（人教A版2019选择性必修第一册） 直线方程

直线方程

一、直线的方程(一)

鼬腥瞬前

媪图

1.直线的点斜式方程

(1)直线的点斜式方程的定义：

设直线/经过一点尸(X。,％),斜率为七则方程y一为=乂》一》。)叫作直线/的点斜式方程.

(2)点斜式方程的使用方法：

①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角a=90。，则直线的斜率不存在，其方程不能用

点斜式表示，但因为/上每一个点的横坐标都等于汨，所以直线方程为户内；若直线的倾斜角

a/90°,则直线的斜率4=tana,直线的方程为y—%=(tana)•(x—x()).

2.直线的斜截式方程

(1)直线的斜截式方程的定义：

设直线/的斜率为匕在y轴上的截距为A则直线方程为产日+力，这个方程叫作直线/

的斜截式方程.

y.

/4(o,m

o*

(3)斜截式方程的使用方法：

已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.

3.直线的两点式方程

(1)直线的两点式方程的定义：

设直线/经过两点B(xj),尸2(9,经)(4外2,凹抄2)，则方程2n=忙至叫作直线I

x

0y2一必2~汨

的两点式方程.

(2)两点式方程的使用方法：

①已知直线上的两个点B(XQI),尸2&,珀，且汨力2,凹抄2时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当X1=X2,K分2时，直线方程为X=X](或X=X2).

③当X|，X2,M=当时，直线方程为y=M(或'=%).

4.直线的截距式方程

(1)直线的截距式方程的定义：

设直线/在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为A且存0,厚0,则方程?+方=1叫作

直线/的截距式方程.

B(0,b)[

A(atO)

~~O*

(2)直线的截距式方程的适用范围：

选用截距式方程的条件是。加，历依，即直线/在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不

能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.

②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为＞=丘，利用直线经

过的点的坐标求解匕得到直线方程.

5.直线的一般式方程

(1)直线的一般式方程的定义：

在平面直角坐标系中，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,

y的二元一次方程Ax+B)，+C=O(其中A,8不同时为0)叫作直线的一般式方程.

对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0),

当理。时，方程Ar+分+C=0可以写成尸-却它表示斜率为-泉在y轴上的截距

为-持的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.

D

当3=0时，方程Ar+3y+C=0可以写成x=-5,它表示垂直于x轴的直线.

(2)一般式方程的使用方法：

直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.

6.辨析直线方程的五种形式

方程形式直线方程局限性选择条件

不能表示与X轴垂①已知斜率；②已知

点斜式y-y<>=A(x-x0)

直的直线一占**»*

不能表示与X轴垂①已知在.V轴上的救

斜板式y=kx+b

直的直线距；②已知斜率

y-%_不能在示与工轴、①已知两个定点；②已

两点式

y2-V.必—X])轴垂直的直线知两个权距

不能表示与X轴

①已知两个截距；②已

xy.垂克、与y轴垂

救距式V+6=，知直线与两条坐标轴

克、过原点的

围成的三角形的面积

直线

求直线方程的最后徘

Ax^By^C-0

一般式表示所有的克线果均可以化为一般式

(AJi不全为0)

方程

(选学)7.方向向量与直线的参数方程

除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程

与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本

质上是一致的.

如图1,设直线/经过点PG。,％),；=(»?,〃)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线/上的任意

一点，则向量而与；共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t,使前=4,即

(x-x0,y-y0所以

(x=xo+mt,

{!;=«>+①

在①中，实数f是对应点P的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线/上的任意一点P（x,y）,存在唯一实数，使①成立；反之，对于参数，的每

一个确定的值，由①可以确定直线/上的一个点P（x,y）.我们把①称为直线的参数方程.

阴岫巨堡窗：»

【题型1直线的点斜式方程】

【方法点拨】

①当直线的斜率存在时，已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用公式

y-%=（tana）＜x-xo）求直线方程.

②若直线的倾斜角a=90。，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，此时直线方程

为x=xi;

【例1】（2021春•眉山期末）过点尸（百，-2次）且倾斜角为135°的直线方程为（）

A.3x—y—4A/3=0B.%—y—A/3=0

C.%+y-V3=0D.%+y+V3=0

【举一反三】

1

【变式1-1]（2020秋•河南期末）过点（-1,3）且斜率为5的直线在光轴上的截距为（）

A.-8cB.-7C.Y7D.-7

22

【变式1-2]（2020秋•石景山区期末）直线/过点P（-1,2）,且倾斜角为45°,则直线I

的方程为（）

A.x->H-1=0B.x-y-l=OC.x-y-3=0D.x-y+3=0

【变式1-3］（2020秋•福建月考）经过点A（8,-2）,斜率为的直线方程为（）

A.x+2y-4=0B.x-2y-12=0C.2x+y-14=0D.x+2y+4=0

【题型2直线的斜截式方程】

【方法点拨】

已知直线的斜率以及直线在j轴上的截距时，可以直接使用公式y=kx+b求直线方程.

【例2】（2021•广东学业考试）倾斜角为45°,在y轴上的截距为2的直线方程是（）

A.x-y+2=0B.x-y-2=0C.尢+y-2=0D.x+y+2=0

【举一反三】

【变式2-1］（2020秋•二道区校级期末）直线/在y轴上的截距为1,且斜率为-2,则直线/

的方程为（）

A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0

【变式2-2］（2020秋•沈阳期末）已知直线的倾斜角为45°,在x轴上的截距为2,则此直线

方程为（）

A.y=-x+2B.y=x-2C.y=x+2D.y=-x-2

【变式2-3］（2020秋•丽水期末）若直线x+2y+l=0的斜率为匕在y轴上的截距为4则（）

A.k=-2,b=—1B./c=—1,b=-1

C.k=-；,b=—1D.k=-2,h=-1

【题型3直线的两点式方程】

【方法点拨】

已知直线上的两个点A（X/J,2（X2,珀，且M抄2时，可以直接使用公式上二"=之』

yi~y\必一

求直线方程.

注：①当即=》2,y抄2时，直线方程为X=M（或》=必）.

②当两抄2,弘=为时，直线方程为y=y（或），=%）.

【例3】（2021春♦昌江区校级期中）经过两点A（-3,2）,8（0,-3）的直线的方程为（）

1155

A.y=—3B.y=-—3C.y=-%—3D.y=--x—3

【举一反三】

【变式3-1］（2020秋•平罗县校级月考）过（1,2）,（5,3）的直线方程是（）

y-2x-14y-2x-1

A.--=----B.---=---

5-13-13-25-1

y—1x—3x—2y—3

C.---=----D.---=---

5-15-35-22-3

【变式3-2］（2020秋•沙坪坝区校级月考）经过点A（2,5）,8（-3,6）的直线在x轴上的

截距为（）

A.2B.-3C.-27D.27

【变式3-3］（2020秋•枣阳市校级期中）已知△ABC三顶点坐标A（1,2）,B（3,6）,C（5,

2）,M为A3中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为（）

A.2x+y-8=0B.2x-y+8=0C.2x+y-12=0D.2x-y-12=0

【题型4直线的截距式方程】

【方法点拨】

1.已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用公式?+方=1求

直线方程.

2.已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为产h,利用直线经

过的点的坐标求解A,得到直线方程.

【例4】（2021春•城关区校级期末）已知直线/在x轴上的截距为3,在y轴上的截距为-2,

则I的方程为（）

A.3x-2y-6=0B.2x-3y+6=0C.2x-3y-6=0D.3x-2y+6=0

【举一反三】

【变式4-1］（2021春•赣州期末）若直线±+［=1过第二、三、四象限，则（）

ab

A.。>0,b>0B.。>0，b<0C.6?<0,b>0D.a<0,b<0

【变式4-2］（2021春•瑶海区月考）已知直线（2a+l）x+y-2a=0在两坐标轴上的截距相等,

则实数a=.

【变式4-3］（2021春•贵溪市校级月考）过点A（4,1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方

程x-4y=0或x+y-5=0.（判断对错）

【题型5直线的一般式方程】

【方法点拨】

1.设所求直线的一般式方程为4x+5/+C=0C4,B不全为0),根据条件，列出方程(组)，解方程

(组)，得

出直线方程.

2.根据条件，选择适当的直线方程形式，设出直线方程，结合条件，进行求解，最后化为直线

的一般式方程.

【例5】(2020春•沈阳期末)若方程(m?-m)元+(2m2+m-3)y+4〃z-2=0表示一条直线，

则实数“满足()

3

A.mWOB.m丰—-

3

C.mWlD.机。-根WO,

【举一反三】

【变式5-1](2020秋•小店区校级期中)对于直线/：ax+ay-^=0(aWO),下列说法不正确

的是()

A.无论。如何变化，直线/的倾斜角的大小不变

B.无论a如何变化，直线/一定不经过第三象限

C.无论a如何变化，直线/必经过第一、二、三象限

D.当。取不同数值时，可得到一组平行直线

【变式5-2](2020秋•未央区校级期末)求满足下列条件的直线的一般式方程：

(1)经过点A(-1,2),且与x轴垂直；

(2)经过两点A(-3,5),8(4,-2).

【变式5-3］（2020秋•岳池县校级月考）已知△ABC的三个顶点分别为A（2,8）,8（-4,0）,

C（0,6）.

（I）求直线BC的一般式方程；

（II）求AC边上的中线所在直线的一般式方程.

【题型6由直线的方向向量求直线方程】

【方法点拨】

根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合直线所过的点，利用点斜式方程的求法即可求出

直线方程.

【例6】（2021•松江区二模）经过点（1,1）,且方向向量为（1,2）的直线方程是（）

A.2x-y-I=0B.2x+y-3=0C.x-2y+l=0D.x+2y-3=0

【举一反三】

【变式6-1］（2021春•浦东新区期中）直线八：（2-a）x+ay+3=0和直线自x-ay-3=0,

若直线/i的法向量恰好是直线/2的方向向量，则实数a的值为（）

A.-2B.1C.-2或1D.0

【变式6-2］（2020秋•海淀区校级期中）已知直线/经过点P（l,2）,且直线/的方向向量为

a=（2,4）,则直线/的斜率为—，直线/的方程为_.

【变式6-3］（2020秋•丰台区期中）已知过点（0,2）的直线/的方向向量为（1,6）,点A

（a,b）在直线/上，则满足条件的一组a,。的值依次为—.

且U腥遏列

一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.（3分）（2020秋•吉安期末）过点（-1,1）且倾斜角为135°的直线方程为（）

A.x-y=0B.x+y=OC.x-y=1D.x+y=l

2.（3分）（2020秋•兴庆区校级期末）若直线/的斜率为-,且不过第一象限，则其方程有

可能是（）

A.3x+4y+7=0B.4x+3y-42=0C.4x+3y+7=0D.3x+4y-42=0

3.（3分）（2020秋•涪城区校级期中）直线2x+y-3=0用斜截式表示，下列表达式中，最合

理的是（）

xy

A.—+-=1B.y=-2x+3

—3

2

17

C.y-3=-2（x-0）D.x=+|

4.（3分）（2020春•和平区期末）经过A（0,2）,B（3,-3）两点的直线方程为（）

A.3x+5y-10=0B.3x+5y+6=0C.5x+3y-6=0D.5x+3y+6=0

5.（3分）（2020春•沐阳县期中）如图所示，已知直线八：y=kx+b,直线8y=bx+k,则它

们的图象可能为（）

6.（3分）（2021•北京模拟）已知直线/过点（1,2）,且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值

相等的直线方程不可以是下列（）选项.

A.2x-y=0B.x+y=3C.x-2y=0D.x-y+l=0

7.（3分）（2020•湖北模拟）过点P（0,1）且以日=（-1,2）为方向向量的直线方程为（）

11

A.y=-2x+lB.y=2x+lC.y=--x+1D.y=-x+1

8.（3分）（2021春•钟祥市校级期末）若直线（2r-3）x+y+6=0不经过第二象限，则t的取

值范围是（)

3333

A.(-,+°°)B.+8)C.(-8,D.(-8,-)

2222

二.多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）

9.（4分）（2020秋•博兴县期中）已知直线/过点P（2,4）,在x轴和y轴上的截距相等，则

直线I的方程可能为（)

A.x->H-2=0B.x+y-6=0C.x=2D.2x-y=0

10.(4分)直线/i：ax-y+b=0,b：bx+y-a=0(a/?W0)的图像可能是()

11.（4分）（2020春•沐阳县期中）下列说法中，正确的有（）

A.过点P（1,2）且在％、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0

B.直线y=3x-2在y轴上的截距为-2

C.直线+1=0的倾斜角为60°

D.过点（5,4）并且倾斜角为90°的直线方程为尤-5=0

12.（4分）已知直线/过点P（-1,1）,且与直线八：2x-y+3=0以及x轴围成一个底边在

x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（）

A.直线/与直线/i的斜率互为相反数B.直线/与直线人的倾斜角互补

C.直线在y轴上的截距为-1D.这样的直线/有两条

三.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

13.（4分）（2020秋•皇姑区校级期中）直线/过点尸（1,3）,且直线/的法向量为（-2,1）,

则直线/的一般式方程为一.

14.（4分）（2021春•玉林期末）已知△ABC三个顶点的直角坐标为分别为A（0,2）,B（4,

0）,C（-1,-1）,则A3边上的中线CM所在的直线方程为.

15.（4分）（2021春•兴庆区校级期末）经过点A（4,2）,且在x轴上的截距等于在y轴上的

截距的3倍的直线/的方程的一般式为—.

16.（4分）（2020秋•金牛区校级月考）若直线x-y+2机=0与两坐标轴围成的三角形面积不

小于8,则实数，”的取值范围为一.

四.解答题(共6小题，满分44分)

17.(6分)(2021春•资阳期末)解答下面两个小题：

(1)直线/经过点8(-2,-1),倾斜角为直线丁=夫的倾斜角的2倍，求/的方程;

(2)直线/经过点B(-2,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求/的方程.

18.(6分)(2020秋•张掖期末)求满足下列条件的直线方程：(要求把直线的方程化为一般式)

(1)经过点A(2,-3),且斜率等于直线丫=的斜率的2倍；

(2)经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍.

19.(8分)(2020秋•安居区期中)已知直线过点A(2,1)和B(6,-2)两点.

(1)求出该直线的直线方程(用点斜式表示)；

(2)将(1)中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在x轴和y轴上的截

距.

20.(8分)(2021春•万载县校级期末)设直线/的方程为(a+1)x+y-3+a=0(oeR).

(1)若/在两坐标轴上的截距相等，求。的值；

(2)若/不经过第三象限，求a的取值范围.

21.(8分)(2020秋•寿光市校级期中)求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点A(2,-3),并且其倾斜角等于直线x—V^y+1=0的倾斜角的2倍的直线

方程.

(2)求经过点A(-2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.

二、直线的方程(二)

mtw蚱崎国面

题里4求与已知直线平行的直线方程题型1求直线方程

1.求直线方程的一般方法

（1）直接法

直线方程形式的选择方法：

①已知一点常选择点斜式；

②已知斜率选择斜截式或点斜式；

③已知在两坐标轴上的截距用截距式；

④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.

（2）待定系数法

先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.

利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.

若已知直线过定点/国,珀，则可以利用直线的点斜式y—M产人（x—X。）求方程，也可以利

用斜截式、

截距式等求解（利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况）.

2.两条直线的位置关系

斜威式一般式

/(=0(♦*00)

方程

/,产+/尸=0(A；+8：-0)

4兄.0（当小仇CO时,记为？%）

相交kt^k3

4A♦"仇=0|当"优'0时.记为*•之=-J

n*I*J0-*

佻-&乩=0,

平行k,-kt且A,

（当”禺“。时.吟皆哈）

A,»AC7(A»*O)

■合&叫且仇叫(.上一A.B.C.\

当时,记为

\.4,02/

3.直线系方程

具有某一种共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程.直线系方程通常只

含有一个独立参数，常见的直线系方程有以下几类：

经过定点匕）（Xa,y0）的it线系片程.为＞-＞o=A（X

定点直线r0）（除直线/=即外），其中A是待定系数;经

系方程过定点心（%,＞。）的直线系方程为A（x-x°）

+8（＞-y0）=0,其中4,8是待定系数

宜线＞=h+6中，当斜率4一定而6变动时，表

平行直线示平行直线系方程.与直线觥+8y+C=0平行

系方程的11线系方程是Ax+8y+八=0（A2C）,我是参

变址

垂直在线与宜线Ax+B）+C=0（A,R不同时为0）垂直的直线

系方程系方程是《x-4y+人=04是参变收

4.直线方程的实际应用

利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存

在，从而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.

朋M作冤颤题的

【题型1求直线方程】

【方法点拨】

1.直接法：根据所给条件，选择合适的直线方程形式，进行求解即可.

2.待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.

【例1】（2021春•瑶海区月考）直线/分别交x轴和y轴于A、B两点，若M（2,1）是线段

45的中点，则直线/的方程为（）

A.2x-y-3=0B.2x+y-5=0C.x+2y-4=0D.x-2y+3=0

【举一反三】

【变式1-1］（2020春•崇川区校级期中）若直线过点（百，-3）和点（0,-4）,则该直线的

方程为（)

A.y=fx-4B.)'=*X+4C.y=V3x-6D.y=*式+2

’3'3'‘3

【变式1-2](2021春•瑶海区月考)直线/i：3x-y+l=0,直线b过点(1,0),且它的倾斜

角是/i的倾斜角的2倍，则直线/2的方程为()

A.y=6x+lB.y=6(x-1)C.y=(x-1)D.y=—(x-1)

4

【变式1-3](2020秋•高安市校级期末)已知直线/经过点P(1,2)倾斜角a的正弦值为『

则I的方程为()

3

A.4x-5y+6=0B.y-2=±-(x-1)

4

C.3x-4y+5=oD.y=±-(x-1)+2

【题型2直线过定点问题】

【方法点拨】

1.直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得到定点的坐标.

2.方程法：将已知的方程中含有参数的项放到一起，整理成关于参数的方程

f[.x,y)+m-g(x,y)=0，若直

线过定点，则(/产7=：其解就是动直线所过定点的坐标.

[g(x,y)=0

【例2】(2020秋•海淀区校级期中)直线依-y+1=3%,当实数攵的取值变化时，所有直线都

通过定点()

A.(3,1)B.(2,1)C.(1,1)D.(0,1)

【举一反三】

【变式2-1】直线/在x轴上，y轴上的截距的倒数之和为常数1%则该直线必过定点()

K

A.(0,0)B.(1,1)C.(鼠k)D.(---)

kk

【变式2-2](2020秋•历下区校级期中)设直线/的方程为(a+1)x+y+\-a=0,则直线/经

过定点―；若直线/在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为—.

【变式2-3](2020秋•武胜县校级月考)已知直线/：kx-y+\+2k=0(髭R).

(1)求证：直线/过定点；

(2)若直线/不经过第四象限，求左的取值范围.

【题型3求与已知直线垂直的直线方程】

【方法点拨】

1.一般地，与直线/x+8y+G=（）垂直的直线方程可设为8x-&+。2=0；过点/（x。,%）与直线

Ax+By+G=0垂直的直线方程可设为8（x—XQ）—A（y—y^—O.

2.利用互相垂直的直线的斜率之间的关系求出斜率，再用点斜式写出直线方程（针对两直线斜

率均存在且不

为零的情况）.

【例3】（2021春•娄星区校级期中）已知直线/经过点P（l,-2）,且与直线2x+3y-1=0

垂直，则/的方程为（）

A.2x+3y+4=0B.2x+3y-8=0C.3x-2y-7=0D.3x-2y-1=0

【举一反三】

【变式3-1］（2021春•贵溪市校级月考）下列直线中与直线/：x+5y-3=0垂直的是（）

A.x-5y=0B.5x-y=0C.5x+y=0D.x+5y=0

【变式3-2］（2021春•达州期末）直线2x-y+l=0和直线4x-2y-1=0的位置关系是（）

A.垂直B.平行

C.重合D.相交但不垂直

【变式3-3］（2021春•焦作期中）已知A（3,1）,B（1,-2）,C（1,1）,则过点C且与线

段A3垂直的直线方程为（）

A.3x+2y-5=0B.3x-2y-1=0C.2x-3y+l=0D.2x+3y-5=0

【题型4求与已知直线平行的直线方程】

【方法点拨】

L一般地，方程4x+8y+G=0中系数A，5决定直线的斜率，因此，与直线4x+绘+G=0平

行的直

线方程可设为6+勿+。2=0（c#c2）,这是常用的解题技巧.

当C2=G时，直线4c+劭+C2=0与4c+坊+G=o重合.

2.一般地，经过点/（x。,加）且与直线/x+8y+G=0平行的直线方程可设为

/（X-Xo）+8（y—%）=（）.

3.利用平行直线的斜率相等求出斜率，再用点斜式求出直线方程.

【例41（2021春•通州区期末）过点（-1,3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（）

A.x-2y-5=0B.x-2y+7=0C.2x+y-1=0D.2x+y-5=0

【举一反三】

【变式4-1］（2021•青羊区校级开学）已知A（3,1）,B（1,-2）,C（1,1）,则过点。且

与线段AB平行的直线方程为（）

A.3x+2y-5=0B.3x-2y-l=0C.2x-3y+l=0D.2x+3y-5=0

【变式4-2］（2020秋•兴庆区校级期末）下列各组中的两条直线平行的有（）

（1）2x+y-11=0,x+3y-18=0

（2）2x-3y-4=0,4x-6y-8=0

（3）3x-4y-7=0,12x-16y-7=0

A.0组B.1组C.2.组D.3组

【变式4-3］（2021春•襄阳期中）若直线小2x-3y+4=0与/2互相平行，且，2过点（2,1）,

则直线/2的方程为（）

A.3x-2y-2=0B.3x-2y+2=0C.2x-3y-1=0D.2x-3y+l=0

【题型5根据两直线平行或垂直求参数】

【方法点拨】

L考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解.

2.已知两直线垂直求解参数时，需要注意斜率是不是零.

［例5］（2021春•城关区校级期末）已知两直线h：（3+a）x+4y=5-4a与h：2x+（5+a）y

=9平行，则。等于（）

A.-7或-1B.7或-1C.-7D.-1

【举一反三】

【变式5-1］（2021春•瑶海区月考）已知点ACm,3）,B（2加，阳+4）,C（m+1,2）,D（1,

0）,且直线A3与直线CO平行，则机的值为（）

A.-1B.0C.1D.0或1

【变式5-2］（2021•浙江开学）已知直线/i：如c-y=l与直线'x-my-1=0相互垂直，则

实数〃2的值是（）

A.0B.1C.-1D.±1

【变式5-3］（2020春•钦州期末）已知两直线/i：ox+3y+4=0和2尤+（a-2）y+a2-5=0.

（1）若/山2,求实数a的值；

（2）若八〃/2,求实数a的值.

【题型6直线方程的实际应用】

【方法点拨】

根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，结合实际条件进行求解，注意

结果要满足实

际情境.

【例6】(2020秋•徐汇区校级期中)为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCOE内修建一

个矩形尸0R。的草坪，其中/4£。=/互＞。=/。。3=90°,点。在4?上，且PQ〃CO,

QRLCD,经测量BC=7O〃2,CD=80m,DE=100〃t,AE=60m.

(1)如图建立直角坐标系，求线段A8所在直线的方程；

(2)在(1)的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并

求出此最大面积(精确到1疗)

【举一反三】

【变式6-1](2020•封开县校级模拟)如图，在平行四边形0ABe中，点C(1,3).

(1)求OC所在直线的斜率;

(2)过点。作于点D,求CD所在直线的方程.

【变式6-2](2021春•达州期末)图1是台球赛实战的一个截图.白球在A点处击中一球后，

直线到达台球桌内侧边沿点反弹后直线到达台球桌内侧另一边沿点C,再次反弹后直线

击中桌面上点D处一球.以台球桌面内侧边沿所在直线为坐标轴建立如图2所示的平面直

角坐标系.已知A(1,1),B(0.4,0).

图1图2

(1)求直线A3的方程;

(2)若点。的坐标是(右，奇，求科(提示：直线A3与直线8c的斜率互为相反数，DC

//AB.)

【变式6-3](2020春•惠州期末)teR,且正(0,10),由，确定两个任意点尸(n/),Q(10

-1,0).

(1)直线尸Q是否能通过下面的点M(6,1),点N(4,5)；

(2)在△OPQ内作内接正方形ABCD,顶点A、8在边。。上，顶点。在边PQ上，顶点

。在边OP上.

①求证：顶点C一定在直线>=聂上.

②求下图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A、8、C、。的坐标.

冽

一.选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.（3分）（2020秋•林芝县校级期末）过点Pi（3,-1）与尸2（-2,1）的直线的斜截式方

程为（）

「

A*.y=—2x+,—1B.y=——2x+,1C„.y=—-2%—1—1Dc.y=-2x——11

2.（3分）（2021春•遵义期末）直线or+（a+1）y+a-1=0过定点（）

A.（2,1）B.（2,-3）C.（-2,1）D.（-2,3）

3.（3分）（2021春•贵溪市校级月考）下列直线中与直线/：x+5y-3=0垂直的是（）

A.x-5y=0B.5x-y=0C.5x+y=0D.x+5y=0

4.（3分）（2021•湖南学业考试）过点P（2,1）与直线2x-y+l=0平行的直线的方程是（）

A.lx-y-3=0B.x+2y-4=0C.lx-y-5=0D.2x+y-5=0

5.（3分）（2020秋•山东月考）已知△ABC三个顶点分别为A（1,3）,B（4,1）,C（5,5）,

则边上的高AO所在的直线方程为（）

A.x+4y-13=0B.4x-y-1=0C.x+4y-8=0D.4x-y-15=0

6.(3分)(2021•全国HI卷模拟)已知直线八：/r+y-2=0与直线8x-(2a+3)y+l=0垂

直，则”=()

A.3B.1或-3C.-1D.3或-1

7.（3分）（2021春•青浦区期末）已知直线小xsina+y=0与直线〃：3x+y+c=0,则下列结论

中正确的是（）

A.直线/i与直线/2可能重合

B.直线人与直线办可能垂直

C.直线八与直线/2可能平行

D.存在直线上一点产，直线/1绕点P旋转后可与直线/2重合

8.（3分）（2021春•东莞市期末）已知A（l,-1）,B（2,2）,C（3,0）,若点。满足CO

1AB,且CB//AD,则点D的坐标是（）

A.（1,0）B.（-1,0）C.（0,-1）D.（0