理数高考试题答案及解析-全国

普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修II）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至

第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.

第I卷

注意事项：

全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写

清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.

2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

一、选择题

A2+1B2-1Cl+2iD1-2i

r版圻】-1+3『(-1+30(1-02+4;

【帆机】------=--------------=------=1+2z,选C.

1+z(1+z)(l-1)2

【答案】c

2、已知集合人={1.3.\[m},B={1,m},AUB=A,则m=

A0或B0或3C1或6D1或3

【解析】因为AUB=A，所以BqA,所以〃z=3或机=而.若〃?=3,则

A={1,3,6},8={1,3},满足AU6=A.若〃z=J而，解得〃z=0或机=1.若加=0,则

A={1,3,0）,5={1,3,0},满足AU8=A.若〃2=1,A={1,3,1},8={1,1}显然不成立，综上

〃？=0或〃？=3,选B.

【答案】B

3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为

99

A£匚…。

—+—=1

1612128124

【解析】椭圆的焦距为4,所以2c=4,c=2因为准线为x=-4,所以椭圆的焦点在x轴上,

且一J=所以/=4C=8,b2=a2-c2=8-4=4,所以椭圆的方程为

22

土+匕=1,选C.

84

【答案】c

4已知正四棱柱ABCD-AfiQDi中，AB=2,8产2夜E为CQ的中点，则直线AQ与平面

BED的距离为

A2BV3CV2DI

【解析】连结AC,交于点。，连结0E,因为是中点，所以。£〃AG，且

OE=^AC1,所以ACJ/8OE，即直线与平面BED的距离等于点C到平面BED的距

离，过C做CfLOE于尸，则CF即为所求距离.因为底面边长为2,高为2行，所以

AC=2&,OC=J5,CE=后，OE=2,所以利用等积法得b=1,选D.

【答案】D

(5)已知等差数列｛aj的前n项和为工，as=5,S5<5,则数列的前100项和为

100,、99,、99101

A—(B)---(C)---D——

101101100100

【解析】由%=5,其=15,得％=l,d=l,所以*=1+(〃-1)="，所以

1111~

==--------->又

4Z„a„+l--〃(〃+1)nn+1

111100

-----1----------••«—选A.

IoT

aia2---------a\Ma\0\1223100101101

【答案】A

(6)Z\ABC中，AB边的高为CD,若(联“a•b=0,|a|=l,|b|=2,贝U

—b-*—b-a-h

(A)31(B)1(C)(D)

2

【解析】在直角三角形中，CB=1,CA=2,AB=旧，贝ijCD=,所以

AD=g2-CD?=卜-f=3,所以—,即

\5V5AB5

,4.4——♦4—4f

AD=—AB=—(a—b)=—a—b,选D.

5555

【答案】D

(7)已知Q为第二象限角，sina4-cosa=——,则cos2a二

3

(A)--(B)--(C)—(D)—

3993

【解析】因为sina+cosa=—所以两边平方得l+2sinacosa=」，所以

33

2

2sinacosa=--<0,因为己知a为第二象限角所以sina>0,cosa<0,

3

sina-cosa=Vl-2sinacosa=,所以

cos2a=cos2a-sin*a=(cosa-sina)(cosa+sina)=-x，选A.

【答案】A

(8)己知Fi、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上，|PF/=|2PF2|,则COS/FIPF2=

1334

(A)-(B)-(C)-(D)-

4545

22

【解析】双曲线的方程为^--上=1,所以a=8=四,c=2,因为|PFJ=|2PF2|,所以点

22

P在双曲线的右支上，则有|PFiHPF2l=2a=2五,所以解得|PF2|=2j^,|PFj=4五,所以根

(2行)2+(4行)2—14=3

据余弦定理得cos6尸鸟

2x20x4五一“

【答案】C

2

(9)已知x=ln贝，y=logs2,z=e,则

(A)x<y<z(B)z<x<y(C)z<y<x(D)y<z<x

11-1111

【解析】x-In7T>1,y—logs2——---------<一,z—e~――f=,—<—广<1,所以

log252Je2Je

y<z<x,选D.

【答案】D

(10)已知函数y=x?-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c=

(A)-2或2(B)-9或3(。-1或18)-3或1

【解析】若函数>=/—3x+c的图象与X轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有

一个为0,函数的导数为旷=3/-3,令>'=31-3=0,解得x=±l,可知当极大值为

/(-l)=2+c,极小值为/(l)=c-2.由/(—l)=2+c=0,解得c=-2,由

/(1)=。-2=0,解得c=2,所以c=-2或c=2,选A.

【答案】A

(11)将字母24b154(：,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同,

则不同的排列方法共有

(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种

【解析】第一步先排第一列有=6,在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法,

【答案】A

7

(12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF=—.动点P从E

3

出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当

点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

(A)16(B)14(C)12(D)10

【解析】结合已知中的点E.F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是

平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可.

【答案】B

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修n)

第ii卷

注意事项：

1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填

写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.

2.第II卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，

在试题卷上作答无效.

3.第II卷共10小题，共90分.

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

(注意：在试题卷上作答无效)

卜一八

(13)若x,y满足约束条件一"3；、上则z=3x-y的最小值为.

【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由z=3x—y得

y=3x-z,平移直线y=3光,由图象可知当直线经过点C(0,l)

时，直线y=3x-z的截距最大，此时z最小，最小值为z=3x-y=-l.

【答案】-1

(14)当函数Mm<3costi0-t-Lr取得最大值时，x=.

【解析】函数为y=sinx—V3cosx=2sin(x—y),当0Wx<2〃时，

jr冗、—冗,由三角函数图象可知，当x—74T=T上T，即*=工STT时取得最大值，所以

333326

54

x=——.

6

【答案】x=—

6

fly,—

(15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数

为

【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C；=C>所以〃=8,

所以展开式的通项为£+1=C*8T（_L）£,令8-2%=-2,解得％=5,所以

X

.=C；d）2,所以与的系数为=56.

xX"

【答案】56

（16）三菱柱ABC-AiBiQ中，底面边长和侧棱长都相等，BAAi=CAAi=60°

则异面直线AB】与BCi所成角的余弦值为.

【解析】如图设丽=［施=5,n=2,设棱长为1,则

AB{-a+b,BC]-a+BC=a+c-b因为底面边长和侧棱长都相等，且

ZBAA,=ZCAA,=600所以a»b=a»c=b»c=,所以|福卜&+=6,

匹卜J（Z+>3）2=6_,福•%=日+3）・日+工工）=2,设异面直线的夹角为

aaAB^BC,2V6

o,所以cose=।—f=--.

河阳为63

【答案】当

三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos（A-C）+cosB=l,a=2c,求c.

(17)解：

由8=及一(/<+C).cosB=-cos(4+C)..........2分

于是cos(/1-C)*cosZ?=cos(A-C}-cos(.4C)=2sin4sinC.

由己知得

sin/<sinC=-.0.........6分

由a=2c及正弦定理得

sinA=2sinC.②

由①、②得

smC=一,

4

于是sinCa(台去)，或sinC=1.

22

又a=2c,所以C=1..........10分

6

(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PAJ_底面ABCD,AC=2亚，PA=2,E是PC上

的一点，PE=2EC.

/\

/✓^^^-*******^

c

(I)证明：PC_L平面BED；

(H)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.

BD

解：（D以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A-xyz,

设D(>|2,b,0),贝l]c(212,0,0),P(0,0,2),E(>0,x)>B(^29-b,0)

—*r—*-J22—*42

一

PC一，-2)，BE=(~y，b，弓)，DE=('

44

一

一_-

_3，衣•五二o

-PC1BE3

.,.PC±BE>PC±DE>BEADE=E

J.PCJ■平面BED

（II）P=（0.0,2）,Tfi=（42.-b,0）

Tr-->

设平面PAB的法向里为m二（X,y,z），贝小二•AP=2z=0

、m=|2x-by=0

取m二（b,42,0）

n・云=242p-2r=0

设平面PBC的法向里为《二（p,q,r），贝I]一

n

取7=3,*<2）

，・,平卸FAB_L平面PBC,・二m'n二b-g=0.故b二

n=(1，T，>[2),DP=(->[2,—j2,2)

cos<DPn

设PD与平面PBC所成角为9,贝"sink*

/.9=30°

PD与平面PBC所成角的大小为30。

解法二：

（I）以乂为坐标原点，射线.4C为x轴的正半轴，建立如图所示的空间衣角坐标

系4一史.

设C(2及.0.0),。(7%40)，其中/»>0，则

P(0,0.2),£(殍.0.令，B(Q,-b,O).……2分

于是

/Z22

PC={242.0,-2).“=(学”).D£=(-y.b,-),

从而PCBE=Q.PCDE=0.

故PCLBE,PC1DE.

又BECDE^E,所以/>。工¥面8。£...6分

19.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发

球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发

球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.

（I）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（II）-表示开始第4次发球时乙的得分，求二的期望.

解：(I)记A演示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0,1,2!裱示事件：第3次发球，甲得1分；

B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2,贝旭=人心+%・工

:P(A)=0.4,P(AQ)=0.16.P(A,)=2X0.6X0.4=0.48

：.?(B)=0.16X0.4+0.48X(1-0.4)=0.352；

(IDF(Aj)=0.62=0.36,裱示开始第4次发球时乙的得分，可取0,1,2,3

P(牛0)=P(》)=0.36X0.4=0.144

P[孕2)=P(B)=0.352

P(^=3)=P元)=0.16X0.6=0.096

P(£=1)=1-0.144-0.352-0.096=0.408

:,郸期望E牛1X0.408+2X0.352+3X0.096=1.400.

(20)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

设函数f(x)=ax+cosx,x£[0,n].

(I)讨论f(x)的单调性；

(II)设f(x)Wl+sinx,求a的取值范围.

解：(I)求导函数，可得£(x)二a-sinx,x€[0,制，sinxW[0，；

当a40时，f(x)40恒成立，f(x)单调递减；当时，f(x)>0恒成立，f(x)单调递增；

当0<&<1时，当x€[0,arcsina]时，单调递增，当xW[arcsina,就]时，单调递减；

(II)f(x)41+sinx,即ax《l+迎sin(x谭)

当x=。时不等式恒成立；当xW(0,工]时，a4呼:上

X

令产”吧至，狈I1要小于等于其最小值；

X

J2xcos胆sin

求导函数，可得y，=________5________二

X2

x£(0>x]>yzVO

...尸上巴上记在S，X]上单调减

X

2

函额取得最小值为三

2

••a4—・

冗

21.(本小题满分12分)(注意：在试卷上作答无效)

已知抛物线C：y=(x+l)2与圆M：(x-1)2+(>-；产=r2(r>0)有一个公共点，且在A处两曲

线的切线为同一直线I.

(I)求r：

(II)设m、n是异于I且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D,求D至心的距离.

2

解：(I)设A(x0,(x0+l)),

Vy=(x+1)2,y，-2(x+1)

的斜率为k=2(x0+l)

当x0=l时，不合题意，所以X。千1

图心M(1.b,M冷)斜率k，=＞产)2.

2x0-l

•.-1±MA.A2(x0+l)xG。")屋-1

x°T

.'.xo=O»AA(0,1),

.•.r=|MA|=^；

(H)设(t,(t+1)2)为C上一点，则在该点处的切线方程为丁(t+1)2=2(t+1)(x-t)，即y=2(t+1)x-t^l

若该直线与HIM相切，则圆心M到该切线的距离为李

■------

J[2(t+l)]2+l

At2(t2-4t-6)=0

tg=0,或t『2+Q10'{2=27]0

抛物线c在点(%,(t+1)2)(i=0,1,2)处的切线分别为Lm,n,其方程分别为

22

尸2x+l①，尸2(4+1)x-t[+1②，y=2(t2+l)x-t2+1©

t.+t

②-⑤：x=---ta=2

代入②可得：v=-l

22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

函数f（X）=x2-2x-3,定义数列｛Xn｝如下:X1=2,Xn+1是过两点P（4,5）、Qn（Xn,f（Xn））的直线PQn

与X轴交点的横坐标.

（I）证明：2<Xn<Xn+i<3；

（II）求数列｛Xn｝的通项公式.

（I）证明：①Fl时，X产，直线PQ：的方程为尸5=隼爱（x-4）

当y=O时，^2="4~92《X[<X2<3；

f（xk..）~5

②假设n二咄寸，结论成立，即2《Xk<Xk+1<3,直线PQk+1的方程为y5二一、，二二（x-4）

xk*l、

3+4Xk-i

当尸。时，・・・X]-

kf22+xk..

55

•••255+1<3,J.XW4-国:<4-金=3

（3-Xk.p（l+xk.x）

xk+2~xk+r->0

E2+kx-1.

.".2<xk+1<xk+2<3

即n=kH时，结论成立

由①②可知：2大4-1<3；

3+4x_

（II）由（I），可得X不广衣二

n

515

设b『Xn-3,・・・。=针1

二点35（总）

113

•••{.七}是以V为首项，5为公比的等比额列

・十4=G）X5〃T

•4一3X5n-1+l

4

x=b^+3=3-~.

nn3X5+1

怎样调整好考试心态

心态就是一个人的心情。心情的好坏，会直接地影响

我们工作、学习的效果。你也能看到，在体育比赛中，由于

心理状态的起伏，参赛选手的发挥会跟着有较大的起伏。同

样的道理，心理状态的正常与否对参加考试的同学来说也至

关重要。心理方面的任何失衡都会使你手忙脚乱，得分率降

低，平时掌握的内容也有可能发挥不出来；相反，保持良好

的心态，则会使你如虎添翼，发挥出最佳水平。

加强心理调整，保持考前状态

考试中的心理偏差有两种：一是过于放松，难以集中

注意力，总是想起别的东西；二是过于紧张，心跳加快，

手心出汗，有头晕的感觉。那么如何进行考前的心理状态

调整呢？考前应该按照一定的时间顺序进行自身的心理状

态调整。

在考前10天：每个学生的实力已经定型，一般无论怎

么用功，水平也不会有显著地提高。所以，考生在这个时段

主要应该进行一些提纲挈领的复习，即考前复习要有所侧

重，特别是检查一下重点内容的掌握情况，如老师明确指定

和反复强调的重点内容，自己最薄弱的、经常出错的地方。

所以，考前10天考生宜看书而不宜做题。通过看书可以温

习已有的知识，增强自信心，而做题则不同，一旦题目太难,

就会挫伤自信心。另外，考试前人的精神往往高度集中，理

解力和记忆力在短期内急剧提高，因此在这个时段内应该加

强记忆方面的知识，如历史、地理、政治、英语等，但是也

不可过度紧张而耗费考试时的精力。

在考前3天：这个时间很多学生认为万事大吉，完全不

沾书本，这是十分错误的。重要内容虽然已经掌握了，但还

是要适当浏览一下，如历史、地理、政冶的基本知识、语文

的文学常识、英语的单词、数学的公式等。对自己已经考过

的试题应该看一看，把经常出错的地方再强化一下，适当地

做一点“热身题”。所以，在考前3天还要适当地翻阅一下

书本，这样做不仅使这些重点内容始终在大脑中处于待提取

的激活状态，而且可以使自己心里踏实。

在这3天，应该调整自己的心理状态，切不要把弦绷得

太紧，应该适当地放松自己，如通过散步、和家人聊天、听

音乐等方式调整自己的心态。此外，还应该做好考试的物质

准备，如文具、准考证、换冼的衣物、考试中提神的香水等。

在考前1天：考试前1天仍然有许多准备要做，不要认

为“万事俱备，只欠东风”，也不要“破罐子破摔”，听天由

命。在这天应注意以下问题，第一，注意自己的饮食，考前

1天应该遵循自己平时的饮食习惯，可以多加几个菜，适当

增加肉蛋类食品，但不要为了补充能量而暴饮暴食，以免消

化不良，直接影响第二天的考试；第二，不要参加剧烈的运

动，以免体能消耗过大或发生其他的意外，从而影响第二天

的考试。也不要长时间地玩棋牌、上网打游戏，以免过度兴

奋。适当的放松和休息应该是最后一天的主旋律；第三，熟

悉考场，应该仔细考察通往考场所在地的交通线路，选择路

程最短、干扰最少、平时最熟悉的路线，还应该考虑如果发

生交通堵塞后的应对措施。对考场所在学校、楼层、教室、

厕所以及你的座位位置都要亲自查看，做到心中有数，以防

止不测事件的发生；第四，要认真检查考试时所使用的准考

证、文具等，并把它们全部放在文具盒内，以保证第二天不

出现慌忙现象；第五，如果有的同学不看书心里就不踏实，

还要临阵磨枪，那就不妨把第二天所考科目的课本随意

翻阅一遍，但不可太动脑筋。如果有的同学不愿再看书，那

就听一些轻松欢快的音乐，以放松一下自己；第六，严格按

照平时的作息时间上床睡觉，不应太晚，也不宜太早，以免

成太早或太晚上床而又不能及时入睡。睡前可用温水洗脚，

以帮助自己睡眠，如数数、深呼吸等。切不要服用安眠药，

因为安眠药会抑制人的大脑，导致第二天考试不够兴奋。

要增强自信心

要获取好成绩，一定要有自信心。这如同体育运动员

一样，要在比赛中获取好的名次，应该具有良好的竞技状态,

以保证自己能够发挥出最好的水平。考生在进入考场之前，

多想一些有把握获取好成绩的条件，如“自己已经全面和系

统地复习了"，“考试就像平时测验，无非在这里多做几道题

而已”，尽量回忆和憧憬一些美好的事情，设法使大脑皮层

产生兴奋中心，产生一种积极的情绪。

自我放松，缓和紧张的心理状态

常用的自我放松训练有以下几种：

呼吸松弛训练。坐在座位上，双目微闭，两脚着地，

双手自然放在膝上，脚与肩同宽。然后进行腹式呼吸3~4次。

吸气时用鼻慢慢地吸，先扩张到腹部，在扩张到胸部，吸足

气后屏一屏气，然后用鼻和嘴将气慢慢地吐出，这个过程连

续多次就可以达到平静的心理状态，消除紧张和忧虑的效

果。

肌肉松弛训练。考试时，坐姿要放松，一旦双手发生

颤抖或有紧张情绪，可迅速拉紧所有的肌肉，然后立即解除

紧张、也可马上做深呼吸，反复两三次，这时全身肌肉必会

放松，就可避免生理、心理紧张加剧而引起的恶性循环。

转移想象训练。转移也是保持良好心境的一种方式。如

涂抹一点清凉油，听听音乐，从事散散步、游泳等不剧烈的

体育运动，使心态平衡，头脑清醒，紧张缓解。

自我暗示训练。要善于利用自我暗示语的强化