新编人教A版高中数学必修5全册教案版本

人教版高中数学必修5

全册教案

目录

1.1.1正弦定理

1.1.2余弦定理

1.1.3解三角形的进一步讨论

1.2.1解三角形应用举例

1.2.4解三角形应用举例

2.1数列的概念与简单表示法

2.2等差数列

2.3等差数列的前n项和

2.4等比数列

2.5等比数列的前n项和

3.1不等关系和不等式

3.2一元二次不等式及其解法

3.3T二元一次不等式（组）与平面区域

3.3-2二元一次不等式（组）与平面区域

3.3-3二元一次不等式（组）与平面区域

3.3-4二元一次不等式（组）与平面区域一简单的线性规划问题

3.4-1基本不等式

3.4-2基本不等式

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1.1.1正弦定理

（一）教学目标

1.知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方

法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2.过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关

系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用

的实践操作。

3.情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情

推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间

的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

（三）学法与教学用具

学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：=「纥接着就一般斜

sin/sin6sinC

三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，

让学生发现向量知识的简捷，新颖。

教学用具：直尺、投影仪、计算器

（四）教学设想

［创设情景］

如图1.1T,固定AABC的边CB及NB,使边AC绕着顶点C转动。/A

思考：ZC的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？\

显然，边AB的长度随着其对角NC的大小的增大而增大。能否才/\

用一个等式把这种关系精确地表示出来？-----------XB

［探索研究］（图1.1-D

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等

式关系。如图1.12,在RtAABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数

的定义，有g=sin4,—=sinS,又sinC=l=£,A

cccK\\

sin/sinbsinC

从而在直角三角形ABC中,

sin/lsinbsinC

（图1.1-2）

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立?

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:

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如图L1-3,当AABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的

定义，有CD二asin夕=Z?sin4贝ijI~~-

sin/sin夕

c_b

同理可得

sinCsinB

ab

从而

sin/sinBsinC

（§11.1-3）

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究

这个问题。

（证法二）：过点A作

由向量的加法可得AB=AC+CB

则j,AB=j.（AC+CB）

:.j.AB=J-AC+j・CB

|J||AB|COS（90°-A）=0+|J||CB|COS（900-C）

csinA=6fsinC,艮|J

si，nA=sinC

同理，过点C作可得

sin/sin/?sinC

类似可推出，当AABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a_b_c

sin4sin6sinC

［理解定理］

(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即

存在正数k使a=Asin/,b=ksinB,c—ksinC；

(2)——=口—=，—等价于——==

sin%sin5sinCsin/sin8sinCsinBsin/sinC

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a="¥；

sin3

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin/=msin8。

b

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

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［例题分析］

例1.在AABC中，已知A=32.0°,8=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

解：根据三角形内角和定理，

C=180°-M+B)

=180°-(32.0°+81.8°)

=66.2°；

根据正弦定理，

76/sinB42.9sin81.8°

n=----------*80.1(。”)；

sinAsin32.0°

根据正弦定理,

=asinC_42.9sin66.2°

C~sinA~sin32.0°®74.\(crri).

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2.在A4BC中，已知。=20cm,〃=28cm,A=40°,解三角形(角度精确到1°,边

长精确到1cm)。

解：根据正弦定理，

.„bsinA28sin40°

sin8=-------»0.8999.

~20~

因为00V5V180°,所以BB64°,或3X116°.

⑴当8*64°时，

C=180°-(A+8)=180°-(40°+64°)=76°,

_asinC_20sin76°

C~sinA一sin40°«30(cm).

(2)当5?16°时,

C=18O°-(A+B)«18Oo-(4O°+l16°)=24°,

_asinC_20sin240

c-sinA-sin40°H13(O%).

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

［随堂练习］第5页练习第1(1)、2(1)题。

例3.已知AABC中，ZA=60°,a=6，求a+8+c

sin/1+sin夕+sinC

分析：可通过设一参数k(k>0)使g=，===j=A,

smAsmBsine

a_bc_a+6+c

证明出

si"sinBsinCsin4+sin8+sinC

b

解：设=k(k>o)

sin力sinBsinC

则有a=4sin/,b=kstxxB,c=ksinC

a+6+c_公行力+人1.11一+公打。

从而=k

sin/+sin8+sinCsin力+sin5+sinC

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又上=^^=2=k,所以——""——

sinJsin60sin/+sin夕+sin。

_____d+6+c

评述：在AABC中，等式昌=—个二——=k(k>0)

sin力sinz>sinesinZ+sin6+sin。

恒成立。

［补充练习］已知△ABC中,sin力：sin夕：sinC=l:2:3,求a:6:c

（答案：1：2：3）

［课堂小结］（由学生归纳总结）

a+b+c

（1）定理的表示形式：［三=——=—、=4（A>0）；

sin/sinnsmcsin/+sin8+sin。

^a=ksir\A,b=ksinB,c=ksinC(A>0)

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

（五）评价设计

①课后思考题：（见例3）在AABC中，「工=」==_£）=4（左>0）,这个k与AABC有

sin力sin£sine

什么关系？

②课时作业：第10页［习题L1］A组第1（1）、2（1）题。

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基本不等式

第一课时

(1)教学目标

(a)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个

正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释

(b)过程与方法：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方

面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理

解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分

析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质

(c)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生

数形结合的想象力

(2)教学重点、难点

教学重点：两个不等式的证明和区别

教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵

(3)学法与教学用具

先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原

出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他

们自主探究，通过类比得到答案

直角板、圆规、投影仪(多媒体教室)

(4)教学设想

1、设置情境

(投影出图3.4T)同学们，这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想，你

能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗？

提问1：我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设

直角三角形的长为“、b,那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

生答：\Ja2+b2,a2+b2

提问2：那4个直角三角形的面积和呢？

生答：2ab

提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等

式，a2+b2>2ab.什么时候这两部分面积相等呢？

生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即。=。时，正方形EFGH变成一个点，这时有

a2+b2=2ab

2、新课讲授

(1)(板书)一般地，对于任意实数a、b,我们有勿心，当且仅当。=匕时，

等号成立。

提问4：你能给出它的证明吗？

(学生尝试证明后口答,老师板书)

证明：a2+b~-lab-(a-h)2,^aH〃时,(a-b)2>0,当a=万时，3—6)2=0,

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所以a2+b2>2ah

注意强调当且仅当a=8时，a2+b2=2ah

(2)特别地,如果。>()力>(),用尚和的分别代替a、b,可得a+bN2新,也可写成

4abW竺幺(a>0,6>0),引导学生利用不等式的性质推导

2

(板书，请学生上台板演)：

要证：空疯3〉()乃〉0)①

2

即证a+b>②

要证②，只要证a+b—>0③

要证③，只要证(-)2>0④

显然，④是成立的，当且仅当a=6时，④的等号成立

(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释

(4)变式练习：

已知x、y都是正数，求证：

①如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值26

②如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值

4

3、课堂练习

课本第113页练习第1题

4、归纳总结

比较两个重要不等式的联系和区别

(5)评价设计

1、课本习题3.4第1题

2、思考题：若x<0,求x+L的最大值

X

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1.1.2余弦定理

（一）教学目标

1.知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定

理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定

理解决两类基本的解三角形问题，

3.情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、

余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

（-）教学重、难点

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

（三）学法与教学用具

学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已

知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易

地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角

教学用具：直尺、投影仪、计算器

（四）教学设想

［创设情景］

如图如1-4,在AABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和NC,求边c

［探索研究］

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

如图1.1一5,设CB=a,CA=b,AB—c,那么c=w—则

|c|=

=a-a+b'b-2a-bCaB

=|c?|4-|/?|-2a-b

从而c~=a2+if-2abcosC（图1.1-5）

同理可证=b2+c2-2bccosA

A2=/+/_2accos8

于是得到以下定理

余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角

的余弦的积的两倍。即a2=b2+c2-2bccosA

bz=az+c2-2accosB

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c2=a2+Z>2-2abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由

三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2+c2-a2

cosA=——------

2bc

q2+c2―/72

cos3=

2ac

b1+c^-c1

-2ba-

［理解定理］

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角

形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若AABC中,C=90°,则8SC=O,这时/=/+〃

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

［例题分析］

例1.在AABC中，已知a=26，c=#+08=60。，求b及A

⑴解：•；

=(26)2+(遥+伪2—226(6+伪cos45°

=12+(遥+◎—4百(0+1)

=8

Ab=2-j2.

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

.b2+c2-a2(2V2)2+(V6+V2)2-(2^)21

⑵解法一:

cos—―2x2V2x(V6+V2)=2,

A=60°.

解法二:VsinA=*in•sin45°,

b272

又,:76+72>2.4+1.4=3.8,

273<2x1.8=3.6,

：.a<c,即。。〈人〈乡。。，

A=60°.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

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例2.在AABC中，已知。=134丘利，b=87&TM,c=161.7cm,解三角形

(可由学生通过阅读进行理解)

解：由余弦定理的推论得：

b+c-矿

COSAA=——---

2bc

222

=87.8+161.7-134.6

2x87.8x161.7

-0.5543,

A«56°20r；

7+/_62

nC

cosB=—

2ca

134.62+161.72-87.82

=~2x134.6x161.7

70.8398,

腔32°53'；

C=1800-(A+B)®180o-(56o20,+32°53,)

=90°47.

［随堂练习］第8页练习第1(1)、2(1)题。

［补充练习］在AABC中,若/=加+02+A，求角A(答案：A=120°)

［课堂小结］

(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

(2)余弦定理的应用范围：①.已知三边求三角；②.已知两边及它们的夹角，求第三边。

(五)评价设计

①课后阅读：课本［探究与发现］

②课时作业：［习题LI］A组第3(1),4(1)题。

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1.1.3解三角形的进一步讨论

（一）教学目标

1.知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无

解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2.过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理,

三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数

的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事

物之间的内在联系。

（二）教学重、难点

重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

（三）学法与教学用具

学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。

教学用具：教学多媒体设备

（四）教学设想

［创设情景］

思考：在^ABC中，己知@=22功，b=25cz»,4=133°,解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）

从此题的分析我们发现，在己知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条

件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

［探索研究］

例1.在AABC中，已知a,6,4,讨论三角形解的情况

分析：先由sin6="也4可进一步求出B；

a

则C=180°—（/+6）

1.当A为钝角或直角时，必须a>6才能有且只有一解；否则无解。

2.当A为锐角时，

如果那么只有一解；

如果a<6,那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若a>6sin/,则有两解；

（2）若a=6sin/,则只有一解；

（3）若a<6sin/,则无解。

（以上解答过程详见课本第910页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且

6sin/<a<6时.，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

［随堂练习1］

（1）在AABC中，已知a=80,6=100,Z/=45°,试判断此三角形的解的情况。

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(2)在AABC中，若a=l,c=1,47=40°,则符合题意的b的值有个。

(3)在AABC中，a=xcm,6=加，N8=45°,如果利用正弦定理解三角形有两解，求

x的取值范围。

(答案：(1)有两解；(2)0；(3)2Vx<2五)

例2.在AABC中，已知a=7,6=5,c=3,判断AABC的类型。

分析：由余弦定理可知

a2=62+c2o4是直角o△ABC是直角三角形

si1>b2+c2/是钝角=AABC是钝鬲三面形

a2<b2+c2力是锐角，'AABC是锐角三角形

(注意：4是锐角与AABC是锐角三角形)

解:72>52+32,即

/.AABC是钝角三角形。

［随堂练习2］

(1)在AABC中，已知sin』：sin中：sinC=l:2:3,判断AABC的类型。

(2)已知AABC满足条件acos/=6cos6,判断AABC的类型。

(答案：(1)AABC是钝角三角形；(2)AABC是等腰或直角三角形)

例3.在AABC中，/=60°,6=1,面积为g,求-----”--------的值

2sinyl+sinZ?+sinc

分析：可利用三角形面积定理S=；加sinC=；acsin4=；Z?csin/以及正弦定理

a_b_c_a-\-b-\-c

sin/sinBsinCsinZ+sin6+sinC

解：由S=；力csin/=得c=2,

则a2=Z?2+c2-2bccosA=3,即a=正，

从而-----廿纪二-----=」—=2

sin/+sin8+sinCsinJ

［随堂练习3］

(1)在AABC中，若a=55,。=16,且此三角形的面积S=2206,求角C

2»22

(2)在AABC中，其三边分别为a、b、c,且三角形的面积S=.'［一0一，求角C

4

(答案:(1)60°或120°；(2)45°)

［课堂小结］

(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形;

(2)三角形各种类型的判定方法；

(3)三角形面积定理的应用。

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(五)评价设计(课时作业)

(1)在AABC中，已知6=4,c=10,6=30°,试判断此三角形的解的情况。

(2)设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。

(3)在AABC中，1=60°,a=l,6+c=2,判断AABC的形状。

(4)三角形的两边分别为3cm,5cm,它们所夹的角的余弦为方程5/-7犬-6=0的根,

求这个三角形的面积。

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解三角形应用举例

第一课时

(1)教学目标

(a)知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际

问题，了解常用的测量相关术语

(b)过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的儿节课做良好铺垫。其

次结合学生的实际情况，采用“提出问题一一引发思考一一探索猜想一一总结规律一一反馈

训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同

时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例

2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点

和矫正

(c)情感与价值：激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、

数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

(2)教学重点、难点

教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的

解

教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图

(3)学法与教学用具

让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识

纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学

好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质

和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。

直角板、投影仪(多媒体教室)

(4)教学设想

1、复习旧知

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、设置情境

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥

不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出

了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度

等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借

助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实

施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理

在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

5、新课讲授

(1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的

条件和所求转换成三角形中的己知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在

所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,ZBAC=51°.ZACB=75°«求A、B两点

的距离(精确到0.Im)

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人数A版高中数学必修5教案

启发提问LAABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条

件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算

出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

解：根据正弦定理，得

AB=4C

sinZACBsinZABC

AB=ACsinZACB

sinZABC

二55sinZACB

sinZABC

-55sin75°

sin(180°-51°-75°)

=55sin75°

sin54°

%65.7(m)

答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30°,

灯塔B在观察站C南偏东60°,则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。

解略：72akm

例2、(动画演示辅助点和辅助线)如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测

量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造

三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可

求出另两边的方法，分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

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人数A版高中数学必修5教案

图1.2-2

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD二a,并且在C、D两点分别测得NBCA二

ZACD=p,NCDB=y,NBDA二S,在AADC和ABDC中，应用正弦定理得

AC=〃sin(7+b)=4sin(y+b)

sin[180°-(/?+/+^)]sin(/7+y+b)

BC=〃si”=asiny

sin[180°-(a+^+/)]sin(a+/7+/)

计算出AC和BC后，再在AABC中，£用余弦定理计算出AB两点间的距离

AB=VAC2+BC2-2.CxBCcosa

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得NBCA=60°,ZACD=30°,ZCDB=45°,

ZBDA=60

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20而

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些

过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选

择最佳的计算方式。

6、学生阅读课本,了解测量中基线的概念,并找到生活中的相应例子。

7、课堂练习

课本练习第1、2题

8、归纳总结

解斜三角形应用题的一般步骤：

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建

立一个解斜三角形的数学模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

(5)评价设计

3、课本第1、2、3题

4、思考题：某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公

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人教A版高中数学必修5教案

路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40°•开始时，汽车到A的距离为31千米,

汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽

车站？

北个

解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在AABC中，AC=31,BC=20,

AB=21,由余弦定理得

AC2+BC2-AB223

cosC=

2AC-BC31

则sin2c=1-cos2C=——,

312

.r_12V3

s1nC---------,

31

所以sinZMAC=sin(120°-C)=sinl200cosC-cosl20°sinC二更也

62

在AMAC中，由正弦定理得

ACsinZMAC31赴4

MC-----------------------------二-x

sinZAMC百62

~T

从而有MB=MC-BC=15

答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。

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人教A版高中数学必修5教案

解三角形应用举例

第四课时

(1)教学目标

(a)知识和技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,

掌握三角形的面积公式的简单推导和应用

(b)过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结

出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学

知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦

定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思

维，有利地进一步突破难点，。

(c)情感与价值：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；

进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验

(2)教学重点、教学难点

教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目

教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题

(3)学法与教学用具

正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及

公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式。同时解有关三角形的题目还要注

意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯。

直角板、投影仪

(4)教学设想

1、设置情境

师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在

△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h〃、％、h,,那么它们如何用己知边和角表

示？

生：ha=bsinC=csinB

h/,=csinA=asinC

hc=asinB=bsinaA

师：根据以前学过的三角形面积公式S='ah,应用以上求出的高的公式如h“=bsinC代入，

2

可以推导出下面的三角形面积公式，S=-absinC,大家能推出其它的几个公式吗？

2

生：同理可得，S=—bcsinA,S=—acsinB

22

师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的

面积呢？

生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解

2、新课讲授

例1、在AABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.Icn^)

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人教A版高中数学必修5教案

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;

(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;

(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，

我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求

出三角形的面积。

解：(1)应用S=,acsinB,得

2

S=-x14.8x23.5xsinl48.5°~90.9(cm2)

2

(2)根据正弦定理，

b-c

sin8sinC

C=bsinC

sinB

S=-bcsinA=-b2sinCsinA

22sinB

A=180°-(B+0=180°-(62.7°+65.8°)=51.5"

1sin65.8sin51.5-

S=-x3.1692x------------：----^4.0(zcm2)

2sin62.7

⑶根据余弦定理的推论，得

Dc2a2-h2

COSD=----+--------

2ca

=38.72+41.42-273

2x38.7x41.4

心0.7697

2

sinBA/1-COS2B忆71-0.7697^0.6384

应用S=,acsinB,得

2

1

S-x41.4x38.7x0,6384^511.4(cm20)

2

例2、如图,在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量

得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？(精确到

0.1cm2)?

师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？

生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。

由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。

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人教A版高中数学必修5教案

解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论,

°c2^a2-b2

cosB=-----------

2ca

222

127+68-88八

---------------------------------------弋0.7532

2x127x68

sinB=Vl-0.75322工0.6578

应用S=—acsinB

2

Sx68x127x0.6578=«2840.38(m2)

2

答：这个区域的面积是2840.38m2。

例3、在AABC中,求证：

,1、a2+b~sin2A+sin2B

(l)----1——=--------；---------；

c"sin"C

(2)(72+/?2+C2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到

用正弦定理来证明

证明：(I)根据正弦定理，可设

。二。二c二k

s\nAsin5sinC

显然kxO,所以

,,,,a2+b2Z:2sin2A+Z:2sin2B

左一边二---：­=------：----：-------

sin2A+sin2B

=右边

sin2C

(2)根据余弦定理的推论,

220

右边二2(bcbf+cc2-b2,a2+b2-c2

+ca-----------------+ab--)---------------

2bc2ah

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左边

变式练习l：已知在AABC中，/B=30°,b=6,c=6g,求a及AABC的面积S

提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。

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答案：a=6,S—9s/3;a=12,S—18y/3

变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状,

(1)acosA=bcosB

.八sinA+sinB

(2)smC=-----------

cosA+cosB

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”

(1)师：大家尝试分别用两个定理进行证明。

生1：(余弦定理)得

b2+c2-a2,c2+a2-b2

ax----------=bx----------

2bclea

.-.c2(«2-h2)=a4-h4^(a2+h2)(a2-b2)

a2=82或=a2+b2

.•・根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：(正弦定理)得

sinAcosA=sinBcosB,

/.sin2A=sin2B,

2A=2B,

A=B

.••根据边的关系易得是等腰三角形

师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，

谁的正确呢？

生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因