【常微分方程中“一题多解”实验验证探究8600字（论文）】

常微分方程中“一题多解”实验验证研究【摘要】常微分方程模型在自然科学方面有着广泛的应用背景。在很多情况下,常微分方程的解析解很难用一个精确的表达式给出。在处理实际问题时,我们经常用数值方法来获得其近似解。对常微分方程的理论及数值方法研究已有大量工作,主要数值方法有传统的有限差分方法和有限元方法。本文用二维和小波方法将曲型方程转化为分方程组,再用精细时程积分法求解方程组。【关键词】常微分方程；差分解法；小波方法目录引言 3一常微分方程例析 3二常微分方程的一题多解 62.1小波数值方法分析 62.2算例计算接触间断 62.3数值算例 62.4数值算例 72.5误差图与数据分析 92.5.1精度阶对比 92.5.2MacCormack格式的主要数据 10三常微分方程中“一题多解”实验验证 123.1数值试验 123.2数值试验 133.3多分辨格式 14四常微分方程中“一题多解”的启迪 15参考文献 17引言常微分方程模型在自然科学方面有着广泛的应用背景。常微分方程中“一题多解”使常微分方程的数值方法分析得出许多力学问题与双曲守恒定律有关，如气体动力学、流体力学、燃烧和浅水流动等。物理问题对应于这些物理现象经常出现解的相对性能差，地方在解决地区相当激烈变化方程，对奇异奇异解的发展，如冲击波、爆轰波，边界层和涡流。为了保证解决方案的质量，有必要使用一个非常细的网格和非线性求解器。然而，由于双曲方程的解在大多数领域是光滑的，它往往会导致计算网格和计算成本的浪费。特别是，当问题的规模是大的，损失是惊人的，甚至可能导致计算过程继续。鉴于此，提出了一系列自适应算法，如移动网格法、自适应局部加密技术等。这些算法的基本思想是应用不同的方法解决不同区域和不同情况下的问题。一常微分方程例析微分方程，学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”。但是以下三种原因使得这种“求通解”的努力，逐渐被放弃。第一，能求得通解的方程显然是很少的。在常微分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，维数是很小的。高阶方程中，线性方程仍可以用叠加原理求解，即n阶齐次方程的通解是它的n个独立特解的线性组合，其系数是任意常数。非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，这个特解并且可以用常数变易法通过求积分求得。求齐次方程的特解，当系数是常数时可归结为求一代数方程的根，这个代数方程的次数则是原方程的阶数;当系数是变数时，则只有二种极特殊的情况（欧拉方程、拉普拉斯方程）可以求得。常微分方程偏微分方程是一个早期的偏微分方程系统，可以用来描述许多物理现象，如波的传播、弦振动、空气动力学。例如，以气缸振荡为例，在运用自动检测的数值解的分辨率的多分辨率方法过程中，初始条件是非常特殊的，它是由两个气缸，其中一个是在第一象限，另一个是在第三象限的气缸。在方程中，溶液的剧烈变化往往形成较大的速度。因此，两个气缸的运动将等于冲击前后的数值解的平均值。也就是说，正方向柱具有正速度，负方向柱具有负速度，且不受冲击波影响的区域不动。由于两个气缸的运动方向相反，经过一段时间左右是一个时间单位，它们将在中心区域的计算中“碰撞”，最后形成一个冲击波的解。滤波值：整个运动过程和相应的网格变化可以看到图1。给出了一个求解二维问题的自适应多分辨方法。在本文中，使用正则网格来解决这个问题。在本文中，基本网格作为一个常规嵌套网格。因此，最细网格的总数是GE，以确保我们的自适应网格在非光滑区域可以达到最高分辨率。在这一部分中，我们利用ST的格式对一维线性对流方程和非线性方程进行了简单的数值试验，分析了算法的性能。所有的数值例子所示的小波尺度函数。为了抑制振荡，在计划中的人工粘度条款作为一个和一个。算例1：考虑对流方程的间断初值问题：其中，图：对对流方程的格式结果，引言中提到的，如果Daubechies小波间断初值问题数值解的直接使用，会产生吉布斯现象。在本文中，粘度近似法求解等效H-J方程，以及不同分辨率的解曲线（J=7或J=8）}t=0.5表示。可以看出，虽然这两种小波伽辽金格式有不同程度的平滑，没有振荡现象。图1.1和图1.2的对比也可以在相同的分辨率，cwgs方案的精度比较高，但精度的方案由粘性的限制，所以即使分辨率的提高，其精度不完善；和tvdwgs格式的精度主要取决于的数值解近似小波函数，因此更高的分辨率，更准确的计算结果。图：对流方程的格式计算结果算例考虑方程：以解决1个7，分别与cwgs格式和tvdwgs格式进行计算，得到了一个O，o.1,0.2和0.4，当解曲线和T=0.5的曲线，如图所示。可以看出，本文提出的格式也适用于奇异解的非线性问题。同时，我们也注意到，（对比图1.3b和3.4B），在相同的分辨率，cwgs格式的精度略高于tvdwgs格式，但前者需要确定人工粘性项，后者的使用较麻烦。图：方程的格式计算结果二常微分方程的一题多解2.1小波数值方法分析众所周知，小波具有局部奇异性，小波系数可以直接反映函数的局部光滑性。本章利用小波分析的特点、高分辨率有限体积格式和基于自适应网格技术的多分辨分析方法，对常微分方程守恒定律，特别是欧拉方程的计算效率进行了改进。该方法在对嵌套网格数值进行多分辨率分析的基础上，建立了小波系数与嵌套网格的一一对应关系。自适应算法主要是通过小波系数的滤波实现，忽略的小波系数的值小于给定的封闭值。严格地说，在这种方法中获得的网格不是一个真正的非结构化网格，但嵌套的网格在不同的分辨率层的组合。作为一种新发展起来的自适应网格方法，该方法比传统方法更简单、更容易实现。与常规的网格算法相比，该方法可以显着减少内存和CPU的计算所需的时间，而不会丢失精度。主要内容如下：一维自适应多分辨方法和数值实验。二维自适应多分辨率方法和数值实验。2.2算例计算接触间断结构和它们的数值解中均含有接触间断。其中,结构的初始条件为：2.3数值算例考虑下面一个非线性常微分方程的初边值问题:其解析解为u(x,t)=sin(x)(1+exp(t)).下面用本文中的迭代方法（2-12）、（2-14）进行计算，其数值结果见图2-1和图2-2。图中实线表示精确解，空心圈表示数值解。从图的对比中可以看出：当空间步长不变，随着时间步长减小，计算结果的精确度有所提高。图2-1当M=100,N=1000,r=0.001时的数值解，其误差的最大范数为7.4909×10−4:图2-2当M=100,N=2000,r=2.5330×10−4时的数值解，其误差的最大范数为7.4514×10−4.2.4数值算例考虑下面的一个时滞常微分方程的初边值问题：现代科学技术的引入，人们建立了许多微分方程作为数学模型，为了更好的描述在应用广泛的研究客观现象，说明所反映的问题，要找出这些方程的解。但并非所有的方程都可以得到精确解。因此，在许多实际应用和过境的数值解。计算机的出现和发展，促进了数值模拟的发展，相应的程序规模越来越大，越来来测试这些程序并验证其有效性和可靠性更难，已经成为一个关键问题，人类迫切。解决方案（manufacturedsolutions）是一个偏微分方程，对于一个给定的构造函数生成确定方程中的源项，然后确定初始边界条件的方程，所以这个功能成为解决问题。应用程序验证的验证方法称为人工人工解和解的解决方法（methodofmanufactureDsolutions）。制造的解决方案的方法是一种精确的解决方法被广泛使用，并且往往是更容易的方法来测试程序。常微分方程偏微分方程是一个早期的偏微分方程系统，可以用来描述许多物理现象，如波的传播、弦振动、空气动力学。一维双曲方程：表示物质的运动，包括U（x，t）代表物质的量或其他参数，速度代表一个物质。在本文中，采用人工方法，通过常微分方程的制备，Lax-Wendroff格式、Lax-Friedrichs格式MacCormack格式的程序，检测程序错误、列表、误差分析与数据的准确度和精密度的顺序观察与秩序的理论很好的一致性，保证过程和程度信心的可靠性。人为解方法考虑下述有界区域上的常微分方程的初边值问题:理论上，我们可以构造大量函数作为上述定解问题的人为解．如取:把（２）代入（１），求出相应的源项:分两种情况讨论，当ａ＞０时，不妨设ａ＝１，人为解取ｕ１；当ａ＜０时不妨设ａ＝－１，人为解取ｕ２．方程（１）对应的人为解方程分别为:它们的初边值条件分别设为:ｕ１（ｘ，０）＝ｓｉｎｘ，ｕ１（０，ｔ）＝ｓｉｎ（２ｔ），ｕ１（１，ｔ）＝ｓｉｎ（１＋２ｔ），ｕ２（ｘ，０）＝ｃｏｓ（３ｘ＋１），ｕ２（０，ｔ）＝ｃｏｓ（２ｔ＋１），ｕ２（１，ｔ）＝ｃｏｓ（２ｔ＋４）．以Ａ＝［０，１］×［０，１］为主要计算区域，把空间ｘ轴和时间ｔ轴分别等分割为Ｍ和Ｎ份，分割细度分别表示为ｈ和τ，λ＝τｈ表示网格比，以ｕｎｊ和ｆｎｊ分别表示函数ｕ和ｆ在网格（ｊｈ，ｎτ）处的函数值．计算各网格点处的迭代值时，选择以下迭代格式:（１）Ｌａｘ－Ｆｒｉｅｄｒｉｃｈｓ格式:（２）Ｌａｘ－Ｗｅｎｄｒｏｆｆ格式:（３）ＭａｃＣｏｒｍａｃｋ格式:2.5误差图与数据分析2.5.1精度阶对比以上述格式编写程序，考察真实值与迭代值差矩隈和观测精确度，误差较小，观测精度阶和理论精度阶较接近，如表1和表2表注：ａ＝１时，格式（１）－（３）的观测精度阶与理论精度阶对比（见表１）．ａ＝－１时，格式（１）－（３）的观测精度阶与理论精度阶对比（见表２）．其中矩阵的范数为ｌ２－范数，在Ａ＝［０，１］×［０，１］区域上取Ｍｉ＝５０＊２ｉ，Ｎｉ＝１００＊２ｉ，ｉ＝０，１，２，…．误差图:图２ａ＝－１时，格式（１）－（３）的误差分布图2.5.2MacCormack格式的主要数据表注：Ｔ１中，初值只给出第一行和第一列，未列出ｕｎ＋１ｉ－１的迭代计算表达式；Ｔ２中，初值只给出前三行和前两列，未列出:的迭代计算表达式；Ｔ３中，初值给出前三行和前两列，列出:的迭代计算表达式；但在迭代时，校正项的表达式有正式错误:初始值给出前三行和前两列，正确列出:的迭代计算表达式:中，初始值给出前三行和前两列，正确列出ｕｊ－１－ｎ＋１的迭代计算表达式，网格比减小为０．２５．其中的Ｔｉ表示第ｉ次检测（ｉ＝１，…，５）．２．４数据分析Ｔ４中，λ＝０．５，迭代６次，最大观测精度阶为１．９９８９；Ｔ５中，λ＝０．２５，迭代６次，最大观测精度阶为１．９９９４，迭代７次时，最大观测精确度为１．９９９７．可见，网格细度越小，网格比λ越小，迭代次数越大，观测精确度越高，但网格细度也不能太小，否则，迭代误差增大，导致运行时间过长甚至发散．分析误差图及数据列表可知，网格细度越小，网格密分比越大，迭代次数越多，｜ｕ－ｅｕ｜的误差越小，误差减小越快，观测精度阶越高，观测精度阶与理论精度阶吻合越好．我们首先考虑线性方程：作用在Banach空间上的有界线性算子半群s(￡)，0t<∞，被称为强连续算子半群，如果lim_+0(t)“=‘it对任意∈X都成立．作用在上的强连续有界线性算子半群也叫做半群接着我们给出关于一般抽象Cauchy问题的解的存在性及爆破解的定理．设乱=u(x，t)满足下列抽象Cauchy问题：若U0∈X且N∈L(0，；)．由(1．5)给出的函数U∈c([0，；X)是初值问题(1．4)在[0，T1上的温和解．设Ⅳ是从到的局部Lipschitz的非线性算子，且满足(i)llⅣ(札)lixCbd(ii~llx)，Vu∈X，(ii)lIN(u1)一N(u2)IIxCLip(1l~lll，ll2l1)lI，“1一U2llx，其中d和ip是关于各自变量的非减函数．那么对于P>0，存在(p)>0，使得对于任意满足Iluo(x)P的uo(x)∈X，问题(1．4)存在唯一的温和解(，t)∈c([0，Tm】．设7满足(1．10)且=()∈X，问题(0．1)和(0．2)存在唯一温和解()∈c([0，T；)．进一步地，我们有以下能量守恒关系．方程(0．1)两边同乘以t再关于X积分，得:利用类似于(1．11)的估计，我们发现方程(0．2)的温和解是可以全局存在的，对方程(0，1)，我们有以下关于爆破解的结果．若Eo=E(u0(．)，1(．))0，或者Eo=0且uou]dx>0，则定理1．2中方程(0．1)的解会在有限时间内爆破，注1．1若>0，对0，1再附加条件，类似于文献中的讨论，同样可以得到关于爆破解的结论．注意到(1．15)弱于我们得到爆破解结论所依赖的条件，即

limIlu()llLz(。)∞·(1．18)们没有找到(1．18)成立的条件，但是我们在下面的定理中给出了llu(t)ll~。的导数爆破条件．三常微分方程中“一题多解”实验验证3.1数值试验在这一部分中，几个数值例子来分析自适应多分辨率有限体积法的性能。所有数值例子的实施与VisualFortran5编程。为了节省内存，计算过程中网格的动态变化和守恒量与一维序列数一致，存储在动态数组中。为叙述方便，我们使用NUS。代表自适应网格的总数，网格压缩比被定义为：算例1-2是关于标量方程的，取基础网格为5层的规则嵌套网格，即L=4,最粗层网格G‘上含有N4=10x10个单元。于是，由嵌套网格的定义方式可知，No=N4x44=25600。算例1:考虑区域[-1,1]x[-1,1]上的线性波动方程:初始条件为：对于周期性初始条件，取滤波闭值:40min(hx,hv),t=1.0时的数值解与自适应网格如图所示。由于数值解在整个计算区域中都十分光滑，且变化缓慢，所以图中仅出现了两层网格，且分辨率都不高，最细层网格(最高分辨率)始终没有出现。对于条件，初始时刻，数值解沿x一轴和Y一轴存在四个间断，并且它们随着时间的推进以单位速度进行平移。取:6.6min(hx,by);t=0.6时的计算结果。由图中可以看出，自适应网格在整个计算过程与数值解的等高线保持同样的形状，并且最细层网格随着解的不规则区域移动。算例2:考虑Burgers方程：初始条件为：和：对于初值问题，初始条件是光滑的，但数值解在有限时间内是奇异的，并逐渐形成激波。初始时间和自适应网格分布的数值解如图所示。随着解的过程，冲击波的结构逐渐形成，我们注意到，细网格出现在奇异区域，并在光滑区域的细网格合并成粗网格。在图中，我们绘制的轮廓和自适应网格的数值解。3.2数值试验利用建立的格式对两个典型问题进行数值试验。考虑到数值解对光滑性的要求，所有算例均使用DaubechiesD8小波的自相关尺度函数，计算区域为[0,1]。首先说明一下边界的处理。根据引理的性质1,DN小波自相关函数的支撑集为N+1,N-1]，并且8(-N+1)=B(N-1)=0，故落在计算区域内的试函数应为:'该算法以一维的情况下，以相同的方式详细描述，和二维的多分辨率方案也分为两个独立的过程，偏微分方程求解器和网格选择方法中引入的部分。在本节中，我们将它们结合起来，形成一个自适应多分辨率方案。首先描述了算法的总体框架。假设A是N0，自适应的网格设置的时刻，对虱子的相应单元的平均值。我们的目标是构建一个高效的计算方法，基于当前的网格A，推导出网格分布的1+下一次，然后计算误差在给定的范围内相应的数值逼近的U+1M，具体步骤如下：首先，自适应网格的数值近似由Unm插值到最精细的层格G.为简单起见，本文采用零阶插值。然后，对正则网格G上的单位平均u，进行编码，利用该方法引入截面，确定下一时刻网格分布的N+1。然后投影网格的N+1，而不是一个N+的数值网格附近的火。最后，根据火灾和+1+1，采用有限体积法引入截面计算u+。为了保证算法的整体保守性和进一步提高算法的效率，本文详细介绍了以下具体实现过程。首先是关于时间的演变。如上所述，本文利用她：和舒提出了一个时间步RungeKutta迭代法。换句话说，一个时间迭代计算多个子步骤。为了节省CPU时间，又降低了算法的复杂度，我们假设距离不超过网格中的波传播的时间步长，所以虽然一个时间包含多个子步骤（多个数值通量），但整个过程只需要调整网格。类似的方法也被用于文献[94]，以加快数值通量计算。数值实验表明，这种方法并没有任何影响的结果，只要网格被选中。3.3多分辨格式数值通量计算。采用高阶插值到细网格上的数值解的变换，进而计算出流量能保持精度，而且可以提高算法的复杂度和计算效率明显下降，很难反映多解决方案的优势，有点得不偿失。因此，本文选择自适应网格直接计算数值通量。此外，由于网格的细化和合并仅在嵌套网格的范围内，它有可能有一个以上的网格具有相同的边缘的一个单元（这是不存在的一维的情况下）。传统的通量直接计算的结果是不令人满意的，因为它不能保证通量守恒的网格边界。鉴于此，我们使用一个修改后的技术通量，甚至流出接口通量和等于通量和流量到网格接口。也就是说，在粗网格和细网格之间的接口，我们只需要计算通量的细网格具有更高的分辨率，而低分辨率的粗网格上的磁通，得到根据通量守恒属性。这不仅保证了保护，而且在一定程度上减少了浮点运算的次数。四常微分方程中“一题多解”的启迪许多力学问题与双曲守恒定律有关，如气体动力学、流体力学、燃烧和浅水流动等。物理问题对应于这些物理现象经常出现解的相对性能差，地方在解决地区相当激烈变化方程，对奇异奇异解的发展，如冲击波、爆轰波，边界层和涡流。为了保证解决方案的质量，有必要使用一个非常细的网格和非线性求解器。然而，由于双曲方程的解在大多数领域是光滑的，它往往会导致计算网格和计算成本的浪费。特别是，当问题的规模是大的，损失是惊人的，甚至可能导致计算过程继续。鉴于此，提出了一系列自适应算法，如移动网格法、自适应局部加密技术等。这些算法的基本思想是应用不同的方法解决不同区域和不同情况下的问题。众所周知，小波具有局部奇异性，小波系数可以直接反映函数的局部光滑性。本章利用小波分析的特点、高分辨率有限体积格式和基于自适应网格技术的多分辨分析方法，对常微分方程守恒定律，特别是欧拉方程的计算效率进行了改进。该方法在对嵌套网格数值进行多分辨率分析的基础上，建立了小波系数与嵌套网格的一一对应关系。自适应算法主要是通过小波系数的滤波实现，忽略的小波系数的值小于给定的封闭值。严格地说，在这种方法中获得的网格不是一个真正的非结构化网格，但嵌套的网格在不同的分辨率层的组合。作为一种新发展起来的自适应网格方法，该方法比传统方法更简单、更容易实现。与常规网格算法相比，该方法在不损失精度的情况下，可以显著减少计算所需的内存和时间。以下各章的内容安排如下：第1章介绍一维自适应多分辨方法和数值实验。本文介绍了二维自适应多分辨率方法和数值实验进行了总结，并给出了一些未来的工作前景。在本章中，我们重点讨论了初始边值问题（2-1），我们首先构造的局部截断误差的顺序是O（T2+的X2）隐式差分格式（2-5），并证明了差分格式（2-5）根据H的范数是无条件稳定。它不适合并行计算，因为它需要解决三对角线性代数方程组在每个时间级。为此，我们针对隐式差分格式构造参数的交替分组显式迭代方法的并行计算，并证明了迭代法收敛的初始值，并给出了选择参数的迭代方法。最后，给出了一个数值例子。数值实验表明，本章提出的算法具有较高的数值精度。综上所述，本文提出了一种参数交替分组显式迭代法，具有很高的应用价值。基于双曲线方程为例，在编程误差检测的格式不同，使用不同的测试解决方案的数值程序，精度和准确度和相应的理论秩序是在良好的协议与观测，每个程序和信心的可靠性有了很大的提高。可见，该方法不仅能验证程序的正确性，而且操作简单，效果好，结论一致。人工求解方法也可用于其他偏微分方程（组）解的验证和程序验证。参考文献［１］Ｓａｌａｒｉｋａｍｂｉｚ，ＰａｔｒｉｃｋＫｎｕｐｐ．ＣｏｄｅＶｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎｂｙｔｈｅＭｅｔｈｏｄｏｆＭａｎｕｆａｃｔｒｕｅｄＳｏｌｕｔｉｏｎｓ［Ｒ］．ＳＡＮＤＩＡＲＥＰＯＲＴ，ＳＡＮＤ２０００－１４４４，２０００．［２］袁国兴，王瑞利，林忠，等．科学计算程序的验证与确认［Ｊ］．高性能计算发展与应用，２００７（３）：１７－２４．［３］曾现洋，刘睿，刘希强．人为解与人为解方法［Ｊ］．聊城大学学报：自然科学版，２０１０，２３（１）：７１－７５．［４］刘睿，曾现洋．抛物型方程的人为解问题［Ｊ］．聊城大学学报：自然科学版，２０１１，２４（１）：９６－１００．［５］张文生．科学计算中的偏微分方程有限差分法［Ｍ］．北京：科学技术出版社，２００６．［６］水鸿寿．一维流体力学差分方法［Ｍ］．北京：国防工业出版社，１９９８．[7]范振成.

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