《充分条件和必要条件》教学设计【高中数学人教A版必修第一册教案】

充分条件和必要条件

♦教学目标

1.通过研究实例抽象出充分条件与必要条件的概念，能利用充分条件与必要条件对具

体的例子进行分析和表述，在这个过程中提升数学抽象素养.

2.通过探索充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系，进一步理解充分条件、

必要条件，能进行充分条件、必要条件的判断与应用，在这个过程提升逻辑推理、直观想象

和数学运算素养.

♦教学重难点

教学重点：充分条件、必要条件的意义；

教学难点：必要条件的意义.

♦课前准备

PPT课件

♦教学过程

（-）整体概览

问题1：阅读课本第17页第一段（见下图），回答下列问题：

1.4充分条件与必要条件

在初中,我们已经对命题行「初步的认识.一般地.

我打I把用语苕、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述

句叫做命期.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句

是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若学g”

••如果。•那么＜/”等形式.其中。称为命题的条件.q称

为命题的结论.本"主要讨论这种形式的命题.下面我们

将进一步考察则＜7”形式的命即中〃和的关系.

学习数学中的三个常用的逻辑用语充分条件、必要•条

件和充要条件.

（1）本节将要研究哪些内容？

（2）本节要研究的对象在高中数学中的地位是怎样的？

（3）并试着依据一个新概念的学习过程，给出你的研究思路与方法.

师生活动：学生独立思考，回答问题，生生、师生之间互相订正和补充.

预设的答案：对于问题1(1),学生应该能够完整地回答出：本节将要研究“若P,则

q”形式的命题中p和q的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条

件和充要条件.

对于问题1(2)和(3)估计学生会感到棘手.由教师讲解.

(2)三个常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻

辑思维的基本语言.

(3)新概念的学习过程：

具体实例一定义一表示一辨析一应用

猜想：

具体实例——什么是充分条件、必要条件和充要条件？—如何表示？—如何判断？

——如何应用？

设计意图：通过阅读，首先让学生对本节的研究内容、研究过程有个概览，提高学生学

习的系统性；明确三种常用逻辑用语学习的必要性；通过类比所学知识，猜想新知识的研究

思路和过程，有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力.

(二)问题导入

问题2：在初中，我们学习过命题，什么是命题？什么是真命题和假命题？你能举一些

例子吗？并试着将你的例子改写成“若p,则的形式.

师生活动：根据学生列举的例子，教师和学生一起回顾初中学习的命题的相关知识：命

题的概念、命题真假及其判断等，并引导学生关注到本节主要讨论的命题形式是：“若p,

则q”，通过改写列举的命题，认识条件和结论.

设计意图：复习初中学过的关于命题、真命题、假命题的概念，认识命题的条件和结论，

为后续学习做好铺垫.

引语：本节我们主要讨论“若p,则q”这种形式的命题，并进一步考察命题中p和q

的关系，学习数学中的一些常用的逻辑用语.

(三)新知探究

1.形成概念

问题3：下列“若0,则g”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？

(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

(3)若x?—4x+3=0,则x=l；

(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线/,则a//6.

师生活动：学生判断命题(1)—(4)的真假，并得到命题(1)(4)为真命题，命题

(2)(3)为假命题.教师追问，引导学生将具体结论一般化.

追问1：关于命题（1）和命题（4）,由条件p通过推理可以得到结论q,所以它们是

真命题.对于一般的“若p,则形式的命题，如果由p通过推理可以得到q,那么这个命题

为真命题吗？反过来，如果这个命题是真命题，那么由p通过推理一定可以得到q吗？

追问2：关于命题（2）和命题（3）,由条件p通过推理不能得到结论必所以它们是

假命题.对于一般的“若0,则必形式的命题，如果由p通过推理不能得到q,那么这个命题

为假命题吗？反过来，如果这个命题是假命题，那么由p通过推理一定不能得到q吗？

教师引导学生梳理讨论的结果，由教师讲解或者学生阅读课本获得定义：

一般地，“若p,则为真命题，就是指由p通过推理可以得到这时，我们就说，

由〃可以推出q,记作并且说，p是g的充分条件（sufficientcondition）,q是p

的必要条件（necessarycondition）.

如果“若"，则q"为假命题，那么由条件P不能推出结论q,记作P4q.此时，我

们就说p不是q的充分条件，q不是0的必要条件.

设计意图：从学生熟悉的命题出发，在判断“若p,则q”形式命题真假的基础上，明

确“命题的真假”与“由p推出q”的关系，从而形成充分条件和必要条件的定义.

3.辨析概念

问题4：根据定义，在上述命题（1）—（4）中，p是否为g的充分条件？g是否为p的

必要条件？为什么？

师生活动：学生可以解决这个问题.答案略.

追问1：判断p是否为q的充分条件，q是否为p的必要条件的依据和方法是什么？

师生活动：学生独立思考，展示交流，给出总结及解释.

预设的答案：判断充分（必要）条件的依据是：充分条件和必要条件的定义.

具体方法是：命题法：判断命题“若0,则的真假.

设计意图：利用定义解决问题，形成方法.

追问2：对于命题（1）满足pnq,那么若q不成立，p成立吗？请你解释.对于命

题（4）呢？一般地，当pnq时，那么若q不成立，p成立吗？你能据此说明为什么此时

称4为p的必要条件？

师生活动：学生独立思考，展示交流.

预设的答案：0是4的充分条件，即p成立足够推出q成立；q是p的必要条件，即如

果q不成立，p一定不成立，所以q对于p成立而言是必要的.

设计意图：通过对具体例子的辨析，学会判断充分条件和必要条件的方法；借助具体例

子，明确充分条件和必要条件的含义，突破理解必要条件这一难点.

例1下列“若小则/'形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件?

（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；

(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；

(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；

(4)若犬=1,则X=l；

(5)若a=b,则ac=be；

(6)若为无理数，则.为无理数.

追问1：判断P是q的充分条件的依据与方法分别是什么？(答案略.)

师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规

范过程.

预设的答案：

解：(1)这是一条平行四边形的判定定理，P=所以P是q的充分条件.

(2)这是一条相似三角形的判定定理，pnq,所以p是q的充分条件.

(3)这是一条菱形的判定定理，pnq,所以p是q的充分条件.

(4)由于(-1)2=1,但-1,1,P与q,所以P不是4的充分条件.

(5)由等式的性质知，p=q,所以p是q的充分条件.

(6)、历为无理数，但、历X亚=2为有理数，p与q,所以p不是q的充分条件.

(4)除了用判断命题的真假判断充分条件之外，还可以用集合关系来判断充分条件.对

于命题“若P，则铲'，集合A=｛xIx满足条件p｝，集合3=｛x|x满足条件/,若A73,

则p是q的充分条件.

解：方程炉=1的解集为｛-1,1｝,而｛-1,1｝卫⑴，所以P不是g的充分条件.

追问2：命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对

角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，请你再写出几个不同的充分条件.

预设的答案：①若四边形一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；

②若四边形两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；

③若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；

④若四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形.

追问3：根据上述分析，你认为充分条件与判定定理之间有怎样的关系？(答案：数学

中的每个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.)

设计意图：一是进一步熟悉利用判断命题真假来判定充分条件的方法，同时了解利用集

合关系判断充分条件的方法，比如(4)；二是通过典型的数学命题，理解数学中的判定定

理和充分条件的关系，进一步深化对充分条件的理解.

例2下列“若p,则/'形式的命题中，哪些命题中的g是p的必要条件？

(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；

(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；

(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；

(4)若x=1,则必=1；

(5)若ac=be,贝ija=h；

(6)若取为无理数，则x,y为无理数.

追问1：类比例1如何完成例2?(答案略.)

师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规

范过程.

预设的答案：

解：(1)这是平行四边形的一条性质定理，pnq,所以g是p的必要条件.

(2)这是相似三角形的一条性质定理，pnq,所以g是p的必要条件.

(3)对于筝形，对角线互相垂直，但它不是菱形，P与q,所以q不是〃的必要条件.

(4)显然，p=q,所以q是p的必要条件.

(5)当c=0,结论不成立，p与q,所以q不是p的必要条件.

(6)lx行为无理数，但1,、历不全是有理数，p书q,所以q不是p的必要条件.

追问：类比例1,你能用集合法解答(4)吗？

用集合关系来判断必要条件.对于命题“若p,则集合A={x|x满足条件p},

集合B={x|x满足条件4},若则q是0的必要条件.

解：方程/=1的解集为{—口},而{1}口{—1,1},所以4是。的必要条件.

追问2：命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“四边形的两组

对角分别相等”.这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，请你再写出几个不同的必要条件.

预设的答案：①若四边形为平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；

②若四边形为平行四边形，则这个四边形两条对角线互相平分；

③若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；

④若四边形为平行四边形，则这个四边形两组对边分别平行.

追问3：根据上述分析，你认为必要条件与性质定理的关系如何？(答案：数学中的每

个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.)

设计意图：一是进一步熟悉利用判断命题真假判定必要条件的方法，同时了解利用集合

关系判断必要条件的方法，比如(4)；二是通过典型的数学命题，理解数学中的性质定理

和必要条件的关系，进一步深化对必要条件的理解.

3.应用概念

例3已知相>0,p--2<x<6>q-2—m<x<2+m.

（1）若p是g的充分条件，求实数机的取值范围；

（2）若0是q的必要条件，求实数m的取值范围.

追问：对于（1），根据充分条件的定义，两个条件p与q对应的数集之间应该有怎样

的关系？对于（2）呢？

师生活动：学生独立思考，然后讨论交流，形成（1）的解题思路.然后学生独立写出

（1）的解答过程，并类比（1）完成（2）的解答，展示交流，教师帮助学生规范过程.

预设的答案：

因为P是q的充分条件，所以条件p对应的数集中的每个元素都应该在条件q对应的

数集中，所以｛无I—2<%<6｝=｛x|2—加<%<2+相｝,从而将问题转化为已知集合关系

求参数范围.

—2〉2-m,

解：（1）因为P是q的充分条件，所以<642+加，解得力>4；

m>0,

-2<2-m,

（2）因为P是q的必要条件，所以｛6>2+加，解得0<相<4.

m>0,

设计意图：通过充分条件、必要条件的逆用，将问题转化为集合之间关系问题，进一步在变

化的情境中加深对概念的理解。

（四）归纳小结

问题5：本节课我们学习了充分条件和必要条件，充分条件和必要条件的含义分别是

什么？对于“若p,则