山东省烟台市龙口第三职业高级中学高三数学理期末试卷含解析

山东省烟台市龙口第三职业高级中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆的左焦点为F，右顶点为A，以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.参考答案：B2.设i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点为（1，2），则z=（）A．﹣2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．1﹣2i参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数在复平面内对应的点为（1，2），得到=1+2i，化简即可【解答】解：复数在复平面内对应的点为（1，2），则=1+2i，∴z=2﹣i，故选：B．3.已知R且，若（e为自然对数的底数），则下列正确的是（

）A． B．C． D．参考答案：C略4.函数的最大值与最小值之和为

(A)(B)0(C)－1(D)参考答案：A5.下列选项中，说法正确的是（）A．命题“?x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定为“?x∈R，x2﹣x＞0”B．若非零向量、满足|+|=||+||，则与共线C．命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”的逆否命题为真命题D．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的充分必要条件参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由特称命题的否定为全称命题，即可判断A；由向量共线的条件，即可判断B；由A=150°，可得sinA=，再结合原命题与逆否命题等价，即可判断C；由a1＜0，0＜q＜1，即可判断D．【解答】解：对于A，由特称命题的否定为全称命题，可得命题“?x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定为“?x∈R，x2﹣x＞0”，故A错；对于B，若非零向量、满足|+|=||+||，则，同向，则与共线，故B正确对于C，命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”为假命题，比如A=150°，则sinA=．再由原命题与其逆否命题等价，则其逆否命题为假命题，故C错；对于D，设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”推不出“{an}为递增数列”，比如a1＜0，不为增函数；反之，可得0＜q＜1．故不为充分必要条件，故D错．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定、四种命题的真假、充分必要条件的判断和向量共线的条件，考查判断和推理能力，属于基础题．6.已知集合，则A∩B=（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先化简集合A,B，再求A∩B=得解.【详解】,所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.椭圆的中心、右焦点、右顶点、右准线与轴的交点依次为，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．不能确定参考答案：答案：C8.如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为（

）A．B．C．D．参考答案：C9.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意将f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象右平移个单位所得的图象重合，说明两个函数相位差是2π的整数倍，求出ω的值即可．【解答】解：∵将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位，所得的图象解析式为：y=sin（ωx+ω+φ），将函数f（x）的图象右平移个单位所得的图象解析式为：y=y=sin（ωx﹣ω+φ），若所得图象重合，∴ω+ω=2kπ，k∈Z，解得ω=4k，k∈Z，∵ω＞0，可解得ω的最小值为4．故选：C．【点评】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识，相位差是函数周期的整数倍，是本题解题关键．10.如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；类似地有命题：在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为M，则有.上述命题是()A．真命题B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”才是真命题参考答案：A因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE，AD⊥BC，在△ADE中，AE2＝ME·DE，又A点在平面BCD内的射影为M，所以AM⊥平面BCD，AM⊥BC，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE，将S△ABC、S△BCM、S△BCD分别表示出来，可得故选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列{14－2n}的前n项和为Sn，数列{︱14－2n︱}的前n项和为Sn′，若Sn的最大值为Sm，则n≥m时，Sn′＝

参考答案：12.已知点的坐标满足条件点为，那么的取值范围为参考答案：13.设集合，对于，记，且，由所有组成的集合记为：，（1）的值为________；（2）设集合，对任意，，则的概率为________．参考答案：（1）；（2）略14.在极坐标系中，若圆的极坐标方程为，若以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系，则在直角坐标系中，圆心的直角坐标是

.参考答案：略15.在三棱锥A-BCD中，，当三棱锥A-BCD的体积最大时，三棱锥A-BCD外接球的体积与三棱锥A-BCD的体积之比为__________.参考答案：【分析】根据题意，当面BCD面ABD时，三棱锥的体积最大.此时取BD的中点O，由，得，同理根据，且，由直角三角形中线定理可得，从而得到外接圆半径R=2，再分别利用体积公式求解.【详解】如图所示：当面BCD面ABD时，三棱锥的体积最大.取BD的中点O，因为，所以，，，，外接圆半径R=2，V球，，三棱锥外接球的体积与三棱锥的体积之比为.故答案为：【点睛】本题主要考查组合体的体积问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.16.某地教育部门欲派5名工作人员到3所学校进行地震安全教育，每所学校至少1人，至多派2人，则不同的安排方案共有＿＿＿种。（用数字作答）参考答案：17.设满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求四棱锥P－ABCD的体积．参考答案：（Ⅰ）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC．而AC∩BD＝F，所以AC⊥平面PDB．E为PB上任意一点，DE平面PBD，所以AC⊥DE．（Ⅱ）连EF．由（Ⅰ），知AC⊥平面PDB，EF平面PBD，所以AC⊥EF．S△ACE＝AC·EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．S△ACE＝3，×6×EF＝3，解得EF＝1．

由△PDB∽△FEB，得．由于EF＝1，FB＝4，，所以PB＝4PD，即．解得PD＝VP—ABCD＝S□ABCD·PD＝×24×＝．19.（本小题12分）如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．参考答案：（Ⅰ）法1：连接，由知，点为的中点，又∵为圆的直径，∴，由知，，∴为等边三角形，从而．-----------------3分∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，-----------------5分由得，平面，又平面，∴．

-----------------6分（注：证明平面时，也可以由平面平面得到，酌情给分．）法2：∵为圆的直径，∴，在中设，由，得，，，，∴，则，∴，即． -----------------3分∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，

---------5分由得，平面，又平面，∴．

-----------------6分法3：∵为圆的直径，∴，在中由得，，设，由得，，，由余弦定理得，，∴，即．

-----------------3分∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，

-----------------5分由得，平面，又平面，∴．

-----------------6分（Ⅱ）法1：（综合法）过点作，垂足为，连接．

-----------7分由（1）知平面，又平面，∴，又，∴平面，又平面，∴，-----------------9分∴为二面角的平面角．-----------------10分由（Ⅰ）可知，，（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）∴，则，∴在中，，∴，即二面角的余弦值为．---------------12分法2：（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系．

-----------------8分（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明，酌情给分．）设，由，得，，，∴，，，，∴，，，由平面，知平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，∴，-----------------10分设二面角的平面角的大小为，则，∴二面角的余弦值为．-----------------12分20.（本小题满分13分）在中，内角分别对应的边是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．参考答案：解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．

2分联立方程组解得，．

6分所以的面积．13分21.（本题满分12分）复数，（其中，为虚数单位）.在复平面上，复数、能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】设复数，能表示同一个点，则,

……3分解得或.

………………7分当时，得，此时.

……………9分当时，得，此时.

……………11分综上，复平面上该点表示的复数为或．

……………12分22.已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．(1)求抛物线的方程；(2)当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3)当点在直线上移动时，求的最小值．参考答案：（1）依题意，解得（负根舍去）抛物线的方程为；（2）设点,，，由,即得.

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