2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-1　一元线性回归

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

第七章统计案例

§1一元线性回归

1.1直线拟合1.2一元线性回归方程

基础过关练

题组一线性回归的相关概念的理解

1.下列四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是（

.•・・・•・・•・・・••••

・•.•••

01*01X0\01左

①②③④

A.①②B.①③

C.②③D.③④

AAAA

2.对具有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y=a+bx中，系数从

A.不能小于0B.不能大于0

C.不能等于0D.只能小于0

3.下列两个变量之间呈相关关系的是（）

A.角度与它的正弦值

B.一个考生的数学成绩与物理成绩

C.单产为常数时,土地面积与粮食总产量

D.面积为定值的长方形的长与宽

题组二线性回归方程及其应用

4.某地区调查了2〜9岁的儿童的身高，由此建立的身高y（cm）与年龄x（岁）的回

归方程为y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是（）

A.该地区一个10岁儿童的身高为142.63cm

B.该地区2〜9岁的儿童每年身高约增加8.25cm

C.该地区9岁儿童的平均身高是134.38cm

D.利用这个模型可以准确地计算该地区每个2~9岁儿童的身高

5.（2021山东济南一中期中）为了规定工时定额,需要确定加工某种零件所需的时

间，为此进行了5次试验,得到5组数据：（xi,yi）,（x2,y2）,（x3,y3）,（x4,y4）,（x5,y5）,

由最小二乘法求得线性回归方程为y=0.67x+54.9.若已知XI+X2+X3+X4+X5=150,则

+

yi+y2+y3+y4y5=（）

A.75B.155.4

C.375D.466.2

6.已知x与y之间的几组数据如下表：

x123456

y021334

AAA

假设根据上表数据所得线性回归方程为y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数

据（1,0）和⑵2）求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是（）

AAAA

A.b>b',a>a'B.b>b，,a〈a'

AAAA

C.b〈b',a〉a'D.b<b，,a〈a'

7.（2022宁夏吴忠青铜峡高级中学开学考试）某奶茶店的日销售收入y（单位:百

元）与当天平均气温x（单位：。C）之间的关系如下表：

X-2-1012

y5221

通过上面的五组数据得到了X与y之间的线性回归方程x+2.8,现在丢失了一

个数据,则该数据应为.

8.在一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192,3246],船员的人数区

间为[5,32],由船员人数y关于吨位x的回归分析得到＞9.5+0.0062x,假定两

艘轮船的吨位相差1000t,则船员的平均人数相差，估计最小的船

的船员人数是,最大的船的船员人数是.

9.(2021河南许昌期末)某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量

及其价格进行调查,5家商场的售价和销售量之间的一组数据如下表所示：

售价x/元99.5m10.511

销售量y/件11n865

由数据对应的散点图可知,销售量y与售价x之间有较强的线性相关关系,其线

性回归方程是1-3.2x+40,且m+n-20,则n=.

10.某连锁经营公司旗下的5个零售店某月的销售额和利润额如下表：

商店名称ABCDE

销售额x/千万元35679

利润额y/百万元23345

(1)画出散点图，观察散点图，说明两个变量是否线性相关；

⑵用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的线性回归方程;

⑶当销售额为4千万元时,估计利润额的大小.

11.（2020四川成都期中）某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,表1是该地某

银行连续五年的储蓄存款（年底余额）：

表2

tjT234m

z01235

（1）求z关于t的线性回归方程；

⑵通过⑴中的方程,求出y关于x的回归方程；

（3）用所求回归方程预测到2022年年底,该银行储蓄存款额可达多少.

An__

A八八Xx/Vj-nxyA八

参考公式:对于线性回归方程丫二族+处5=耳-----,a=y-bx.

2

i£=ixf1-nx

能力提升练

题组线性回归模型的综合应用

L（2021安徽皖北名校联考）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐,殊不知

蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位:℃）存在着较强的线性相

关关系.某地观测人员根据下表的观测数据,建立了y关于x的线性回归方程

y=0.25x+k,则当蟋蟀每分钟鸣叫60次时,该地当时的气温预测值为（）

x（次/分钟）2030405060

y（℃）2527.52932.536

A.33℃B.34℃

C.35℃D.35.5℃

2.（2022广西玉林期中）某公司为了增加其商品的销售利润，调查并统计了该商品

投入的广告费用x与销售利润y的相关数据如下表，由表中数据得回归直线1的

AAA

方程为y=bx+a,则下列结论错误的是（）

工告费用x（万元）23I56

销售利润y（万元）57911

AA

A.b>0B.a>0

C.直线1过点（4,8）D.直线1过点⑵5）

3.某商家对一种新产品进行试销,得到如下数据:

单价X（元）1616.416.817.217.618

销售量y（件）180168166160150136

通过绘制散点图,得知y与x具有线性相关关系.若该产品每件成本9元,要使该

产品销售总利润最大,则单价约为元.（销售总利润=（单价-成本）X销售

量）

附：⑴参考公式：回归直线y=bx+a中，斜率和截距的最小二乘估计分别为

n71_

A£八八

及®-元）（y广歹）

b=0n耳----,a=y-bx;

苕（久闲2L2

i=i1

⑵参考数据6百口%孕6=96。喧6产=6264鸣6榜i736.8.

4.（2020山东日照中学月考）为研究某设备的使用年限x（年）与维修费用y（万元）

之间的关系，测得一组数据如下（y值为观察值）:

年限x（年）2343飞I

维修费用y（万元）34.455.66.2

由数据可知y与x有明显的线性相关关系,可以用一条直线1的方程来反映这种

关系.

⑴将表中的数据画成散点图；

⑵如果直线1过散点图中的最左侧点和最右侧点,求直线1的方程；

⑶如果直线1过散点图中的中间点（即点（4,5））,且使维修费用的每一个观察值

与直线1上对应点的纵坐标的差的绝对值之和最小,求直线1的方程.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.B

2.C当加0时,两个变量不具有线性相关关系.

3.B选项A、C和D中均为函数关系，只有选项B中为相关关系.

AA

4.B由y=8.25x+60.13知b=8.25,说明每增加一个单位年龄,约增加8.25个

单位身高,故选B.

5.C由题意,可得行詈二30,代入线性回归方程,可得短0.67X30+54.9=75,

所以yi+y2+y3+y4+y5=5X75=375,故选C.

6.C由题意得b，=—=2,a=0-2X1=-

2—1

66A

2.Exiyi=0+4+3+12+15+24=58,x=3.5,y=—,Ex?=l+4+9+16+25+36=91,：.b=

i=l6f=i

58-6x3.5x—iA,A

-------^-=-,a=—--X3.5二二,二/Kb',a>aJ.故选C.

91-6X3.527673

7.答案4

解析设丢失的数据为明

贝反二：X(-2-l+0+l+2)=0,y=|x(5+m+2+2+l)=U1二

把优歹)代入线性回归方程短-x+2.8,得看=2.8,解得m=4.

8.答案6;10;29

解析由线性回归方程知船的吨位每增加1000t,人数增加0.0062X1

000心6.令x=192,得获10.6904,令x=3246,得129.6252,又人数为整数,

所以估计最小的船的船员人数为10,最大的船的船员人数为29.

9.答案10

解析由题意得建X(9+9.5+m+10.5+ll)=8+py=-X(ll+n+8+6+5)=6+p又

回归直线过定点（元歹），所以6+受-3.2X（8+£）+40,即3.2m+n=42,由

{*篙修解彳Cl'故心。・

10.解析（1）散点图如图.

利润额y盾万元

5・

4•

3-・・

2■・

1

。|123Z5178。销量额力/千万元

由散点图可以看出变量x,y线性相关.

AAA

⑵设线性回归方程为y=bx+a,

由已知得歹=3.4,%=6,

5

八Extyt-5xy

所以------=0.5,

£x?-5x2

i=l

AA

a=y~bx=3.4-6X0.5=0.4,

A

即利润额y关于销售额x的线性回归方程为y=0.5x+0.4.

（3）当销售额为4千万元时,利润额为10.5X4+0.4=2.4（百万元）.

55

11.解析⑴由题意得曰=3,5=2.2,EtiZi=45,£斤=55,

i=l1=1

匚匚［、［1A八

所以加-45-—-5-x-3-x-2.-2=1r.2,

55-5X9

AA_

a=z-bt=2.2-3X1.2=T.4,

A

所以Z关于t的线性回归方程为z=l.2t-l.4.

(2)将t=x-2014,z=y-5代入：=1.2t-l.4,

得y-5=L2(x-2014)-1.4,即$=1.2x-2413.2.

(3)当x=2022时，，=1.2X2022-2413.2=13.2,

所以预测到2022年年底,该银行储蓄存款可达13.2千亿元.

能力提升练

1.C由题意，得

x=-X(20+30+40+50+60)=40,y=-X(25+27.5+29+32.5+36)=30,

则k=y-0.25%=30-0.25X40=20,

故y关于x的线性回归方程为，=0.25x+20.

当x=60时，y=0.25X60+20=35.故选C.

2.D由题表中数据可得元(2+3+5+6)=4,y=^X(5+7+9+11)=8,所以直线1

经过点(4,8),故C正确；

4

又E(Xi-x)(yi-y)=(-2)X(-3)+(-1)X(-1)+1X1+2X3=14,

i=l

4

E(x-x)2=(-2)2+(-1)2+l2+22=10,

i=lA

所以炉苍=1.4,故A正确;

io

AA

a=y-bx=8~l.4X4=2.4,故B正确;

回归直线1的方程为，=1.4x+2.4,当x=2时,y=l.4X2+2.4=5.2,.•.直线1过

点⑵5.2),故D错误.

3.答案17

66

解析%=-£Xi」X102=17,y=-Ey^-X960=160,

6l.=ly66l=.l46

66

又Exi%=16264,Ex?=l736.8,

i=l6i=l

八EXiyi-6xy_

•[i,16264-6X17X16056八八

..b=气-----=----------=--=-20,

°°21736.8-6X1722.8

£x?-6x

AAi=l

a=歹-位=160-(-20)X17=500.

Ay关于x的线性回归方程为，=-20x+500.

则产品的销售利润：=(x-9)(-20x+500)=-20X2+680X-4500.

当x=^=17时，该产品销售总利润最大.

40

4.解析(1)散点图如图.

y

丁

丁

1，

■，

—

—

—

—

7—

十

十

十

十

---±--十-

—

—

6I—♦|

十

十

十

-----十-

+■*

—

—

I-—|

--•----

十

十

十

++十

—

—

—

—

4----—-|-

十

十

十

♦+十

—

—

—

3-1---—-|-