(状元之路)函数的图像及其变换

第四节函数的图像及其变换考点精讲1．列表描点法其根本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最高点、最低点、与坐标轴的交点)；再次：描点；最后：连线．2．图像变换法(1)平移变换：①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图像，可由y＝f(x)的图像向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图像，可由y＝f(x)的图像向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．(2)对称变换：①y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于x轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．⑤要得到y＝|f(x)|的图像，可将y＝f(x)的图像在x轴下方的局部以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余局部不变．⑥要得到y＝f(|x|)的图像，可将y＝f(x)，x≥0的局部作出，再利用偶函数的图像关于y轴的对称性，作出x＜0的图像．(3)伸缩变换：①y＝Af(x)(A＞0)的图像，可将y＝f(x)图像上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．②y＝f(ax)(a＞0)的图像，可将y＝f(x)图像上所有点的横坐标变为

倍，纵坐标不变而得到．考点精练1．函数f(x)＝ln|x－1|的图像大致是(

)解析：函数f(x)＝ln|x－1|的图像是由函数g(x)＝ln|x|的图像向右平移1个单位得到的，应选B.答案：B答案：D

答案：C4．设函数y＝f(x)的定义域为R，那么函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于()A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称解析：方法一：设(x1，y1)是y＝f(x－1)图像上任意一点，那么y1＝f(x1－1)，而f(x1－1)＝f[1－(2－x1)]，说明点(2－x1，y1)－定是函数y＝f(1－x)图像上的一点，而点(x1，y1)与点(2－x1，y1)关于直线x＝1对称，所以y＝f(x－1)的图像与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对称，所以选D.方法二：函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称，y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]．把y＝f(x)与y＝f(－x)的图像同时都向右平移1个单位长度，就得到y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像，对称轴y轴向右平移1个单位长度得直线x＝1，应选D.方法三(特殊值法)：设f(x)＝x2，那么f(x－1)＝(x－1)2，f(1－x)＝(x－1)2，由图可知(两图像重合)，函数f(x－1)和f(1－x)的图像关于直线x＝1对称，只有D正确.答案：D5．把函数y＝log2(－2x＋3)的图像向左平移1个单位长度得到函数__________的图像．解析：由题意，得所求函数解析式为y＝log2[－2(x＋1)＋3]＝log2(－2x＋1).

答案：y＝log2(－2x＋1)(3)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图像完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图像关于y轴对称，如图③.(4)首先作出y＝log2x的图像c1，然后将c1向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图像c2，再把c2在x轴下方的图像作关于x轴对称的图像，即为所求函数y＝|log2(x＋1)|图像c3.如图④(实线局部)．解后反思：所给函数为非根本初等函数，因此要利用根本函数的图像进行变换作图，首先应将原函数式变形．题型二知式选图或知图选式问题例2(2011·合肥模拟)(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图像大致为(

)答案：(1)A

(2)C解后反思：对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：①定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．②定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．③函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关的函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．(2)由题意，有C：y＝lg(x＋1)－2.因为C1与C关于原点对称，所以C1：y＝－lg(－x＋1)＋2.因为C2与C1关于直线y＝x对称(即两函数互为反函数)，故C2：y＝1－102－x(x∈R)．解后反思：(1)化为同底数；(2)翻折、平移；(3)平移、对称、反函数；(4)平移、伸缩．题型四函数图像的应用例4函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求m的取值范围，使得方程f(x)＝mx有四个不等实根．解后反思：①函数图像形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图像研究函数的性质；②有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系来解；③方程解的个数常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来求解．失误防范1．作函数的图像时，一定要注意图像的平滑性和对称性．2．函数图像的左、右平移变换，函数的解析式中x的系数必须为1，这样才能正确找到平移量．当x的系数不是1时，必须通过提取x的系数才能实现左、右平移．随堂反响1．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像分别如图①②所示．那么函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是()解析：从f(x)、g(x)图像可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B.又x＜0时g(x)为增函数且为正值，f(x)也是增函数，故f(x)·g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正负，注意到x→0－(从小于0趋向于0)，f(x)·g(x)→＋∞，也可排除C、D.

答案：A答案：C解析：按图像逐个分析，注意x、y的取值范围.

答案：④②①③4．假设x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，那么a的取值范围是__________．解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax.要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x