湖北省十堰市均县镇中学高三数学理联考试卷含解析

湖北省十堰市均县镇中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个命题：①若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a?α，b?β，则a，b是异面直线．②若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有且只有一条，且在平面α内．③若直线a，b，平面α，β满足a?α，b?β，且a∥β，b∥α，则α∥β．④若两个平面互相垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，a，b有可能是共面直线；在②中，由直线与平面平行的性质定理得过点P且平行于直线a的直线有且只有一条，且在平面α内；在③中，α与β相交或平行；在④中，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．【解答】解：在①中，若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a?α，b?β，则a，b有可能是共面直线，故①错误；在②中，若直线a∥平面α，P∈α，则由直线与平面平行的性质定理得过点P且平行于直线a的直线有且只有一条，且在平面α内，故②正确；在③中，若直线a，b，平面α，β满足a?α，b?β，且a∥β，b∥α，则α与β相交或平行，故③错误；在④中，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；这一定是正确的，如图中，已知直线A1B，在平面ABCD中，所有与BC平行直线都与它垂直，故④正确．故选：B．2.已知函数下列是关于函数的零点个数的4个判断:①当时，有3个零点；②当时，有2个零点;③当时，有4个零点；④当时，有1个零点.则正确的判断是A.①④

B.②③

C.①②

D.③④参考答案：D当时,图象如下,则由图象可知方程有两个根,设为,易知,方程的解即为

的解.再由图象可知以上两方程各有两个根,故此时原方程有四个根.同理可知的情况.故选D3.如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为(

) A．3 B． C． D．3参考答案：C考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥，画出它的直观图，求出各条棱长即可．解答： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图所示；PA=4，AB=3+2=5，C到AB中点D的距离为CD=3，∴PB===，AC===，BC==，PC===，∴PB最长，长度为．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么．4.已知F为抛物线的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若,则线段AB的中点M到直线的距离为（A）2 （B）4 （C）8 （D）16参考答案：B本题考查抛物线的定义.如图,抛物线的焦点为,准线为,即.分别过作准线的垂线,垂足为,则有.过的中点作准线的垂线,垂足为,则为直角梯形中位线,则,即到准线的距离为4.故选B.5.设F1，F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M（3，）在此双曲线上，且|MF1|与|MF2|的夹角的余弦值为，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用余弦定理求出|MF1||MF2|=9b2，利用点M（3，）在此双曲线上，得到﹣=1，结合向量的数量积公式建立方程关系求出a，c即可得到结论．【解答】解：如图，在△MF1F2中，由余弦定理，|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos∠F1MF2，即4c2=（|MF1|﹣|MF2|）2+2|MF1||MF2|﹣2×|PF1||PF2|=4a2+|MF1||MF2|，则|MF1||MF2|=4c2﹣4a2=4b2，则|MF1||MF2|=9b2，∵?=|MF1||MF2|×=×9b2=7b2，?=（﹣c﹣3，﹣）?（c﹣3，﹣）=﹣（c2﹣9）+2=11﹣c2．∴11﹣c2=7b2，即11﹣a2﹣b2=7b2，则a2=11﹣8b2，∵M（3，）在此双曲线上，∴﹣=1，将a2=11﹣8b2，代入﹣=1得﹣=1，整理得4b4+7b2﹣11=0，即（b2﹣1）（4b2+11）=0，则b2=1，a2=11﹣8b2=11﹣8=3，c2=11﹣7b2=11﹣7=4，则a=，c=2，则离心率e===，故选：A6.

设:x,y满足约束条件,若目标函数的最大值为8,则a+b的最小值为A.2

B.4

C.6

D.8参考答案：B略7.给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即

在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①；②；③；④的定义域是R，值域是.则其中真命题的序号是

（

）A．①②

B．①③

C．②④

D．③④参考答案：B解析：因为故命题1正确8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且，则（

）A． B． C． D．参考答案：B∵，∴，∴，∴，∴，（∵舍去），∴，，故选B.

9.为了得到函数的图像，只需把函数的图像(

)A．向左平移个长度单位

B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位

D．向右平移个长度单位参考答案：A10.若复数为纯虚数，则（）A. B.13 C.10 D.参考答案：A【分析】由题意首先求得实数a的值，然后求解即可。【详解】由复数的运算法则有：,复数为纯虚数，则，即.本题选择A选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆方程为（）,F(-c,0)和F(c,0)分别是椭圆的左

右焦点.①若P是椭圆上的动点,延长到M,使=,则M的轨迹是圆；②若P是椭圆上的动点,则；③以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切；④若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是；⑤点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.以上说法中，正确的有

参考答案：①③④12.如图,某城市中心花园的边界是圆心为O,直径为1千米的圆,花园一侧有一条直线型公路l,花园中间有一条公路AB(AB是圆O的直径),规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA.规划要求:道路PB,QA不穿过花园.已知,(C?D为垂足),测得OC=0.9,BD=1.2(单位:千米).已知修建道路费用为m元/千米.在规划要求下,修建道路总费用的最小值为_____元.参考答案：2.1m【分析】根据几何关系考虑道路不穿过花园，求解最小距离，即可得到最小费用.【详解】如图：过点作直线交于，取与圆的交点，连接，则，过点作直线交于，过点作直线交于，根据图象关系可得，直线上，点左侧的点与连成线段不经过圆内部，点右侧的点与连成的线段不经过圆的内部，最短距离之和即，根据几何关系：，，所以，所以，，所以，最小距离为2.1千米.修建道路总费用的最小值为元.故答案为：【点睛】此题考查与圆相关的几何性质，根据几何性质解决实际问题，需要注意合理地将实际问题抽象成纯几何问题求解.13.已知函数f（x）=，则f（f（4））=．参考答案：﹣7【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数性质求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（4）=﹣log24=﹣2，∴f（f（4））=f（﹣2）=2﹣9=﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14.

已知函数,有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____．参考答案：15.在复平面内，复数对应的点位于第

象限.参考答案：四略16.抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为．参考答案：（1，±2）【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程设P点坐标，分别表示出其到准线方程和到原点的距离，使其相等进而求得a，则P的坐标可得．【解答】解：设点P坐标为（a2，a）依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2a2+2=，求得a=±2∴点P的坐标为（1，±2）故答案为：（1，±2）．【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．17.已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为，，则切线AD的长为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知F为抛物线的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，．(1)求抛物线C的方程；(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．参考答案：（1）因为，在抛物线方程中，令，可得.…2分于是当直线与轴垂直时，，解得.

………3分所以抛物线的方程为.

………………4分（2）因为抛物线的准线方程为，所以.

………5分设直线的方程为，联立消去，得.

设，，则，.

………7分若点满足条件，则，即，

……8分因为点均在抛物线上，所以.代入化简可得，

………10分将，代入，解得.

………11分将代入抛物线方程，可得.于是点为满足题意的点.

………12分19.已知椭圆（1）求证椭圆C1在其上一点A（x0，y0），A处的切线方程为x0x+2y0y﹣2=0．（2）如图，过椭圆C2：上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N，当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0可得A处的切线方程为x0x+2y0y﹣2=0；（2）利用同一法求出过MN的方程为mx+2ny﹣2=0，由点到直线的距离公式求出O到MN所在直线的距离，由距离为定值可得存在定圆恒与直线MN相切．【解答】（1）证明：联立，得．∵△===．∴x0x+2y0y﹣2=0为椭圆在点A（x0，y0）处的切线方程；（2）解：设P（m，n），则椭圆C1在点M（x3，y3）处的切线方程为x3x+2y3y﹣2=0．又PM过点P（m，n），∴x3m+2y3n﹣2=0．同理点N（x4，y4）也满足x4m+2y4n﹣2=0．∴M，N都在直线xm+2yn﹣2=0上，即直线MN的方程为mx+2ny﹣2=0．∴原点0到直线MN的距离d=．∵，∴m2+4n2=8．∴．即直线MN始终与圆相切．20.如图所示，为圆的直径，为圆的切线，为切点.（1）求证：；（2）若圆的半径为1，求的值.参考答案：（1）证明见解析；（2）.考点：1.切线长定理；2.相似三角形.21.设函数，若函数在处的切线方程为．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数在上的最大值．参考答案：(Ⅰ)，

…………1分∵函数在处的切线方程为.∴

…………3分解得

所以实数的值分别为和.

…………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，，

…………6分当时，令，得，

…………7分令，得,

…………8分∴在[，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，

…………9分在处取得极大值这个极大值也是的最大值.…………10分

又，

…………11分所以，函数在上的最大值为.

…………12分22.在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且cos（B+C）=﹣sin2A．（1）求A；（2）设a=7，b=5，求△ABC的面积．参考答案：【考点】HP：正弦定理