2021春《19.2.1-第1课时-正比例函数》教学设计

人教版八下19.2.1正比例函数（第1课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用函数是研究运动变化规律的基本模型．一次函数是最简单的函数模型之一，正比例函数是一次函数的特殊情况，它是初中阶段接触到的第一种函数．本节课由实际问题列出函数解析式，概括函数解析式的共同特征，从而抽象出正比例函数的概念，为后续学习一次函数起示范作用．概念解析一般地，形如符合y＝kx(k是常数,k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．正比例函数的解析式是常数与自变量的积的形式，它刻画了变化率恒定的模型（如匀速直线运动）．思想方法从大量具体问题的解析式中，发现共性，抽象出正比例函数的概念，体现了从具体到抽象，特殊到一般的过程，也蕴含建模的思想．研究正比例函数的一般方法为后续研究其它函数提供了方法．知识类型正比例函数的概念属于概念性知识．由知识类型决定，对于概念性知识需要通过丰富的实例归纳共性．教学重点正比例函数的概念教学目标解析教学目标能分析实际问题中的数量关系，识别两个变量具有正比例关系，并列出正比例函数的解析式.目标解析能从具体事例中，识别两个变量的对应关系是正比例关系.通过归纳函数解析式的共同特征，抽象出正比例函数的概念；能判断一个函数是否为正比例函数．教学问题诊断分析具备的基础正比例函数是在学习了函数的概念与函数的图象之后学习的第一种具体函数模型，学生已能够判断两个变量是否存在函数关系．在第二学段（小学）学生学习了正比例关系，知道两个量成正比例的条件是它们的比始终是一个固定不变的量(常量)，经历了通过列表探索成正比例关系的两个量之间的关系，通过方格纸画过成正比例关系的两个量之间关系的图象的过程．学生对匀速直线运动模型中的数量关系也并不陌生，为本节课的学习打下基础．与本课目标的差距分析识别两个变量具有正比例关系，并列出正比例函数的解析式，需要学生有一定的抽象归纳能力，只有精准掌握正比例函数概念才能正确区分．存在的问题正比例函数是学生第一次系统地学习一类具体的函数，对从具体实例中抽象出某类函数的概念缺乏经验，可能存在困难．应对策略对正比例函数概念的学习,要加强对正比例函数基本特征的认识,即根据实际问题构建的函数模型中,函数和自变量每一对对应值的比值是一定的,等于比例系数,反映在函数解析式上,这些解析式都是常数与自变量的积的形式,这是正比例函数的基本特征.通过不同类型的实际问题的分析，从中归纳共性，抽象出常量与变量的概念．教学难点正比例函数概念的获得和应用．教学支持条件分析正比例函数概念需要通过从实际背景中归纳，可以运用Excel、Geogebra、图形计算器中的电子表格功能，分析实际整合中的数量关系.通过图形直观表示两者间的关系，帮助学生通过生活中的实例，结合数据的变化理解正比例函数的概念.教学过程设计课前检测1.

函数y=4x，y=﹣7x，y=x的共同特点是（）A.

图象位于同样的象限B.

y随x增大而减小C.

y随x增大而增大D.

图象都过原点2.

三角形的底边长为6，该底上的高为x，则三角形的面积S与x之间的函数关系式为__________.3.

若每上6个台阶就升高1米,则上升高度h(米)与上的台阶数m(个)之间的函数解析式是（）A.

h=6mB.

h=6+mC.

h=m-6D.

h=4.

某型号汽油的数量与相应金额的关系如图，那么这种汽油的单价是每升________元．5.

△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高从小到大改变时，△ABC的面积也随之变化.（1）写出△ABC的面积y(cm2)与BC边上高x(cm)的函数解析式，这个函数有什么特点？（2）列表格表示当x由5cm变到15cm时(每次增加1cm)，y的相应值；（3）观察表格，请回答：当x每增加1cm时，面积y如何变化？设计意图：通过本组课前检测，主要检查学生对于函数概念的掌握．本组课前检测所涉及的问题都是与正比例函数有关，为本节课引出正比例函数的概念做铺垫．正比例函数的表述比较抽象，通过具体例子过渡，能够帮助学生克服难点，渗透函数刻画物体运动变化的模型作用．新课学习（一）梳理旧知,引出新课我们已经学习了关于函数的最基础的知识，知道了变量与函数、函数的图象及函数的三种表示方法．从这节课开始，我们将重点研究一种最基本的具体函数——一次函数，本节课先研究特殊的一次函数——正比例函数.问题1：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km．设列车的平均速度为300km/h．考虑以下问题：(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站上海虹桥站,约需多少小时(结果保留小数点后一位)？(2)京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？(3)乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后,是否已经过了距始发站1100km的南京南站？师生互动设计：教师引导学生分析问题中的数量关系，这是典型的行程问题，数量关系是学生熟悉的“路程=速度×时间”．设计意图：让学生真切感受数学与实际的联系，即数学理论来源于实际又服务于实际．帮助学生逐步提高将实际问题抽象为函数模型的能力，初步体会函数建模思想．追问1：在京沪高速铁路上以平均速度300km/h运行的列车，其运行时间在什么范围内？设计意图：由于自变量t是列车运行时间，作为实际问题，自变量的取值是受限制的，应对其取值范围作出说明．追问2：这个问题中两个变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，试说明理由．设计意图：让学生感受量与量之间的函数关系，体会函数关系蕴涵在实际问题中．学生说明理由可能有障碍，此时教师要引导学生回顾函数概念的学习过程，用函数的概念来回答：问题中的两个变量，当其中的变量t变化时，另一个变量y随着t的变化而变化，并且对于变量t的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应．追问3：请你写出y与t之间的函数解析式．对于自变量t和函数y的每一对对应值，y与t的比值是多少？这个比值会发生变化吗？师生互动设计：追问3学生独立完成写出解析式，观察解析式的结构形式后发表意见与同学交流；分别取不同的对应值，求出比值后先小组内统一意见，然后全班交流．设计意图：学生初步感知正比例函数解析式的结构形式为：左边是表示函数的字母，右边是常数(量)与自变量的积的形式．正比例函数的基本特征是：对于自变量和函数的每一对对应值，函数值与自变量的比值是一定的，都等于比例常数．问题2：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．（1）圆的周长l随半径r的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m(单位：g)随它的体积V(单位：cm3)的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm，练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随练习本的本数n变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体,使它每分下降2℃，物体的温度T(单位：℃)随冷冻时间t(单位：min)的变化而变化．师生互动设计：学生独立写出函数解析式，教师课堂巡视，并进行个别指导．设计意图：让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系，体会并运用函数建模思想，提高将实际问题抽象为函数模型的能力．（二）观察概括,形成概念（1）l=2πr；（2）m=7.8V；（3）h=0.5n；（4）T=－2t；（5）y=300t.问题3：认真观察以上出现的五个函数解析式,说说这些函数解析式有哪些共同特征．师生互动设计：对5个解析式从结构形式上分析它们的共同特征，学生先思考，与小组内同学交流意见；教师参与讨论并组织交流．设计意图：通过分析实际问题中的数量关系，抽象出对应的函数模型观察比较，找出它们具有的共同特征，归纳抽象出正比例函数的概念．归纳得出：上述两个问题中的函数解析式都是常数与自变量的积的形式．一般地，形如y＝kx（常数k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．（三）辨别概念问题4：下列式子中,哪些表示y是x的正比例函数？(1)y=-0.1x；(2)；(3)y=2x2；(4)；(5)；(6)y=-3(x+1)；(7)y=2(x-x2)+2x2归纳：判定一个函数是否是正比例函数，要从化简后来判断！追问4：如果y是x的正比例函数，请你说出其中的比例系数．师生互动设计：判断两个变量是否是正比例函数关系，要回归到定义．这种学习方法是学生学习数学所必需掌握的．设计意图：引导学生根据概念辨析正比例函数概念，通过练习巩固概念．【测评1】(1)如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=__________．(2)如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_________．设计意图：检测目标(1)是否达成．若测评不合格，则讲解测评1，完成后再测(测评2)．【测评2】如果y=3xm+n-4，是y关于x的正比例函数，则m=_________；n=_________．深化认知归纳总结（四）辨析应用，深化认知问题5：列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．(1)正方形的边长为x

cm，周长为y

cm.(2)某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元．(3)一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为x

cm

，体积为y

cm3.师生互动设计：教师提出问题，学生思考、讨论后交流，教师予以激励性评价．追问5:在(3)中，此长方体高为6cm，则该正方体的体积是多少？若该正方体的体积是是36

cm3，则该长方体的高是多少？设计意图：学生能够从实际问题中根据已知条件抽象出函数模型并辨析其是否是正比例函数．进一步体会正比例函数解析式的特征，函数与自变量的对应关系.【测评3】1．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（）A．正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系C．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米2．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）A．正方形的面积S随着边长x的变化而变化B．正方形的周长C随着边长x的变化而变化C．水箱有水10L，以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（L）随着放水时间t（min）的变化而变化D．面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化设计意图：检测目标(1)是否达成．若测评不合格，则讲解测评1．（五）概念深化,灵活运用问题6：（1）已知正比例函数y=kx，当x=3时，y=-15，求k的值．（2）已知y关于x成正比例函数，当x=3时，y=-9，则y与x的关系式为_______．（3）已知y与x－1成正比例，x=8时，y=6，写出y与x之间函数关系式，求出x=4时y的值．（4）已知y-3与x成正比例，x=8时，y=6，求y与x之间函数关系式．追问5：（3）（4）的中y是关于x的正比例函数吗？师生互动设计：同学独立思考完成，小组交流呈现．教师通过回顾对照正比例函数的形式和特点，引导学生完成填空，确定k的取值和函数关系式.设计意图：进一步帮助学生巩固正比例函数的概念和解析式的特点，明确正比例函数的函数值与相应的自变量的比值是定值，同时为后面的待定系数法做了一定的铺垫.归纳总结（六）总结梳理教师引导学生带着下列问题回顾总结课堂学习收获：1.

本节课我们学习了哪一种函数？这种函数的解析式有什么特点？2.

正比例函数的函数值与相应的自变量的比值有什么特点？3.

怎样判断一个函数是否是正比例函数？请例举生活中满足正比例函数关系的实例．4.

实际背景下，正比例函数中的自变量可以取任意数值吗?设计意图：通过学生小结,梳理本节课所学内容,进一步巩固正比例函数的概念,回顾正比例函数概念发生发展的过程.目标检测设计一、选择题1.

下列关系中的两个量成正比例的是（）A．从甲地到乙地，所用的时间和速度B．正方形的面积与边长C．买同种作业本所要的钱数和作业本的数量D．人的体重与身高2.

若y=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（）A．0B．﹣2C．2D．﹣0.53.

下列式