河南省郑州市荥阳第二中学高三数学理下学期期末试卷含解析

河南省郑州市荥阳第二中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，｛-1，0，1，2，3｝，则=（

）A．｛0，1，2｝

B．｛-1，0，1，2｝

C．{-1，0，2，3}

D．{0，1，2，3}参考答案：A试题分析：由，解得：-1＜x＜3，即M={x|-1＜x＜3}，∵N={-1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故选A．考点：集合间交、并、补的运算2.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为，则(

)A．23

B．32

C．35

D．38参考答案：C3.对于函数，若存在，满足，则称为函数的一个“近零点”．已知函数有四个不同的“近零点”，则的最大值为A．2B．1

C．

D．参考答案：D4.已知集合且，若则A．

B．

C．

D．参考答案：D5.设定义在B上的函数是最小正周期为的偶函数，的导函数，当则方程上的根的个数为

A．2

B．5

C．4

D．8参考答案：C由知，当时，导函数，函数递减，当时，导函数，函数递增。由题意可知函数的草图为，由图象可知方程上的根的个数为为4个，选C.6.在的展开式中，常数项为15，则n=（

）

A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：答案:D7.函数，若则的所有可能值为（A）1

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：C8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）A．

B．

C．1

D．2参考答案：C略9.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x0,1时，f(x)=1-x，则关于x的方程f(x)=()x，在x0,3上解的个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D10.已知向量=（），=（），则-与的夹角为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若不等式的解集为区间,且,则．参考答案：12.已知向量的夹角为120°，且|的值为_______.

参考答案：-8略13.在中，，则的面积为

.参考答案：【知识点】平面向量的数量积及应用；解三角形.F3C8解析：得=,,则=，，则，则=【思路点拨】根据题意，由可求得,以及，由数量积公式可得cosA的值，进而结合同角三角函数基本关系可得sinA，再结合面积公式，可得答案.14.在（﹣4，4）上随机取一个数x，则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7成立”发生的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间（﹣4，4）的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．由不等式|x﹣2|+|x+3|≥7可得x≤﹣3，﹣x+2﹣x﹣3≥7，∴x≤﹣4；﹣3＜x＜2，﹣x+2+x+3≥7，无解；x≥2，x﹣2+x+3≥7，∴x≥3故原不等式的解集为{x|x≤﹣4或x≥3}，∴在（﹣4，4）上随机取一个数x，则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7成立”发生的概率为P==．故答案为．15.若函数f(x)=a|x－b|+2在[0，+∞上为减函数，则实数a、b的取值范围是

.参考答案：答案：a＜0，b≤016.设集合函数则x0取值区间是

.参考答案：因为，所以.所以.所以.由题知,可得，解得.又，所以.17.等差数列{an}中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于．参考答案：180考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，由等差数列的性质可得a1+a20==18，再由前n项和公式求解．解答：解：由a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，得得a1+a20==18所以S20==180故答案为：180点评：本题主要考查等差数列中项性质的推广及前n项和公式．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B＝60°,且，（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若，求a、c．参考答案：解：（Ⅰ）∵B＝60°,,∴ac=8

∴S△ABC=（Ⅱ）∵B＝60°,∴,∴∵,ac=8,∴=20,∴=6∴a=2,=4或a=4,=2

19.设是函数的一个极值点。（1）求与的关系式（用表示），并求的单调递增区间；（2）设,若存在使得成立，求实数的取值范围。参考答案：1),,,;……(3分),令,即解得:,所以的单调递增区间是:；…………(6分)(2)由（1）可得,函数在上单调递增,在上单调递减,,且函数在的值域为,……(8分)又在上单调递增,故在的值域为,…………(10分)若存在使得成立，等价于或，……(13分)又,ks5u于是:,解得:;…………(15分)所以实数的取值范围是:

………………(17分)20.（12分）已知点P是圆F1：（x+1）2+y2=16上任意一点（F1是圆心），点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点．（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点．当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|．参考答案：【考点】：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．【专题】：向量与圆锥曲线．【分析】：（I）先确定F1、F2的坐标，再根据线段PF2的中垂线与与PF1、PF2交于M点，结合椭圆的定义，可得点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，从而可得点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，﹣），不满足条件，当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A1A2|．解：（I）由题意得，F1（﹣1，0），F2（1，0），圆F1的半径为4，且|MF2|=|MP|，从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4＞|F1F2|，…（2分）∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，…（4分）其中长轴2a=4，得到a=2，焦距2c=2，则短半轴b=，椭圆方程为：

…（5分）（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，﹣），又F1（﹣1，0），此时，所以以B1B2为直径的圆不经过F1．不满足条件．…（6分）当直线l不与x轴垂直时，设L：y=k（x﹣1）由即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．设B1（x1，y1），B2（x2，y2），则：x1+x2=，x1x2=，因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以，又F1（﹣1，0）所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0所以解得k2=，…（8分）由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0，设A1（x3，y3），A2（x4，y4），则：x3+x4==2+，x3x4=1所以|A1A2|=x3+x4+p=2++2=．…（12分）【点评】：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在，本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了转化思想，属于中档题．21.某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立。

（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；

（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金