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文档简介
2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册
第七章统计案例
§1一元线性回归
1.1直线拟合1.2一元线性回归方程
基础过关练
题组一线性回归的相关概念的理解
1.下列四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是(
.•・・・•・・•・・・••••
・•.•••
01*01X0\01左
①②③④
A.①②B.①③
C.②③D.③④
AAAA
2.对具有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y=a+bx中,系数从
A.不能小于0B.不能大于0
C.不能等于0D.只能小于0
3.下列两个变量之间呈相关关系的是()
A.角度与它的正弦值
B.一个考生的数学成绩与物理成绩
C.单产为常数时,土地面积与粮食总产量
D.面积为定值的长方形的长与宽
题组二线性回归方程及其应用
4.某地区调查了2〜9岁的儿童的身高,由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回
归方程为y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是()
A.该地区一个10岁儿童的身高为142.63cm
B.该地区2〜9岁的儿童每年身高约增加8.25cm
C.该地区9岁儿童的平均身高是134.38cm
D.利用这个模型可以准确地计算该地区每个2~9岁儿童的身高
5.(2021山东济南一中期中)为了规定工时定额,需要确定加工某种零件所需的时
间,为此进行了5次试验,得到5组数据:(xi,yi),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5),
由最小二乘法求得线性回归方程为y=0.67x+54.9.若已知XI+X2+X3+X4+X5=150,则
+
yi+y2+y3+y4y5=()
A.75B.155.4
C.375D.466.2
6.已知x与y之间的几组数据如下表:
x123456
y021334
AAA
假设根据上表数据所得线性回归方程为y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数
据(1,0)和⑵2)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是()
AAAA
A.b>b',a>a'B.b>b,,a〈a'
AAAA
C.b〈b',a〉a'D.b<b,,a〈a'
7.(2022宁夏吴忠青铜峡高级中学开学考试)某奶茶店的日销售收入y(单位:百
元)与当天平均气温x(单位:。C)之间的关系如下表:
X-2-1012
y5221
通过上面的五组数据得到了X与y之间的线性回归方程x+2.8,现在丢失了一
个数据,则该数据应为.
8.在一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位区间为[192,3246],船员的人数区
间为[5,32],由船员人数y关于吨位x的回归分析得到>9.5+0.0062x,假定两
艘轮船的吨位相差1000t,则船员的平均人数相差,估计最小的船
的船员人数是,最大的船的船员人数是.
9.(2021河南许昌期末)某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量
及其价格进行调查,5家商场的售价和销售量之间的一组数据如下表所示:
售价x/元99.5m10.511
销售量y/件11n865
由数据对应的散点图可知,销售量y与售价x之间有较强的线性相关关系,其线
性回归方程是1-3.2x+40,且m+n-20,则n=.
10.某连锁经营公司旗下的5个零售店某月的销售额和利润额如下表:
商店名称ABCDE
销售额x/千万元35679
利润额y/百万元23345
(1)画出散点图,观察散点图,说明两个变量是否线性相关;
⑵用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的线性回归方程;
⑶当销售额为4千万元时,估计利润额的大小.
11.(2020四川成都期中)某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,表1是该地某
银行连续五年的储蓄存款(年底余额):
表2
tjT234m
z01235
(1)求z关于t的线性回归方程;
⑵通过⑴中的方程,求出y关于x的回归方程;
(3)用所求回归方程预测到2022年年底,该银行储蓄存款额可达多少.
An__
A八八Xx/Vj-nxyA八
参考公式:对于线性回归方程丫二族+处5=耳-----,a=y-bx.
2
i£=ixf1-nx
能力提升练
题组线性回归模型的综合应用
L(2021安徽皖北名校联考)蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐,殊不知
蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位:℃)存在着较强的线性相
关关系.某地观测人员根据下表的观测数据,建立了y关于x的线性回归方程
y=0.25x+k,则当蟋蟀每分钟鸣叫60次时,该地当时的气温预测值为()
x(次/分钟)2030405060
y(℃)2527.52932.536
A.33℃B.34℃
C.35℃D.35.5℃
2.(2022广西玉林期中)某公司为了增加其商品的销售利润,调查并统计了该商品
投入的广告费用x与销售利润y的相关数据如下表,由表中数据得回归直线1的
AAA
方程为y=bx+a,则下列结论错误的是()
工告费用x(万元)23I56
销售利润y(万元)57911
AA
A.b>0B.a>0
C.直线1过点(4,8)D.直线1过点⑵5)
3.某商家对一种新产品进行试销,得到如下数据:
单价X(元)1616.416.817.217.618
销售量y(件)180168166160150136
通过绘制散点图,得知y与x具有线性相关关系.若该产品每件成本9元,要使该
产品销售总利润最大,则单价约为元.(销售总利润=(单价-成本)X销售
量)
附:⑴参考公式:回归直线y=bx+a中,斜率和截距的最小二乘估计分别为
n71_
A£八八
及®-元)(y广歹)
b=0n耳----,a=y-bx;
苕(久闲2L2
i=i1
⑵参考数据6百口%孕6=96。喧6产=6264鸣6榜i736.8.
4.(2020山东日照中学月考)为研究某设备的使用年限x(年)与维修费用y(万元)
之间的关系,测得一组数据如下(y值为观察值):
年限x(年)2343飞I
维修费用y(万元)34.455.66.2
由数据可知y与x有明显的线性相关关系,可以用一条直线1的方程来反映这种
关系.
⑴将表中的数据画成散点图;
⑵如果直线1过散点图中的最左侧点和最右侧点,求直线1的方程;
⑶如果直线1过散点图中的中间点(即点(4,5)),且使维修费用的每一个观察值
与直线1上对应点的纵坐标的差的绝对值之和最小,求直线1的方程.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B
2.C当加0时,两个变量不具有线性相关关系.
3.B选项A、C和D中均为函数关系,只有选项B中为相关关系.
AA
4.B由y=8.25x+60.13知b=8.25,说明每增加一个单位年龄,约增加8.25个
单位身高,故选B.
5.C由题意,可得行詈二30,代入线性回归方程,可得短0.67X30+54.9=75,
所以yi+y2+y3+y4+y5=5X75=375,故选C.
6.C由题意得b,=—=2,a=0-2X1=-
2—1
66A
2.Exiyi=0+4+3+12+15+24=58,x=3.5,y=—,Ex?=l+4+9+16+25+36=91,:.b=
i=l6f=i
58-6x3.5x—iA,A
-------^-=-,a=—--X3.5二二,二/Kb',a>aJ.故选C.
91-6X3.527673
7.答案4
解析设丢失的数据为明
贝反二:X(-2-l+0+l+2)=0,y=|x(5+m+2+2+l)=U1二
把优歹)代入线性回归方程短-x+2.8,得看=2.8,解得m=4.
8.答案6;10;29
解析由线性回归方程知船的吨位每增加1000t,人数增加0.0062X1
000心6.令x=192,得获10.6904,令x=3246,得129.6252,又人数为整数,
所以估计最小的船的船员人数为10,最大的船的船员人数为29.
9.答案10
解析由题意得建X(9+9.5+m+10.5+ll)=8+py=-X(ll+n+8+6+5)=6+p又
回归直线过定点(元歹),所以6+受-3.2X(8+£)+40,即3.2m+n=42,由
{*篙修解彳Cl'故心。・
10.解析(1)散点图如图.
利润额y盾万元
5・
4•
3-・・
2■・
1
。|123Z5178。销量额力/千万元
由散点图可以看出变量x,y线性相关.
AAA
⑵设线性回归方程为y=bx+a,
由已知得歹=3.4,%=6,
5
八Extyt-5xy
所以------=0.5,
£x?-5x2
i=l
AA
a=y~bx=3.4-6X0.5=0.4,
A
即利润额y关于销售额x的线性回归方程为y=0.5x+0.4.
(3)当销售额为4千万元时,利润额为10.5X4+0.4=2.4(百万元).
55
11.解析⑴由题意得曰=3,5=2.2,EtiZi=45,£斤=55,
i=l1=1
匚匚[、[1A八
所以加-45-—-5-x-3-x-2.-2=1r.2,
55-5X9
AA_
a=z-bt=2.2-3X1.2=T.4,
A
所以Z关于t的线性回归方程为z=l.2t-l.4.
(2)将t=x-2014,z=y-5代入:=1.2t-l.4,
得y-5=L2(x-2014)-1.4,即$=1.2x-2413.2.
(3)当x=2022时,,=1.2X2022-2413.2=13.2,
所以预测到2022年年底,该银行储蓄存款可达13.2千亿元.
能力提升练
1.C由题意,得
x=-X(20+30+40+50+60)=40,y=-X(25+27.5+29+32.5+36)=30,
则k=y-0.25%=30-0.25X40=20,
故y关于x的线性回归方程为,=0.25x+20.
当x=60时,y=0.25X60+20=35.故选C.
2.D由题表中数据可得元(2+3+5+6)=4,y=^X(5+7+9+11)=8,所以直线1
经过点(4,8),故C正确;
4
又E(Xi-x)(yi-y)=(-2)X(-3)+(-1)X(-1)+1X1+2X3=14,
i=l
4
E(x-x)2=(-2)2+(-1)2+l2+22=10,
i=lA
所以炉苍=1.4,故A正确;
io
AA
a=y-bx=8~l.4X4=2.4,故B正确;
回归直线1的方程为,=1.4x+2.4,当x=2时,y=l.4X2+2.4=5.2,.•.直线1过
点⑵5.2),故D错误.
3.答案17
66
解析%=-£Xi」X102=17,y=-Ey^-X960=160,
6l.=ly66l=.l46
66
又Exi%=16264,Ex?=l736.8,
i=l6i=l
八EXiyi-6xy_
•[i,16264-6X17X16056八八
..b=气-----=----------=--=-20,
°°21736.8-6X1722.8
£x?-6x
AAi=l
a=歹-位=160-(-20)X17=500.
Ay关于x的线性回归方程为,=-20x+500.
则产品的销售利润:=(x-9)(-20x+500)=-20X2+680X-4500.
当x=^=17时,该产品销售总利润最大.
40
4.解析(1)散点图如图.
y
丁
丁
1,
■,
—
—
—
—
7—
十
十
十
十
---±--十-
—
—
6I—♦|
十
十
十
-----十-
+■*
—
—
I-—|
--•----
十
十
十
++十
—
—
—
—
4----—-|-
十
十
十
♦+十
—
—
—
3-1---—-|-
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