的图象上“吉祥点”的坐标是．【小问2详解】∵∴，∴无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”：；【小问3详解】由题意，，，，∴点B始终直线的右侧（也就是直线在直线的右侧，点B的左侧），当时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当时，y轴将W分成左右两部分，左边部分内点的横坐标在－1到0