广东省中山市2022-2023学年八下期中数学试题（解析版）

2023年4月八年级数学科期中考试试卷（测试时间：90分钟满分：120分）一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）1.下列根式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、，被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2.下列图形中，一定是轴对称图形的是（）A.三角形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.等腰三角形或等边三角形是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B.平行四边形，不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；C.菱形是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；D.等腰梯形是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形定义，熟练掌握轴对称图形是解题的关键，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．3.平面直角坐标系中，点到原点的距离是（）A.4 B.3 C.7 D.5【答案】D【解析】【分析】根据M点坐标，直接利用勾股定理可求解点M到原点的距离．【详解】解：∵，∴点到原点的距离是：．故选：D．【点睛】本题考查的勾股定理的应用，掌握“已知两点坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键．4.如图，平行四边形中，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形∴，∴，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．5.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，∠AOB＝60°，则AC的长度为（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】由矩形的性质得OA＝OB＝OC＝OD，继而证明△ABC为等边三角形，解得∠ACB＝30°，最后根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半解题．【详解】解：∵矩形ABCD为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，∵AB＝2，∴AC＝2AB＝4．故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．6.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的乘方、乘除法逐一进行计算进行判断即可．【详解】解：A．，原计算错误，故本项不符合题意；B．，原选项错误，故本项不符合题意；C．，原选项错误，故本项不符合题意；D．，选项正确，故本项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键7.下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）A.1，2，2 B.1，1， C.4，5，6 D.1，，2【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵12+22＝5≠22，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；B、∵12+12＝2≠（）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；C、∵42+52＝41≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；D、∵12+（）2＝4＝22，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．8.下列性质中，为菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（）A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.邻角相等 D.邻边相等【答案】D【解析】【分析】根据菱形和平行四边形的性质判断即可.【详解】菱形和平行四边形的对角线都互相平分，所以选项A不符合题意；菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，所以选项B不符合题意；菱形和平行四边形的邻角都不一定相等，所以选项C不符合题意；菱形的邻边相等，平行四边形的邻边不一定相等，所以选项D符合题意.故选：D.【点睛】本题主要考查了菱形和平行四边形的性质，关键是熟练掌握二者的性质定理.9.如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（）A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减少【答案】C【解析】【分析】连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化情况．【详解】如图，连接．∵∴四边形是矩形，∴，由垂线段最短可得时，最短，则线段的值最小，∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段值大小变化情况是先减小后增大．故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．10.如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是（）A.10 B.9 C.8 D.7【答案】C【解析】【分析】设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，再由勾股定理，从而可得出的值．【详解】解：设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，∵∴，即．∴．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，要注意的是本题中求不出两直角边的值，注意完全平方公式的灵活运用，有一定难度．二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分）11.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案．【详解】解：由题意得，解得，故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键．12.如图，校园内的一块草坪是长方形，已知，，从A点到C点，同学们为了抄近路，常沿线段走，那么同学们少走了______m．【答案】4【解析】【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案．【详解】解：由题意得，∴，∴，∴同学少走4cm，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确利用勾股定理求出的长是解题的关键．13.如图，在菱形中，，，则菱形的面积等于______．【答案】【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半可得出答案．【详解】解：在菱形中，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理；注意菱形的面积等于对角线乘积的一半．14.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标分别为A（3，a）、B（2，2）、C（b，3）、D（8，6），则a+b的值为_____．【答案】12【解析】【分析】如图，连接AC、BD交于点O′，利用中点坐标公式，构建方程求出a、b即可；【详解】解：如图，连接AC、BD交于点O′．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO′＝O′C，BO′＝O′D，∵A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），∴，∴a＝5，b＝7，∴a+b＝12，故答案为12【点睛】此题考查坐标与图形的性质，解题关键在于构建方程求出a、b15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为”希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，则阴影部分的面积为_____.【答案】4【解析】【分析】根据勾股定理求得AB的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积则为:两个较小半圆的面积和减去以AB为直径的半圆的面积，之后再加上三角形ABC的面积，【详解】解：∵△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=4，BC=2，∴以AC为直径半圆的面积：；以BC为直径半圆的面积：；以AB为直径半圆的面积：；Rt△ABC的面积为：，∴阴影部分的面积为：.故答案：4.【点睛】本题主要考查学生对图形的分解计算能力，先利用勾股定理求出AB的值是解题的关键.三、解答题（一）（共3个小题，每小题8分，满分24分）16.计算：．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的乘除运算法则和二次根式的化简进行计算，再进行加减计算．【详解】解：【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．17.已知．求的值．【答案】【解析】【分析】先计算之和与之差，再利用因式分解求解即可．【详解】∵，∴，，

∴．【点睛】此题考查了二次根式的加减乘除运算和用平方差公式因式分解，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．18.已知，如图，，是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．【答案】见解析【解析】【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，连接，与交于点，由平行四边形的对角线互相平分得到，，进而得到，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证,熟练掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是解本题的关键．【详解】证明：如图，连接，与交于点，∵四边形为平行四边形，∴，，∵，∴，即，又，∴四边形是平行四边形．四、解答题（二）（共3个小题，每小题9分，满分27分）19.如图，在四边形中，．（1）求的度数；（2）求四边形的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接AC，由于，利用勾股定理可求，并可求，而，可得，可证是直角三角形，于是有，从而求得；（2）根据四边形的面积为和面积之和，利用三角形面积公式计算即可得答案．【小问1详解】连接AC，如图，∵，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．【小问2详解】在中，，在中，．∴．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．20.如图，点O是矩形的对角线AC的中点，M是AD的中点，若，，试求四边形的周长．【答案】20【解析】【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM=CD=AB=2.5，AM=6，∵AB=5，BC=AD=12，∴，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．21.如图，的中线、、相交于点，、的中点为．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，求证：四边形是矩形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据中位线的性质，证明且，即可解答；（2）通过平行线的性质，证明四边形中是直角，即可解答．【小问1详解】证明：的中线、、相交于点，是的中位线，且，、的中点为，是的中位线，且，且，四边形是平行四边形；【小问2详解】证明：同（1）可得，是的中位线，，，是的中位线，，，，平行四边形是矩形．【点睛】本题考查了中位线的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定，仔细观察，能熟练地找出三角形对应的中位线是解题的关键．五、解答题（三）（共2个小题，每小题12分，满分24分）22.如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且．（1）求证：平行四边形是菱形；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据证明得，再由菱形的判定即可得出结论；（2）由菱形的性质得，设，则，然后在和中，由勾股定理得出方程，解得，即可解决问题．【小问1详解】∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴平行四边形是菱形；小问2详解】∵四边形是菱形，∴，设，则，∵，∴，在和中，由勾股定理得：，即，解得：，∴，∴，即的长为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．23.如图①，正方形中，是的中点，，交正方形外角的角平分线于点，（1）求证．（2）当为延长线上一点，其余条件不变，请在图②中画出图形，猜想（1）中结论是否仍然成立？并说明理由．【答案】（1）见解析（2）作图见解析，仍然成立，理由见解析【解析