高中数学二基本初等函数

专题二函数

函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.本章内容有

两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数-----次函

数、二次函数、指数函数、对数函数、基函数.研究函数的问题主要围绕以下儿个方面：函

数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等.

§2-1函数

【知识要点】

要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解

在很多情况下要借助映射这一概念.

1、设A,8是两个非空集合，如果按照某种对应法则力对A中的任意一个元素X,在

B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称/是集合A到集合8的映射.记作力A-B,

其中x叫原象，y叫象.

2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x,按照确定的法则力都有唯一确定

的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数.记作y=/(x),xGA.

其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.所有函数值构

成的集合｛yIy=/U),xd4｝叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确

定.

3、函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都

有原象.构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则.其中定义域和对应法则是核心.

【复习要求】

1.了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象.

2.能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数.

3.掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号人》)(对应法则)，

能依据一定的条件求出函数的对应法则.

4.理解定义域在三要素的地位，并会求定义域.

【例题分析】

例1设集合A和8都是自然数集合N.映射力4-8把集合A中的元素x映射到集合

B中的元素则在映射/作用下，2的象是；20的原象是.

【分析】由已知，在映射了作用下x的象为2'+x.

所以，2的象是2?+2=6；

设象20的原象为x,则x的象为20,即2"+x=20.

由于xGN,2，+x随着x的增大而增大，又可以发现24+4=20,所以20的原象是4.

x-l,x<0,

例2设函数/(x)=〈,则八1)=______；若人0)+八&)=-2,则a

—x+2,x+2,x>0,

的所有可能值为.

【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则.

所以/U)=3.

又共0)=—1,所以犬”)=一1,

当aWO时，由a—1=—1得a=0；

当a>0时，由一a2+2a+2=—1,即a2—2a—3=0得a=3或a=—1(舍).

综上，a=0或a=3.

例3下列四组函数中，表示同一函数的是()

(A)y=V?,y=(〃)2(B)y=|x|,y=¥

(C)y==,y=x+1X

(D)y=x,y=丁

x-1

【分析】（A）（C）（D）中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数.（B）中两个函数的

定义域相同，化简后为y=IxI及y=IfI，法则也相同，所以选（B）.

【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相

同.

一般有两个步骤：（1）在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否・致.（2）

对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致.

例4求下列函数的定义域

(1)y=Vx-1-l；(2)y=，-

VX2+2X-3

Vl-X2

（3）。=+。-1）。；

幽出(4)y=12^k2；

X

解：(1)由Ix—1I—120,得Ix—1121,所以x—121或x—1W—1,所以x22或

xW0.

所以，所求函数的定义域为{xI或尤<0}.

(2)由#+2%—3>0得，x>l或xV—3.

所以，所求函数的定义域为{xIx>l或xV—3}.

3-x>0,

(3)由彳汇,0,得xV3,且xWO,xWl,

x-1#0,

所以，所求函数的定义域为“k<3,且/WO,xWl}

\—x~20,W1-x-_0,nJ-1-%-11

(4)由<所以一iWxWl,且x#0.

l2-xl-2^0,、I2—xl#2,]x#0,Kx#4,

所以，所求函数定义域为"I且xWO}.

例5已知函数的定义域为（0,1）,求函数yu+1）及凡产）的定义域.

【分析】此题的题设条件中未给出函数共外的解析式，这就要求我们根据函数三要素之

间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指X的取值范围；②受对应法则/制约的量的

取值范围在“已知”和“求”当中是一致的.那么由於）的定义域是（0,1）可知法则/制约

的量的取值范围是（0,1）,而在函数yu+i）中，受/直接制约的是x+i,而定义域是指x的

范围，因此通过解不等式0<x+l<l得一l<x<0,即_/（x+l）的定义域是（一1,0）.同理可

得的定义域为{XI且x¥0}.

例6如图，用长为/的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长

为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域.

解：根据题意，AB=2x.

…l-2x-nx

CD-nx,AD=-------------

所以，y-lx--—~—+—•TLX2=-(2+—)x2+lx.

222

x>0,

根据问题的实际意义.AD>0,x>0.解|/_2x—也得0<x<——

I--------2------->0,2+n

所以，所求函数定义域为｛xl0<%<上一｝•

2+71

【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题.

(1)给出函数解析式求定义域(如例4),这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值

范围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的.

中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被

开方数非负；③零次暴的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；

JI

⑤y=tanx,则X/ATI+I，k^Z.

(2)不给出;(x)的解析式而求定义域(如例5).其解决办法见例5的分析.

(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6).在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限

制，还应考虑实际问题对自变量的限制.

另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的.比如在研

究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域.

例7⑴已知求危)的解析式；

X1-x

(2)己知/(X+L)=X2+3，求A3)的值；

XX

(3)如果/)为二次函数，式0)=2,并且当x=l时，於)取得最小值一1,求加)的解析式:

(4)*已知函数y=/(x)与函数y=g(x)=2'的图象关于直线x=l对称，求_/(x)的解析式.

【分析】(1)求函数凡0的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有

下面两种方法解决(1)这样的问题.

1

方法一./(工)=丁匚=I*•通过这样“凑型”的方法,我们可以明确看到法则

X--X(-)2-1

XX

X

了是“原象对应于原象除以原象的平方减i”.所以，/(X)=F■丁

1

11f

方法二.设上=f,则彳=-.则/«)=—^-=一一，所以/(幻x=•

xt.1r-1x-[

1-7

这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么.

⑵用“凑型”的方法，/(X+-)=X2+4-=(X+-)2-2.所以/(X)=—2,〃3)=7.

XXX

(3)因为Ax)为二次函数，并且当x=l时，兀0取得最小值一1,

所以，可设式x)=”(x-l)2-l,

又10)=2,所以0(0—1猿-1=2,所以0=3.

Xx)=3(x-l)2-l=3?-6r+2.

(4)这个问题相当于已知人x)的图象满足一定的条件，进而求函数/U)的解析式.所以，

可以类比解析儿何中求轨迹方程的方法求.加0的解析式.

设兀0的图象上任意一点坐标为尸(x,y),则P关于x=l对称点的坐标为。(2—x,y),

由已知，点。在函数y=g(x)的图象上，

所以，点Q的坐标(2—x,y)满足y=g(x)的解析式，即y=g(2—))=22-*,

所以，

【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”

及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法.

值得注意的是(4)中所用的解析法.在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方

法，是一种通法.同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系.

例8已知二次函数兀0的对称轴为x=l,且图象在y轴上的截距为一3,被x轴截得的

线段长为4,求人x)的解析式.

解：解法一

设/(x)=ax2+bx+c,

由/(x)的对称轴为x=1,可得6=-2a；

由图象在y轴上的截距为一3,可得。=一3；

由图象被x轴截得的线段长为4,可得x=-1,x=3均为方程“，+加；+©=0的根.

所以五-1)=0,BPa—b+c—0,所以a=l.

f^x)=x2—2x—3.

解法二

因为图象被X轴截得的线段长为4,可得X=-1,x=3均为方程式x)=0的根.

所以，设兀r)="(x+I)(x—3),

又穴x)图象在)，轴上的截距为一3,即函数图象过(0,一3)点.

即—3a——3,a=l.所以兀0=苫2—2x—3.

【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重.

二次函数的解析式有三种形式：

一般式yuaf+bx+c；

顶点式y=a(x—〃/+匕其中(/?,处为顶点坐标；

双根式y=a(x-xi)(x-x2)，其中内，也为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所

对应的一元二次方程的两个根.

例9某地区上年度电价为0.8元/kW•h,年用电量为akW-h.本年度计划将电价

降至IJ0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.40元/kW•h.

经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为

k).该地区电力的成本价为0.30元/kW•h.

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长

20%?

解：(1)依题意，当实际电价为x元/kW・h时，用电量将增加至一匚+4,

x-0.4

故电力部门的收益为y=(―^-+a)(x-03)(0.55<x<0.75).

x-0.4

(2)易知，上年度的收益为(0.8—0.3)“，依题意，

(+a)(x-0.3)><7(0.8-0.3)(1+20%),且0.55WxW0.75,

无一0.4

解得O.6OWxWO/75.

所以，当电价最低定为0.60元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长

20%.

练习2—1

一、选择题

1.已知函数/(x)=/的定义域为M,g(x)=ln(l+x)的定义域为N,则)

y/1-X

(A){xIx>l}(B){xIx<l}(C){xI-1<X<1}(D)0

2.图中的图象所表示的函数的解析式为()

3

(A)y=—Ix-11(0<x<2)

33

(B)y=------Ix-11(0<x<2)

22

3.

(C)y=­—1x-11(0<x<2)

(D)y=l—Ix-1I(04W2)

3.已知Ax-l)=f+2x,则/(1)=()

X

12113x2+4x+12x+l

(A)-r-\(B)--1(C)——;(D)

XXX厂

x+3,x<-1,

4.已知/(尤)=<<x<2,若%)=3,则X的值是()

3x,x>2

(C)±V3(D)V3

二、填空题

5.给定映射/：(x,y)f(x+2y,x—2y),在映射/下(0,1)的象是:(3,1)的原象是

6.函数/*)=J3旨-x学的定义域是.

7.已知函数犬此，g(x)分别由下表给出

则.例(1)］的值为:满足的x的值是.

8.已知函数y=/(x)与函数y=g(x)=2'的图象关于点(0,1)对称，则/(x)的解析式为

三、解答题

x~(XN0)

9.已知Ax)=2*+x—1,g(x)=〈一求g(—D，g［/U)］的值.

x-l(x<0),

10.在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0,9),其轨迹方程为y=af+c(4<

0),D=(6,7)为x轴上的给定区间.为使物体落在区间。内，求”的取值范围.

%

9

II.如图，直角边长为2cm的等腰RtZVlBC,以2cm/s的速度沿直线/向右运动，求该三

角形与矩形CCEF重合部分面积)，(cn/)与时间t的函数关系(设0W/W3),麻出y的最

大值.

B2cmCD

§2-2函数的性质

【知识要点】

函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称

性等等.本章着重研究后四个方面的性质.

本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单

的应用.数形结合是本节常用的思想方法.

1.设函数y=/(x)的定义域为。，如果对于。内的任意一个X,都有一XG。，且A-x)

=-Ax),则这个函数叫做奇函数.

设函数y=g(x)的定义域为如果对于。内任意一个x,都有一xe。，且g(—x)=g(x),

则这个函数叫做偶函数.

由奇函数定义可知，对于奇函数y=/(x),点尸(x,人外)与点P(—x,一兀0)都在其图象

上.又点P与点P'关于原点对称，我们可以得到：

奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶

函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形.

2.一般地，设函数y=/(x)的定义域为A,区间如果取区间〃中的任意两个值

X1.X2,改变量X|>。，则

当△y=Ax2)-/UD>0时，就称函数y=/H)在区间M上是增函数；

当△y=/(X2)-/(Xi)V0时，就称函数y=/(x)在区间M上是减函数.

如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间用上具

有单调性，区间M称为单调区间.

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

3.•般的，对于函数式x),如果存在一个不为零的常数7,使得当x取定义域中的每•

个值时，/+D=加)都成立，那么就把函数y=/(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这

个函数的周期.

4.一般的，对于函数Ax),如果存在一个不为零的常数处使得当x取定义域中的每一

个值时，—x)都成立，则函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称.

【复习要求】

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，

会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；

2.了解函数奇偶性的含义.能判断简单函数的奇偶性.

3.了解函数周期性的含义.

4.了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题.

【例题分析】

例1判断下列函数的奇偶性.

(D/U)(2)/(X)-—F1；

x

,1+x

(3)共幻=/一3x；(4)y=1g-——

l-x

2x-\

(5))'=

2X+1

Y

解：(1)解得到函数的定义域为&lx>l或xWO},定义域区间关于原点不

x-1

对称，所以此函数为非奇非偶函数.

(2)函数的定义域为{xIx#0},但是，由于人1)=2,人-1)=0,即人1)#大-1),且JU)

W—/(—1),所以此函数为非奇非偶函数.

(3)函数的定义域为R,又大-x)=(—x)3—3(—%)=—/+3乂=一加0，

所以此函数为奇函数.

]+X

(4)解一>0,得一1<X<1,

1-X

T7\11+(一X).1—X.1+X

又/(-x)=1g--=1g--=-1g--=-/(X),

1-(-x)1+X1-X

所以此函数为奇函数.

2-x-11-2X

(5)函数的定义域为R,又三万二=一/(%)，

所以此函数为奇函数.

【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：

①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称：

②Ax)是奇函数，并且式x)在x=0时有定义，则必有人0)=0；

③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为穴x)=0.

判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：

①判断函数的定义域是否关于原点对称；

②考察八一x)与/(X)的关系.

由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函

数四类.

例2设函数Ax)在R上有定义，给出下列函数：

①y=-I；②丫=犷}2)；③y=-/(-x)；@y=f(x)-fi-x).

其中必为奇函数的有.(填写所有正确答案的序号)

【分析】①令尸(x)=—\fix)\,则F(—x)=-\fi-x)I,由于/(x)与八一x)关系不明确,

所以此函数的奇偶性无法确定.

②令尸(x)=xj(x2),则F(—x)=一灯[(~x)2]=-xf{x}=一F(x),所以尸(x)为奇函数.

③令尸(x)=-/(—x),则尸(一x)=-/1—(一为]=一段)，由于/(x)与"一无)关系不明确，所

以此函数的奇偶性无法确定.

④令F(x)=/□)—«—x),则尸(一x)=/(—x)—/I—(—x)]=;(—x)—/U)=-F(x),所以F(x)

为奇函数.

所以，②④为奇函数.

例3设函数Ax)在R上有定义，"0的值不恒为零，对于任意的x,yGR,恒有人x+

y)=/U)+_/O，)，则函数负x)的奇偶性为.

解：令x=y=O,则共0)=犬0)+八0),所以式0)=0,

再令y=-x,则A0)=/(幻+八一x),所以八-x)=-/(x),又Ax)的值不恒为零，

故K"是奇函数而非偶函数.

【评析】关于函数方程“Rx+y)=Kr)+%)”的使用一般有以下两个思路：令x,y为某

些特殊的值，如本题解法中，令x=y=O得到了40)=0.当然，如果令x=y=l则可以得到

犬2)="(1),等等.

令x,y具有某种特殊的关系，如本题解法中，令丫=一元得到人2%)=">),在某些情

况下也可令y=L,y=x,等等.

x

总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理.在不是很熟悉的时候，

要有试-一试的勇气.

例4已知二次函数Ax)=f+bx+c满足式l+x)=/(l-x),求b的值，并比较八一1)与

<4)的大小.

解：因为/U+x)=/(l—x),所以x=l为二次函数图象的对称轴，

所以一2=1,b=-2.

2

根据对称性，八-1)=犬3),又函数在[1,+8)上单调递增，

所以大3)</必)，即/(一1)<人4).

例5已知{x)为奇函数，当x20时•，犬x)=f-2x,

(1)求人-1)的值；

(2)当xVO时，求/W的解析式.

解：(1)因为兀0为奇函数，所以/(—1)=一式1)=一(廿一2X1)=1.

(2)方法一：当-VO时,—x>0.所以，«r)=一八一x)=—[(一》尸一2(—x)]=一/一2x.

方法二：设(r,y)是«x)在丸<0时图象上一点，则(一心一y)一定在«r)在工>0时的图

象上.所以，一y=(-x)2—2(一1)，所以y=一—一型.

例6用函数单调性定义证明，函数丫=4/+法+以。>0)在区间(—2,+8)上为增函

2a

数.

b

证明：设X]、%2£(----,4-00),且X[〈冗2

2a

22

J(x2)—f(Xi)=(ax2+bx2+c)—(axl+bxi+c)=a(X2—x1)-]-b(X2—xi)

=a(x2+x})(x2-xi)+b(x2—xi)=(x2-x])[a(<xi+x2)+b]

因为X1〈X2，所以尢2一总>0，又因为石、x7e(一~—,+co),

2a

一b

所以X]+>---M(X[+12)+》>0，所以犬彳2)—久¥])>0,

a

•h

函数了="¥+瓜+。(。>0)在区间(----,+oo)上为增函数.

2a

例7已知函数y(x)是定义域为R的单调增函数.

(1)比较人力+2)与/(功)的大小；

(2)若人/)>犬。+6),求实数。的取值范围.

解：(1)因为。?+2—2a—(a—1)2+1>0,所以。2+2>2«,

由已知，/U)是单调增函数，所以穴/+2)>人2〃).

(2)因为Ax)是单调增函数，且_A〃2)>y3+6),所以“2>a+6,

解得a>3或a<—2.

【评析】回顾单调增函数的定义，在打，必为区间任意两个值的前提下，有三个重要的

问题：Ax=X2-X|的符号；△y=/(X2)—/(xi)的符号；函数y=/(x)在区间上是增还是减.

由定义可知：对于任取的X”X2，若M>X],且於2)>/1)，则函数y=/(x)在区间上是

增函数；

不仅如此，若X2>X”且函数y=/(x)在区间上是增函数，则八*2)>/(勺)；

若Z(X2)>y(Xi),且函数y=/(x)在区间上是增函数，则X2>Xi；

于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系.请结合例5例6

体会这一点.

函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在

复习中要予以充分注意.

例8设氏¥)是定义域为(-8,0)U(0,+8)的奇函数，且它在区间(一8,0)上是减函

数.

(1)试比较式-2)与一A3)的大小；

(2)若机“V0,且m+”V0,求证：机)+/(")>0.

解：(1)因为人用是奇函数，所以一A3)=/(—3),

又Kr)在区间(-8,0)上是减函数，所以3)>八—2),即一«3)>八-2).

(2)因为加〃<0,所以"?，〃异号，不妨设加>0,〃<0,

因为，"+"<0,所以一机，

因为〃，一机6(—8,0),〃<一加，«c)在区间(-8,0)上是减函数，

所以H〃)刁(一m),

因为/U)是奇函数，所以八一〃?)=-/(>),

所以加)>—/(加)，即加)+加)>0.

例9函数/U)是周期为2的周期函数，且式x)=f,xG[-L1|.

(1)求人7.5)的值；

(2)求人制在区间[2”-1,2”+1]上的解析式.

解：(1)因为函数加0是周期为2的周期函数，所以Ax+2k)=/(x),k，

所以/(7.5)=犬―0.5+8)=/(_0.5)=

4

(2)设-1,2n+l],Oil]x-2ne[-1,1].

所以2〃)=(x—2")\xG12n_1>2n+1].

练习2-2

一、选择题

1.下列函数中，在(1,+8)上为增函数的是()

(A)y=x2-4x(B)y=|xI(C)y=-(D)y=x2+2x

X

2.下列判断正确的是()

(A)定义在R上的函数式x),若八—1)=穴1)，且/(-2)=人2),则兀v)是偶函数

(B)定义在R上的函数兀0满足人2)>人1),则犬x)在R上不是减函数

(C)定义在R上的函数/U)在区间(-8,0]上是减函数，在区间(0,+8)上也是减函数，

则J(x)在R上是减函数

(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数

3.已知函数Ax)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知#1)=2.则人2)=()

(A)-2(B)2(C)l(D)-l

4.设次x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()

(AM>加-x)是奇函数(BM>)|八一x)I是奇函数

仁加力一八一x)是偶函数(DV(x)+_A—x)是偶函数

二、填空题

5.若函数一机x+5在区间[-2,+8)是增函数，则机的取值范围是；人1)

的取值范围是.

6.已知函数兀0是定义在(-8,+8)上的偶函数.当xd(-8,0)时，AX)=X-X4,则当X

G(0,+8)时，/(x)=.

7.设函数/(x)=++为奇函数,则实数。=.

X

8.已知函数/(x)=/一COSX,对于[-二,%I上的任意X],X2,有如下条件：

22

@X1>X2；②X：>X；；(3)IX|I>x2.

其中能使/(XI)>大工2)恒成立的条件序号是

三、解答题

9.已知函数/U)是单调减函数.

⑴若40,比较f(4+3)与/(3)的大小;

a

(2)若大Ia-iI)刁(3),求实数〃的取值范围.

10.已知函数/(x)=/壬0,aeR).

x

(1)判断函数#x)的奇偶性；

(2)当。=1时，证明函数儿丫)在区间[2,+8)上是增函数.

11.定义在(0,+8)上的函数火X)满足①人2)=1；©J(xy)=f(x)+f(y),其中x,y为任意正实

数，③任意正实数x,y满足x壬y时，，(x—5)伏>)—心)]>0恒成立.

⑴求川)，旭)的值；

(2)试判断函数Ax)的单调性；

(3)如果/U)+/(x-3)W2,试求x的取值范围.

§2-3基本初等函数(I)

本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幕函数，

三角函数在三角部分复习.

函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象.熟知

函数图象包括三个方面：作图，读图，用图.

掌握初等函数一般包括以下一些内容:首先是函数的定义,之后是函数的图象和性质.函

数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值

的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑.

函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的

性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质.

【知识要点】

1.一次函数：y=kx+h(k^O)

⑴定义域为R，值域为R；

⑵图象如图所示，为一条直线;

(3火＞0时，函数为增函数，ZV0时，函数为减函数；

⑷当且仅当b=0时一次函数是奇函数.一次函数不可能是偶函数.

h

(5)函数》=履+/?的零点为----

k

2.二次函数：y=ax2+bx+c(a^0)

b4"—

通过配方，函数的解析式可以变形为y=a(x+—)2+—i—

la4a

(1)定义域为R：

—b~

当〃＞0时、值域为［，+8)；

4-cic—h~

当。＜0时，值域为(一8,

4ac-b2

).

4a

当。＞0时，抛物线开口向上；当。＜0时，抛物线开口向下.

(3)当。＞0时，(—co,---［是减区间，［----,+8)是增区间；

2a2a

hb

当〃VO时，(-00,一一］是增区间，［一一,+8)是减区间.

2a2a

(4)当且仅当方=0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数.

-b±y1h2-4ac

(5)当判别式A=E—4〃c＞0时，函数有两个变号零点

2a

b

当判别式A=/—%c=0时，函数有一个不变号零点——；

2a

当判别式A=%2—〃c<0时，函数没有零点.

3.指数函数y=/(a>0ILaWl)

⑴定义域为R；值域为(0，+8).

(2)a>l时，指数函数为增函数；0<。<1时，指数函数为减函数:

(3)函数图象如图所示.不具有奇偶性、周期性，也没有零点.

4.对数函数y=log/(a>0且°片1),

对数函数y=lo&x与指数函数y=a*互为反函数.

(1)定义域为(0，+°°);值域为R.

(2)a>l时，对数函数为增函数：0<。<1时，对数函数为减函数;

(3)函数图象如图所示.不具有奇偶性、周期性，

(4)函数的零点为1.

5.第函数)，=xa(aGR)

募函数随着a的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同

的性质：

(1)所有的募函数在(0,+8)都有定义，并且图象都通过点(1,1)；

(2)如果a>0,则塞函数的图象通过原点，并且在区间|0,+8)上是增函数；

(3)如果a<0,则基函数在区间(0,+8)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向

于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴I,当x趋于+8时，图象在x轴上方无限地接近

x轴.

要注意：

因为所有的基函数在(0,+8)都有定义，并且当xe(o,+8)时，.产>0,所以所有的

幕函数y=x&(aWR)在第一象限都有图象.

根据篝函数的共同性质，可以比较容易的画出一个基函数在第一象限的图象，再根据基

函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个塞函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个

幕函数的大致图象.

6.指数与对数

(1)如果存在实数x,使得x"=a(aCR,n>\,"GN'),则x叫做a的w次方根.

负数没有偶次方根.

(Va)n=a{n>l,neN+)；

(叱)=卜当〃为奇数时

')1laI,当〃为偶数时

(2)分数指数幕，

I

a"=如4>0)；

m__

於=M)m=6(a>0,n,mGN*,且'为既约分数).

n

i

a"=—(a>0,n,meN",且m一为既约分数).

n

a"

(3)基的运算性质

apapaa

a«aP=a^P,^)=a,(abf=ab,a°=l(a#0).

(4)一般地，对于指数式我们把“b叫做以a为底N的对数”记为lo&N,

即b=log„N(a>0,且aWl).

(5)对数恒等式：a吗N=N.

(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；

底的对数是1,1的对数是0.

(7)对数的运算法则及换底公式：

M

log〃(MN)=log.M+log(,N;log0—=log(,M-log„N

a

logaM=alognM；

log*=.(其中40且aWl,b>0且bWl,M>0,N>0)

loga

【复习要求】

1.掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中塞

11

函数主要掌握y=x,y^x2,y=x:y=—,y=/这五个具体的幕函数的图象与性质.

x

2.准确、熟练的掌握指数、对数运算；

3.整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题.

【例题分析】

例1化简下列各式：

---I_r]()_i

(1)325x273；(2)J2-+(2—)3-27T°；

V427

(3)(0.027)(-y)2+(2.；；(4)log2[log3(log464)]；

Ig2+lg5-lg8

lg50-lg40-

?£214

解：(1)325X273=(25)5x(33)3=22x3-=；

_1,osco,9T64331

(2)(2—)°・5+(2——)3-2TI0=(-)2+(——)3-2=-+--2=--

427427244

(3)(0.027)^-(-I)-2+(2,=(京)彳一49+=y-49+|=-44

3

(4)log2[log3(log464)|=log2[log3(log44)]=log2[log33]=log21=0.

2x55

Ig2+lg5-lg8但8=町二1

'lg50-lg40.505•

6404

【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使

用是关键.

例2已知二次函数/U)满足人2)=-1,大-1)=-1,且Ax)的最大值为8,试确定Ax)

的解析式.

解：解法一

设7^)="2+6+<?(。―0)，依题意

4a+2b+c=-1,a=-4,

<a-b+c=-l，解之得,b=4,解之得所以所求二次函数为/(x)=-4f+4x+7.

4ac-b20c=7,

4a

解法二

/(x)=a(x—〃尸+k(a力0),

为人2)=-1,A-1)=-1＞所以抛物线的对称轴为》=归心=’，

22

1

又几丫)的最大值为8,所以/(冗)=。(工一一)29+8.

11,

因为(一1,一1)点在抛物线上，所以一1=。(一1一一)2+8,解得”=一4.

2

所以所求二次函数为/(X)=—4(x—；)2+8=—4x2+4x+7.

例3(1)如果二次函数Ax)=f+(a+2)x+5在区间(2,+8)上是增函数，则。的取值

范围是.

(2)二次函数y=ax2—4x+a—3的最大值恒为负，则a的取值范围是.

(3)函数人外=/+法+。对于任意fGR均有12+。=火2—。，则41),f(2),大4)的大小关

系是.

解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2,+8)上是增函数，

画简图可知此抛物线对称轴X=-竺2或与直线x=2重合，或位于直线x=2的左侧,

2

于是有一丝2«2,解之得a2—6.

2

(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充耍条件是“二次项系数a＜0,

a<0,

且判别式△＜()"，即解得aG(—8,—1).

16—4a(a-3)<0

(3)因为对于任意/GR均有X2+r)=/(2—r),所以抛物线对称轴为x=2,又抛物线开口

向上，做出函数图象简图可得大2)＜人1)＜八4).

例4已知函数/v)=mf+(机-3)x+l的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，

求实数”的范围.

解：当机=0时，Ax)=-3x+l,其图象与x轴的交点为(g,0),符合题意；

当机V0时，注意到,*0)=1,又抛物线开口向下，所以抛物线与x轴的两个交点必在原

点两侧.所以机＜0符合题意；

当机＞0时，注意到人0)=1,又抛物线开口向上，所以抛物线与x轴的两个交点必在原

A=(m-3)2-4m>0,

点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则b3—m八解得0V〃zWl.

----=----->0,

2a2m

综