2018课标版理数一轮(10)第十章-计数原理与概率、随机变量及其分布1-第一节分类计数原理与分步计数原理

理数课标版第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理两个计数原理教材研读

分类加法计数原理分步乘法计数原理条件 完成一件事有①两类方案

.在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要②两个步骤

.做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N=③

m+n

种不同的方法完成这件事共有N=④

m×n

种不同的方法判断下面结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.

(×)(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.

(√)(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相

同的.

(√)(4)在分步乘法计数原理中,事件是分两步完成的,其中任何一个单独的

步骤都能完成这件事.

(×)

1.一个袋子里放有6个球,另一个袋子里放有8个球,每个球各不相同,从

两个袋子里各取一个球,那么不同取法的种数为()A.182

B.14

C.48

D.91答案

C由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8=48.2.书架的第1层放有4本不同的语文书,第2层放有5本不同的数学书,第3

层放有6本不同的体育书.从第1,2,3层各取1本书,那么不同的取法种数为

 ()A.3

B.15

C.21

D.120答案

D由分步乘法计数原理知,从第1,2,3层各取1本书,不同的取法

种数为4×5×6=120.应选D.3.用0,1,…,9十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243

B.252

C.261

D.279答案

B由分步乘法计数原理知,用0,1,…,9十个数字组成三位数(可

有重复数字)的个数为9×10×10=900,组成没有重复数字的三位数的个

数为9×9×8=648,那么组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252,故

选B.4.某位同学逛书店,发现有三本喜欢的书,决定至少买其中一本,那么购置

的方案有

种.答案7解析至少买其中一本的意思是买一本或买两本或买三本,故分三类.

第一类:买一本有3种;第二类:买两本有3种;第三类:买三本有1种.共有3+

3+1=7种购置方案.5.如图,从A城到B城有3条路,从B城到D城有4条路,从A城到C城有4条路,

从C城到D城有5条路,那么某旅客从A城到D城共有

条不同的路线.答案32解析不同路线共有3×4+4×5=32(条).考点一分类加法计数原理典例1

(1)高三一班有学生50人,男生30人,女生20人;高三二班有学生60人,男生30人,女生30人;高三三班有学生55人,男生35人,女生20人.①从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有

种

不同的选法;②从高三一班、二班男生或高三三班女生中选一名学生任学生会体育

部长,有

种不同的选法.(2)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对

(a,b)的个数为

.考点突破答案(1)①165②80(2)13解析(1)①有三类方法:第一类,从高三一班任选一名学生共有50种选法;第二类,从高三二班任选一名学生共有60种选法;第三类,从高三三班任选一名学生共有55种选法,根据分类加法计数原理,任选一名学生任学生会主席共有50+60+55=16

5(种)不同的选法.②有三类方法:第一类,从高三一班男生中任选一名共有30种选法;第二类,从高三二班男生中任选一名共有30种选法;第三类,从高三三班女生中任选一名共有20种选法.综上知,共有30+30+20=80(种)不同的选法.(2)a,b∈{-1,0,1,2},①当a=0时,x=- 为实根,那么b可取-1,0,1,2,有4种可能.②当a≠0时,方程有实根,所以Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.

(*)当a=-1时,满足(*)式的b可取-1,0,1,2,有4种可能.当a=1时,b可取-1,0,1,有3种可能.当a=2时,b可取-1,0,有2种可能.所以由分类加法计数原理知,有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13个.方法技巧使用分类加法计数原理遵循的原那么首先,根据题目特点恰中选择一个分类标准;其次,分类时应注意完成这

件事情的任何一种方法必须属于某一类,且只能属于某一类(即标准明

确,不重不漏).1-1在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有 ()A.50个

B.45个

C.36个

D.35个答案

C由题意知,十位上的数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8,共8类,在每一

类中满足题目要求的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由

分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个.1-2假设1-1中的条件变为“个位数字小于十位数字”,那么这样的两位数

的个数为

.答案45解析根据题意,将个位上的数字按0,1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成9类,在

每一类中满足题目条件的两位数分别有9个,8个,7个,6个,5个,4个,3个,2

个,1个,由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有9+8+7+6+5+4+3

+2+1=45个.考点二分步乘法计数原理典例2(1)(2016课标全国Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F

处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,那么小明到

老年公寓可以选择的最短路径条数为 ()

A.24

B.18

C.12

D.9(2)某体育彩票规定:从01至36共36个号中选出7个号为一注,每注2元.某

人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30

中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,假设这人把满足这种特殊要求的号买全,至少要花 ()A.3360元

B.6720元

C.4320元

D.8640元(3)有六名同学报名参加三个智力工程,每项限报一人,且每人至多参加

一项,每个工程都有人报名,那么共有

种不同的报名方法.答案(1)B(2)D(3)120解析(1)分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从

F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18

条可以选择的最短路径.应选B.(2)从01至10中选3个连续的号共有8种选法;从11至20中选2个连续的号

共有9种选法;从21至30中选1个号有10种选法;从31至36中选一个号有6

种选法.由分步乘法计数原理知共有8×9×10×6=4320种选法,至少需花4320×2=8640元.(3)每项限报一人,且每人至多参加一项,每个工程都有人报名,因此可由

工程选人,第一个工程有6种选法,第二个工程有5种选法,第三个工程有4

种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4=120种.易错警示(1)要按事件发生的过程合理分步,即考虑分步的先后顺序.(2)每个步骤互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成,才算完成整个事

件.(3)对完成各步的方法数要准确确定.变式2-1假设将本例(3)中的条件“每项限报一人,且每人至多参加一项,每个工程都有人报名”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限”,那么有多少种不同的报名方法?解析每人都可以从三个工程中选报一项,每人各有3种不同的报名方

法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有36=729种.变式2-2假设将本例(3)条件中的“每人至多参加一项”改为“每人参

加的工程数不限”,其他不变,那么有多少种不同的报名方法?解析每人参加的工程数不限,因此每一个工程都可以从六人中任选一

人,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有63=216种.考点三两个计数原理的综合应用典例3(1)(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位

数,其中比40000大的偶数共有 ()A.144个

B.120个

C.96个

D.72个(2)如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域分开,假设相邻区域不

能涂同一种颜色,那么不同的涂法共有 ()

A.400种

B.460种

C.480种

D.496种答案(1)B(2)C解析(1)数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40000大的偶数分为

以4开头与以5开头的偶数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,

有2

=48个;同理,以5开头的偶数有3

=72个.故共有48+72=120个,故选B.(2)完成此事可能使用4种颜色,也可能使用3种颜色.当使用4种颜色时:

从A开始,有6种方法,B有5种,C有4种,D有3种,完成此事共有6×5×4×3=360种方法;当使用3种颜色时:A,D使用同一种颜色,从A,D开始,有6种方法,

B有5种,C有4种,完成此事共有6×5×4=120种方法.由分类加法计数原理

可知:不同的涂法共有360+120=480(种).方法技巧(1)在综合应用两个计数原理解决问题时,一般是先分类再分步,但在分

步时可能又会用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个计数原理综合应用的问题,可恰当地画出示意图

或列出表格,使问题形象化、直观化.3-1如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2,且a2>a3,那么称这样的三位

数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为 ()A.240

B.204

C.729

D.920答案

A假设a2=2,那么凸数为120与121,共1×2=2个.假设a2=3,那么凸数有2×3=

6个.假设a2=4,那么凸数有3×4=12个,……,假设a2=9,那么凸数有8×9=72个.∴所有

凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240个.3-2

如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个