chp3-两自由度系统的振动-1(振动微分方程的建立)

机械工程学院机械装备与控制工程系绪论单自由度线性系统的振动两自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动连续体振动工程振动及应用《振动理论及应用》讲授内容第3章两自由度系统的振动在工程实际中，有许多振动问题是非常复杂的，无法用单自由度的模型和方法进行分析，需要简化成多自由度系统才能反映实际问题的物理本质。两自由度系统是多自由度系统最简单的特例，与单自由度相比较，具有一些新的概念，需要新的分析方法；而从两自由度到更多自由度系统，则主要是量的扩充，在问题的表述、求解方法及振动特性上没有本质的区别。TheoryofVibrationwithApplications

第3章两自由度系统的振动3.1振动微分方程的建立

3.2自由振动的求解

3.3拍振

3.4坐标耦联与主坐标

3.5强迫振动的求解3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)例3-1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力,不计摩擦和其他形式的阻尼.试建立系统的振动微分方程。3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)解：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x23.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动解：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2建立方程：矩阵形式：坐标间的耦合项

3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动例3-2：双转盘系统扭转振动微分方程的建立。两圆盘转动惯量轴的三个段的扭转刚度外力矩3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动解：受力分析：3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动解：建立方程：矩阵形式：坐标间的耦合项

3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同。

如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。例3-1：例3-2：3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动例3-3：梁的弯曲振动微分方程的建立x1x2l/3l/3l/3m1m2P1P23.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动解：m1

位移：m2位移：时（1）f11f21P1=1时（2）m1

位移：m2位移：f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2

同时作用（3）m1

位移：m2位移：3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动解：由材料力学可知当B点作用有单位力时，A点的挠度为：

labABP=1柔度影响系数3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动解：柔度矩阵3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动例3-4：试建立如图所示系统的振动微分方程。（摆长

l，无质量，微摆动）xMk/2k/2l3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动Lagrange方程式中：L为Lagrange函数，它是系统动能T和势能V之差，L=T-V

。而和(i=1,2,…,n)是系统的广义坐标和广义速度；是耗散函数，其中cij为系统在广义坐标qj方向有单位广义速度时，在广义坐标qi方向产生的阻尼力；Qi是在广义坐标方向qi的广义力，，其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。和分别是对广义坐标和对广义速度求偏导数，是对时间求一次导数。拉格朗日方程利用广义坐标来描述非自由质点系的运动，这组方程以系统的动能、势能、耗散函数和广义力的形式出现，具有以下形式：3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动解：xMk/2k/2l建立广义坐标x和θ，坐标x的原点在系统静平衡位置，方向向右为正。θ为摆杆转角，逆时针方向为正，摆杆处于铅垂位置时θ为零。系统静平衡时势能为零。

质量M的速度：质量m的速度：

3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动解：系统的动能:系统的势能:Lagrange函数:

对广义坐标分别运用lagrange方程得

3.1振动微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章两自由度系统的振动解：当θ很小时，有4.1微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第4章两自由度线性系统的振动

牛顿第二运动定律m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)4.1微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第4章两自由度线性系统的振动柔度影响系数法x1x2l/3l/3l/3m1m2P1P2xMk/2k/2l4.1微分方程的建立TheoryofVibrationwith