2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷28.2 解直角三角形(1)(含答案)-

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷28.2解直角三角形(1)(含答案)-28.2解直角三角形（一）一、双基整合:1．在下面条件中不能解直角三角形的是（）A．已知两条边B．已知两锐角C．已知一边一锐角D．已知三边2．在△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，用科学计算器求∠A约等于（）A．24°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，有下列关系式：①b=ccosB，②b=atanB，③a=csinA，④a=bcotB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．为测一河两岸相对两电线杆A、B间距离，在距A点15m的C处，（AC⊥AB），测得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为()mA．15sin50°B．15cos50°C．15tan50°D．15cot50°5．在△ABC中，∠C=90°，b=，三角形面积为，则斜边c=_____，∠A的度数是____．6．在直角三角形中，三个内角度数的比为1：2：3，若斜边为a，则两条直角边的和为________．7．四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12，BC=4，CD=3，AD=13，则四边形ABCD的面积为________．8．如图，小明想测量电线杆AB的高度，发展电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_______米．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）9．如图所示，在Rt△ABC中，a，b分别是∠A，∠B的对边，c为斜边，如果已知两个元素a，∠B，就可以求出其余三个未知元素b，c，∠A．（1）求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程．第一步：已知：a,∠B,用关系式:_______________,求出:_________________;第二步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________;第三步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________.（2）请你分别给出a，∠B的一个具体数据，然后按照（1）中的思路，求出b，c，∠A的值．10．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=3cm，AB=7cm，高为2cm，求底角B的度数．11．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=2，AB=2，设∠BCD=α，求cosα的值．二、探究创新12．国家电力总公司为了改善农村用电量过高的现状，目前正在全面改造各地农村的运行电网，莲花村六组有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图所示的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线（以下数据可供参考=1.414，=1.732，=2.236）．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的余弦值．三、智能升级14．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD，CD的长．15．（2006·宜昌）如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5m，窗户的高度AF为2.5m，求窗外遮阳篷外端一点D到窗户上椽的距离AD．（结果精确到0.1m）答案:1．B2．D3．C4．C5．45°6．a7．368．8．79．略10．60°11．cosα=12．设正方形边长为a，则（1）3a，（2）3a，（3）（2+2）a，（4）（+1）a∴第（4）种方案最省电线13．14．AD=5+10，CD=10+515．过点E作EG∥AC交BP于点G，∵EF∥DP，∴四边形BEFG是平行四边形．在Rt△PEG中，PE=3.5，∠P=30°，tan∠EPG=，∴EG=EP·tan∠ADB=3.5×tan30°≈2.02（或EG=）．又∵四边形BFEG是平行四边形，∴BF=EG=2.02，∴AB=AF-BF=2.5-2.02=0.48（或AB=）．又∵AD∥PE，∠BDA=∠P=30°，在Rt△BAD中，tan30°==0.48×（或AD=）≈0.8（m），∴所求的距离AD约为0.8m．28.2解直角三角形（1）◆知能点分类训练知能点1解直角三角形的概念1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=30°，对Rt△ABC来说，未知元素有______个，分别是__________，若要解Rt△ABC，还需知一个_______条件．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，=，该三角形的未知元素有几个？这个三角形是否能解？3．在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A=30°，则∠B=_______；若∠A=30°，且a=1，则b=_____，c=_____．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=______；若∠A=45°，且a=1，则b=______，c=_____．知能点2解直角三角形的基本类型和方法5．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=31，c=31，解这个直角三角形．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=9，b=3，解这个直角三角形．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，c=8，∠A=60°，解这个直角三角形．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，b=7.234，∠A=7°20′，解这个直角三角形．9．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长．10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上的一点，AC=2，CD=1，记∠CAD=α．（1）试写出α的三个三角函数值；（2）若∠B=α，求BD的长．◆规律方法应用11．如图所示，在正方形ABCD中，DE=EC，AD=4FD，求tan∠FBE的值．12．已知0°<θ<90°，且关于x的方程x2-2xtanθ-3=0的两个根的平方和等于10，求以tanθ，为根的一元二次方程．13．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AD=8，BD=4，求tanA的值．14．如图所示，一块四边形土地，其中∠ABD=120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB=30m，CD=50m，求这块土地的面积．◆开放探索创新15．如图，在正方形ABCD中，F是CD上一点，AE⊥AF，点E在CB的延长线上，EF交AB于点G，当tan∠DAF=时，△AEF的面积为10，试问：当tan∠DAF=时，△AEF的面积是多少？◆中考真题实战16．（安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，求AB．17．（盐城）如图所示，在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC的面积．（结果可保留根号）18．（玉溪）下表是两个实践活动小组实习报告的部分内容，请你任选一组测量方案和数据，计算铁塔高AB（精确到1m），计算过程在表格中完成．题目测量底部可以达到的铁塔的高组别甲组乙组测量目标测试数据∠1=30°，∠2=60°EF=30mCE=DF=NB=1.3m∠α=27°27′BP=50mMP=NB=1.3m计算（参考数据：≈1.732，≈1.414，sin27°27′≈0.461，cos27°27′≈0.887，tan27°27′≈0.520，cot27°27′≈1.925）答案:1．5∠A∠B边ABBCAC边2．5个不能解3．60°24．45°15．∵sinA===，∴∠A=45°．∴∠B=90°-∠A=45°．∵∠A=∠B，∴b=a=31．6．∵∠C=90°，∴c==6．∵tanB==，∴∠B=30°．∴∠A=90°-∠B=60°．7．∵∠A=60°，∴∠B=90°-∠A=30°．∵sinA=，∴a=c·sinA=8×sin60°=12，∴b==4．8．∵∠A=7°20′，∴∠B=90°-∠A=82°40′．∵tanA=，∴a=b·tanA=7.234×tan7°20′≈0.9310．又∵cosA=，∴c=≈7.294．9．∵∠C=90°，∠BDC=45°，∴BC=DC=6．在Rt△ABC中，sinA=．而BC=6，sinA=，∴AB=6×=15．10．（1）在Rt△CAD中，AD==，∴sinα==．（2）∵∠B=α，∴tanα=，又∵tanα==，∴=，BC=2AC=4，∴BD=4-1=3．11．连接EF．设FD=a，则AD=BC=CD=4a，DE=EC=2a，∴=2．又∵∠D=∠C=90°，∴△BCE≌△EDF，∴=2，∠CBE=∠DEF．∵∠CBE+∠BEC=90°，∴∠DEF+∠BEC=90°，∴∠BEF=90°．在Rt△BEF中，tan∠FBE==．12．设x1，x2为关于x的方程x2-2xtanθ-3=0的两个根．∴x1+x2=2tanθ，x1·x2=-3．又∵x12+x22=10，∴（x1+x2）2-2x1·x2=10，∴4tan2θ+6=10，∴tanθ=±1．∵0°<θ<90°，∴tanθ>0．∴tanθ=1，∴θ=45°．当θ=45°时，△=4tan2θ+12>0，∴tanθ+=1+，tanθ·=．∴以tanθ，为根的一元二次方程为y2-（1+）y+=013．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACB=∠CDB=90°，又∵∠A=∠DCB，∴△ACD∽△CBD，则．则CD2=AD·BD=8×4=32．∴CD=4．∴tanA=．14．延长CA，DB交于点P，∵∠ABD=120°，∠ACD=60°，在Rt△CDP中，tan∠ACD=，∴PD=CD·tan∠ACD=50·tan60°=150（m）．在Rt△PAB中，tan∠PBA=．∴PA=AB·tan∠PBA=30·tan60°=90（m）．∴S四边形ABCD=S△CDP-S△ABP=×50×150-×30×90=2400（m2）．即这块土地的面积为2400m2．15．∵AE⊥AF，∴∠1+∠2=90°．又∵∠2+∠3=∠BAD=90°，∴∠1=∠3．又∵AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF．当tan∠DAF=时，即=，设DF=k，则AD=3k，AF=k，∵S△AEF=AE·AF．∴×k·k=10，∴k=，∴AD=3．当tan∠DAF=时，即=，∴DF=2，∴AF==，∴S△AEF=××=13．即当tan∠DAF=时，△AFE的面积为13．16．过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=2．∴CD=AC·sinA=2×sin30°=．AD=AC·cosA=2×cos30°=3．在Rt△CDB中，tanB==2．∴AB=AD+DB=3+2=5．17．过点C作CD⊥AB于点D．在Rt△ADC中，∵∠CDA=90°，∴tan∠DAC=，∴=tan60°=，∴AD=CD．在Rt△BDC中，∵∠B=45°，∴∠BCD=45°，∴CD=BD．∵AB=BD+AD=CD+CD×=8．∴CD=12-4．∴S△ABC=AB·CD=×8×（12-4）=48-16．18．（1）选择甲组方案．∵∠CAD=∠CAN-∠DAN=30°，∴AD=CD=EF=30．在Rt△ADN中，AN=AD·sin60°=30×=15，∴AB=AN+NB=15+1.3≈27（m）．（2）选择乙组方案．在Rt△AMN中，∵tanα=，∴AN=MN·tanα=50·tan27°27′≈26.0，∴AB=26.0+1.3≈27（m）．28.2解直角三角形(1)1．轮船航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西40°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）A．南偏西40°B．南偏西140°C．南偏东50°D．南偏东40°2．如图1，在山地上种树，已知∠A=30°，AC=3米，则相邻两株树的坡面距离AB是（）A．6米B．米C．2米D．2米图1图2图3图43．如图2，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60度时，其影长AC约为（取1.732，结果保留3个有效数字）（）A．5.00米B．8.66米C．17.3米D．5.77米4．为美化环境，在△ABC空地上种植售价为a元/平方米的一种草皮，已知AB=20m，AC=30m，∠A=150°，则购买草皮至少需要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元5．如图3，△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，AB的中垂线MN交AC于点D，连结BD，若cos∠BDC=，则BC=（）A．8cmB．4cmC．6cmD．10cm6．如图4，一棵大树在一次强台风中于距地面5米处倒下，则这棵树在折断前的高度为________________米．7．平行四边形的两相邻边的边长分别为20和30，且其夹角为120°，则该平行四边形的面积是_______．8．在△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC=_______．9．青岛位于北纬36°4′，在冬至日的正午时分，太阳的入射角为30°30′，因此在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的最小间距为______米，才能保证不挡光．10．如图5，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，已知AB=4，那么AD=_______．11．一只船向东航行，上午9时到达一座灯塔P的西南方向60海里的M处，上午11时到达N处时发现此灯塔P在船的正北方向，求这只船的航行速度．12．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸边上一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=60°，BC=60米，甲想从A点出发在最短的时间内到达BC边，若他的速度为5米/分，请你设计他的路线及所用的时间．13．某居民小区有一朝正南方向的居民楼DC（如图），该居民楼的一楼是高6米的超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼AB．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为30°时．（1）问超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼最少应相距多少米？答案:1．D2．C点拨：cos30°=，∴AB=2．3．D点拨：tan60°=≈5.77米．4．C点拨：过C点作BA的垂线交BA的延长线于点D，∴∠DAC=30°．又∵AC=30m，∴DC=15m，∴S△ABC=AB·CD=×20×15=150（m2），∴购买草皮需要150a元．5．A点拨：∵MN为AB的中垂线，∴BD=AD．设AD=acm，∴BD=acm，CD=（16-a）cm，∴cos∠BDC==，∴a=10，∴在Rt△BCD中，CD=6cm，BD=10cm，∴BC=8cm．6．15点拨：设树断处到顶部长xm，∴sin30°=，∴x=10m，∴此树长5+10=15m．7．300点拨：作高，利用三角函数求得高为10．8．2点拨：∵sinA==，∴AB=6，∴利用勾股定理得AC=2．9．20cot30°30′．点拨：设楼间距最小为x米，∴cot30°30`=，∴x=20cot30°30`.10．4点拨：∵AD为∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠BAD=30°，又∵∠B=30°，AB=4，∴sin30°=，∴AD=4．11．sin∠MPN=，∴MN=30海里，∴速度为30÷2=15（海里/小时）．12．过A点作AD⊥CB交BC于点D，所走路线为A→D，∵∠ABC=45°，∠ACB=60°，∴tan∠CAD=，∴AD=CD，AD=BD．∴CD=AD．又∵CD+BD=60，∴CD+AD=60．∴AD+AD=60，∴AD=90-30，∴=（18-6）分．13．（1）如图所示：过F点作FE⊥AB于点E可知EF=15米，∴AE=5米，∴EB=FC=（20-5）米．∵20-5>6，∴超市以上的居民住房采光要受影响．（2）如图所示：若要使超市采光不受影响，则太阳光从A直射到C处．∵AB=20米，∠ACB=30°，∴BC==20米，若要使超市采光不受影响，两楼最少应相距20米．28.2解直角三角形（1）课前预习1．在Rt△ABC中，∠C=900,AB=2,BC=，则tan=.2．在Rt△ABC中，∠C=900,BC=24，cosA=,则AC=.3．在Rt△ABC中，∠C=900,a=6,b与斜边中线相等，则b=.课堂练习4．已知△ABC中，∠C=900，sinA=，则∠A=cosB=.5．已知△ABC中，a2+b2＝c22,3b=a．则∠A=.6．已知△ABC中，∠C=900,S=50，c=20．则∠B