极坐标参数方程重点题型

直线的参数方程①标准式过定点倾斜角为的直线的参数方程〔为参数〕②一般式过定点斜率的直线的参数方程是(是参数)②在一般式②中，参数不具备标准式中的几何意义，假设,②即为标准式，此时，表示直线上动点到定点的距离；假设，那么动点P到定点P0的距离是.直线参数方程的应用设过点,倾斜角为的直线的参数方程是(是参数)假设是上的两点，它们所对应的参数分别为那么(1)两点的坐标分别是，(2)；(3)线段的中点所对应的参数为，那么中点到定点的距离(4)假设为线段的中点，那么.6.极坐标互化公式考点一：参数方程,极坐标方程和直角坐标方程的互化4ρsin2=5表示的曲线是()解：4ρsin2=54ρ·把ρ=ρcosθ=x，代入上式，得2=2x-5.平方整理得y2=-5x+.它表示抛物线.极坐标ρ=cos()表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sinθ)=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.2．以下在曲线转化为普通方程：5．参数方程的普通方程为__答案:6.两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为.【解析】普通方程为，联立两个曲线的普通方程得,所以它们的交点坐标为8.曲线的普通方程为。9．化极坐标方程为直角坐标方程为〔〕【解析】：C 10.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是【解析】：，圆心直角坐标为〔0,-1〕，极坐标为。11．曲线的极坐标方程为，那么曲线的直角坐标方程为________________。【解析】：即12．直线的极坐标方程为____________________。，取考点二：直线参数方程中参数的意义．1．直线经过点,倾斜角，〔1〕写出直线的参数方程。〔2〕设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。解：〔1〕直线的参数方程为，即〔2〕把直线代入得，那么点到两点的距离之积为2．过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值。解：设直线为，代入曲线并整理得那么所以当时，即，的最小值为，此时。3．直线被圆截得的弦长【解析】：，把直线代入得，弦长为4．直线和圆交于两点，那么的中点坐标为________解：，得，中点为考点三：用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定1．直线与圆相切，那么_______________。解：直线为，圆为，作出图形，相切时，易知倾斜角为，或2．在极坐标系中，圆与直线相切，求实数的值。解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，直线的普通方程为：，又圆与直线相切，所以解得：，或。考点四：用极坐标方程、参数方程研究有关的交点问题1．在极坐标系中，曲线

与

的交点的极坐标为______．【解析】由极坐标方程与普通方程的互化式知，这两条曲线的普通方程分别为．解得由得点〔-1，1〕的极坐标为．2.两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为.【解析】〔0≤消去参数后的普通方程为，消去参数后的普通方程为联立两个曲线的普通方程得,所以它们的交点坐标为3．圆的参数方程(为参数)，以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,那么直线与圆的交点的直角坐标为.【解析】由题设知，在直角坐标系下，直线的方程为，圆的方程为.又解方程组，得或.故所求交点的直角坐标为.考点五：用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题1．求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。解：将代入得，得，而，得2．直线与直线相交于点，又点，那么_______。解：将代入得，那么，而，得3．直线被圆截得的弦长为______________。线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为4.在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为____【解析】极坐标系中的点〔2，〕化为直角坐标系中的点为〔1，〕；极坐标方程化为直角坐标方程为，即，其圆心为〔1,0〕，∴所求两点间距离为=5．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。解：设椭圆的参数方程为，当时，，此时所求点为。6．点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。解：设，那么即，当时，；当时，。7.直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线为参数〕和曲线上，那么的最小值为【解析】：由得圆心为，由得圆心为，由平几知识知当为连线与两圆的交点时的最小值，那么的最小值为.考点六：极坐标方程与参数方程混合在直角坐标系中，直线的参数方程为〔t为参数〕。在极坐标系〔与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴〕中，圆C的方程为。〔Ⅰ〕求圆C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设圆C与直线交于点A、B，假设点P的坐标为，求|PA|+|PB|。【解析】〔Ⅰ〕由得即〔Ⅱ〕将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即由于，故可设是上述方程的两实根，所以故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|==。2． 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数〕，M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线． 〔I〕求的方程； 〔II〕在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．解：〔I〕设P(x，y)，那么由条件知M().由于M点在C1上，所以即 从而的参数方程为〔为参数〕 〔Ⅱ〕曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。射线与的交点的极径为， 射线与的交点的极径为。 所以.3.直线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα，))(t为参数)，圆C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ,y＝sinθ，))(θ为参数)．(1)当α＝eq\f(π,3)时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝eq\f(π,3)时，C1的普通方程为y＝eq\r(3)(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,x2＋y2＝1，))解得C1与C2的交点为(1,0)，(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))．(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)sin2α，,y＝－\f(1,2)sinαcosα，))(α为参数)．P点轨迹的普通方程为(x－eq\f(1,4))2＋y2＝eq\f(1,16).故P点轨迹是圆心为(eq\f(1,4)，0)，半径为eq\f(1,4)的圆．练习1.2〔2009丹东〕〔1〕点c极坐标为，求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程〔写出解题过程〕；〔2〕P是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，，M是PQ中点，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程。〔2〕依题意考点2、极坐标与直角坐标方程互化例题2、福建省龙岩市2009年曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是参数〕，点是曲线上的动点，点是直线上的动点，求||的最小值．解：曲线的极坐标方程可化为,其直角坐标方程为，即.……………〔3分〕直线的方程为.所以，圆心到直线的距离……〔6分〕所以，的最小值为.…………〔10分〕练习2.1、〔沈阳二中2009〕设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点。求圆C的极坐标方程；求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解：圆的极坐标方程为……4分设点的极坐标为，点的极坐标为，∵点为线段的中点，∴，……7分将，代入圆的极坐标方程，得∴点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆．……10分练习2.2考点3、参数方程与直角坐标方程互化例题3：〔2009学年海南省〕曲线的参数方程为〔为参数〕，曲线的极坐标方程为．〔1〕将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；〔2〕曲线，是否相交，假设相交请求出公共弦的长，假设不相交，请说明理由．解：〔1〕由得∴曲线的普通方程为∵∴∵∴，即∴曲线的直角坐标方程为…………………〔５分〕 〔2〕∵圆的圆心为，圆的圆心为∴∴两圆相交 设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段∴∴∴公共弦长为……〔10分〕练习3.1〔本小题总分值10分〕选修4－4：坐标系与参数方程.曲线C：为参数，0≤<2π)，〔Ⅰ〕将曲线化为普通方程；〔Ⅱ〕求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．〔Ⅰ〕…5分〔Ⅱ〕…10分练习3.2〔08海南〕曲线C1：，曲线C2：。〔1〕指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；〔2〕假设把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方程。与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。考点4：利用参数方程求值域例题4、〔2008年宁夏〕在曲线：上求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。解：直线C2化成普通方程是x+y-2-1=0……2分设所求的点为P〔1+cos,sin),……………3分那么C到直线C2的距离d=…………5分=|sin(+)+2|……7分当时，即=时，d取最小值1………………9分此时，点P的坐标是〔1-，-〕……10分练习4.1〔09厦门〕在平面直角坐标系xOy中，动圆的圆心为，求的取值范围..【解】由题设得〔为参数，R〕.…………3分于是，………6分所以.………10分练习4.2．〔宁夏09〕〔本小题总分值10分〕曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是〔为参数〕．〔Ⅰ〕将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；〔Ⅱ〕设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.答案：〔本小题总分值10分〕解：〔1〕曲线的极坐标方程可化为：又.所以，曲线的直角坐标方程为：.〔2〕将直线的参数方程化为直角坐标方程得：令得即点的坐标为又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，那么∴考点5：直线参数方程中的参数的几何意义例题5：2009年泉州直线经过点,倾斜角，①写出直线的参数方程;②设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.解〔1〕直线的参数方程为，即．3分〔2〕把直线代入，得，，6分那么点到两点的距离之积为．10分练习5.1抚顺一中2009求直线〔〕被曲线所截的弦长.解：将方程，分别化为普通方程：，---