高中数学人教A版选修21课时跟踪检测（一）命题

课时跟踪检测（一）命题层级一学业水平达标1．下列语句不是命题的有()①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<4；④函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数．A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：选C①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．2．下列命题是真命题的是()A．所有质数都是奇数B．若eq\r(a)>eq\r(b)，则a>bC．对任意的x∈N，都有x3>x2成立D．方程x2＋x＋2＝0有实根解析：选B选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错；因为当x＝0时x3>x2不成立；选项D错，因为Δ＝12－8＝－7<0，所以方程x2＋x＋2＝0无实根．3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交解析：选D由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：选C方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．5．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的eq\f(1,2)，则其体积缩小到原来的eq\f(1,8)；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝eq\f(1,2)相切．其中真命题的序号为()A．①②③ B．①②C．①③ D．②③解析：选C对于命题①，设球的半径为R，则eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3＝eq\f(1,8)·eq\f(4,3)πR3，故体积缩小到原来的eq\f(1,8)，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x2＋y2＝eq\f(1,2)的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．6．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；④是真命题；⑤祈使句，不是命题．答案：②③④④7．给出下面三个命题：①函数y＝tanx在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③若a>b>1，则0<logab<1.其中是真命题的是________．(填序号)解析：①是假命题，反例：x＝2π＋eq\f(π,6)和x＝eq\f(π,4)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3)，taneq\f(π,4)＝1,2π＋eq\f(π,6)>eq\f(π,4)，但tan2π＋eq\f(π,6)<taneq\f(π,4).②是假命题，反例：y＝eq\f(1,x)是奇函数，但其图象不过原点．③是真命题，由对数函数的图象及单调性可知是真命题．答案：③8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，∴ax2－2ax－3≤0恒成立．当a＝0时，－3≤0恒成立；当a≠0时，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝4a2＋12a≤0，))解得－3≤a<0.综上，－3≤a≤0.答案：[－3,0]9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．10．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B 构造的命题“若p，则q”为真命题．解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>eq\f(1＋a,5)，则x>1”．由命题为真命题可知eq\f(1＋a,5)≥1，解得a≥4；若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>eq\f(1＋a,5)”．由命题为真命题可知eq\f(1＋a,5)≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>eq\f(2,5)”．层级二应试能力达标1．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一平面的两条直线平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：选DA中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时，两平行直线的平行投影不重合．B中两直线也可以相交或异面．C中两平面可以相交．D正确．故选D.2．下面的命题中是真命题的是()A．y＝sin2x的最小正周期为2πB．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则eq\f(c,a)>0C．如果M⊆N，那么M∪N＝MD．在△ABC中，若·>0，则B为锐角解析：选By＝sin2x＝eq\f(1－cos2x,2)，T＝eq\f(2π,2)＝π，故A为假命题；当M⊆N时，M∪N＝N，故C为假命题；在三角形ABC中，当·>0时，向量与的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题．故选B.3．下列命题为真命题的是()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则eq\r(x)＝eq\r(y)D．若x<y，则x2<y2解析：选A很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．故选A.4．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形解析：选C命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C.5．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”条件p：________，结论q：________________________________.它是____________命题(填“真”或“假”)．解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域(包括边界)，∴命题为真命题．答案：a>0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)真6．定义“正对数”：ln＋x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0<x<1，,lnx，x≥1.))现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；③若a>0，b>0，则ln＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))≥ln＋a－ln＋b；④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)解析：对于①，当a≥1时，ab≥1，则ln＋(ab)＝lnab＝blna＝bln＋a；当0<a<1时，0<ab<1，则ln＋(ab)＝0，bln＋a＝0，即ln＋(ab)＝bln＋a，故①为真命题．同理讨论a，b在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题．对于②，可取特殊值a＝e，b＝eq\f(1,e)，则ln＋(ab)＝0，ln＋a＋ln＋b＝1＋0＝1，故②为假命题．综上可知，真命题有①③④.答案：①③④7．已知p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．解：若命题p为真命题，由x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥m，可知m≤1；若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.命题p和q中有且只有一个是真命题，则p真q假或p假q真，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤1，,m≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1，,m<2，))所以1<m<2.故实数m的取值范围是(1,2)．8．试探究命题“方程ax2＋bx