湘教版数学八年级上册《 二次根式的概念及性质》

5.1二次根式

5.1.1二次根式的概念及性质

（第1课时）

教学内容：二次根式的概念及其运用

教学目标：理解二次根式的概念，并利用&（a>0）的意义解答具体题

目.

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

教学重难点关键：1.重点：形如6（a20）的式子叫做二次根式的概

念；

2.难点与关键：利用“血（a»0）”解决具体问题.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、1、9、9、7、8,甲这次射击的

方差是S2,那么S=.

老师点评：由方差的概念得5=

二、探索新知

很明显G、M、岛都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的

算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如右（a

20）的式子叫做二次根式，“，”称为二次根号.

（学生活动）议一议：1.T有算术平方根吗？

2.0的算术平方根是多少？3.当a<0,G有意义吗？

老师点评：（略）

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：&、6、4

(x>0)、*、蚯、-亚、一!一、Jx+y(x与0,y20).

x+y

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“«”；第二，被开方

数是正数或0.

解：二次根式有：6、4(x>0)、屈、-亚、(x20,y20)；

不是二次根式的有：独、1、蚯、.

xx+y

例2.当x是多少时，病二I在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-l

20,67口才能有意义.

解：由3xT20,得：x>-

3

当x》!时，后万在实数范围内有意义.

3

三、巩固练习P157练习1、

四、应用拓展

例3.当x是多少时，J2X+3+」一在实数范围内有意义?

分析：要使7^^+」一在实数范围内有意义，必须同时满足岳石中的

X+1

20和」一中的x+l#0.

x+1

e〜口he,口f2x+3>0

解：依逾忘，得,

[x+lwO

由①得：

2

由②得：x#T

当且X#-1时，J2X+3+」一在实数范围内有意义.

2x+1

例4(1)已知y=JTi+jr^+5,求土的值.(答案:2)

y

⑵若向K+gi=o,求心也?。。，的值.(答案：2)

5

五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：

1.形如石（a^O）的式子叫做二次根式，“V■”称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

六、布置作业1.P159习题5.1A组12.选用课时作业设计.

第一课时作业设计

一、选择题

1.下列式子中，是二次根式的是（）A.-V7B.V7C.6

D.x2

2.下列式子中，不是二次根式的是（）A.〃B.V16C.瓜

D.-

X

3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）A.5B.逐C.1D.以

5

上皆不对

二、填空题

1.形如的式子叫做二次根式.2.面积为a的正方形的边长为

3.负数平方根.

三、综合提高题

1.某工厂要制作一批体积为1m，的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需要,

底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

2.当x是多少时，1正l+x2在实数范围内有意义？

X

3.若,3-x+Jx-3有意义,贝！14^=.

4.使式子J-（x-5）2有意义的未知数x有（）个.A.0B.1C.2

D.无数

5.已知a、b为实数，且V^+20-2〃=b+4,求a、b的值.

第一课时作业设计答案：一、1.A2.D3.B二、l.G（a20）2.6

3.没有

三、1.设底面边长为x,则62x2=1,解答：x=亚.

2x+3>07...当x>-3且xWO时，^2—3

2.依题意得：.2

2x

Xw0

+（在实数范围内没有意义.

3.-

3

4.B

5,a=5,b=~4

5.1.2二次根式的化简（1）

（第2课时）

教学内容1.«（a20）是一个非负数；2.（6）2=a（a20）.

教学目标

理解右（a>0）是一个非负数和（夜）2=a（aBO）,并利用它们进行计算

和化简.

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出G（a20）是一个非负

数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（&）2=a（a>0）；最后运用结论

严谨解题.

教学重难点关键

1.重点：4a（a20）是一个非负数；（G）2=a（a20）及其运用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出后（a20）是一个非负数；用探

究的方法导出（G）2=a（aNO）.

教学过程

一、复习引入（学生活动）口答

1.什么叫二次根式？2.当a20时，及叫什么？当a<0时，及有

意义吗？

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）&（aNO）是一个什么数呢?

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

八（a—0）是一个非负数.

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（A/4）J_；（）2=；（＞/9）2=；（-^3）2=_

（QJ——；-------；（"=--------

老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，血是一个平

方等于4的非负数，因此有（孤）J4.

同理可得：（及）2=2,（囱）2=9,（73）2=3,（J-）2=-

V33

（而）2=0,所以（G2=a（a20）

例1计算

1.(^|)22.(345)23.(J|)24.I*)?

分析：我们可以直接利用(6)2=a(a20)的结论解题.

(375)2=32•(V5)2=32•5=45,

三、巩固练习P157练习2、

计算下列各式的值：

（9）目；（纣；（C"；（4目；（3后一（5百『

四、应用拓展

例2计算

1.(V7+T)2(x20)2.(V?)*23.(J/+2a+i)24.(2殳+)

2

分析：(1)因为x20,所以x+l〉O；(2)a2^0；(3)a2+2a+l=(a+1)

20；

(4)4x-12x+9=(2x)-2•2x-3+32=(2x-3)2^0.

所以上面的4题都可以运用(右)2=a(a20)的重要结论解题.

解：(1)因为x20,所以x+l>0(Jx+1);=x+l

(2)Va2^0,/.(V?)2=a2

(3)Va+2a+l=(a+1)2又；(a+1)2^0,Aa2+2a+l>0,

yja2+2a+l=aJ+2a+l

(4)V4x-12x+9=(2x)2-2•2x-3+32=(2x-3)2又；(2x-3)2^0

.,.4x-12x+9^0,Z.(A/4X2-12X+9)2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式：(1)X2-3(2)X'-4⑶2/-3

五、归纳小结本节课应掌握：

1.\[a(a^O)是一个非负数；2.(6)2=a(a20);反之:a=(&)

2(a>0).

六、布置作业1.P159习题5.1A组2、2.选用课时作业设计.

第二课时作业设计

一、选择题

1.下列各式中至、岛、扬_]、址+及、1>+20、V-144,二次

根式的个数是().A.4B.3C.2D.1

2.数a没有算术平方根，则a的取值范围是().A.a>0B.a20C.a<0

D.a=0

二、填空题

I.(-6)2=.2.已知VTXT有意义，那么是一个数.

三、综合提高题

1.计算(1)(®)2(2)-(V3)2(3)(-V6)2(4)(-3./-)

2V3

2

⑸(26+3近)(26-3夜)

2.把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x20)

6

3.已知Jx-y+l+VT^=O,求/的值.

4.在实数范围内分解下列因式：(1)X2-2(2)x4-93X2-5

第二课时作业设计答案：一、1.B2.C二、1.32.非负数

三、1.(1)(囱)J9(2)-(>/3)2=-3

2

(3)(i>/6)=1X6=-(4)(-3J-)2=9X-=6(5)-6

242V33

2.(1)5=(75)2(2)3.4=(闻)2

(x'O)

==

x—y+lOx3/、？/i-、//一、

3.1Jxv=34=814.(1)x-2=(x+v2)(x->/2)

x-3-0[y=4

(2)x-9=(X2+3)(X-3)=(x2+3)(x+百)(x-8)⑶略

5.1.2二次根式的化简(2)

(第3课时)

教学内容：=a(a»0)

教学目标：理解V7=a(a20)并利用它进行计算和化简.

通过具体数据的解答，探究必=a(a20),并利用这个结论解决具体问

题.

教学重难点关键1.重点：J/=a(a»0).2.难点：探究结论.

3.关键：讲清a20时,=a才成立.

教学过程

一、复习引入：老师口述并板书上两节课的重要内容;

1.形如G(a20)的式子叫做二次根式；

2.8(a20)是一个非负数；

3.(\Ja)J=a(a，0).

那么，我们猜想当a20时，必=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个

问题.

二、探究新知(学生活动)填空:

(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

岳=2；Vo.oi2=0.01；尸二1；J(g)2；而=。；二).

因此，一般地：(a20)

例1化简

(1)V9(2)7(-4)2(3)V25(4)J(-3打

分析：因为(1)9=-32,(2)(-4)M2,(3)25=5%

(4)(-3)J32,所以都可运用J/=a(a20)去化简.

解：(1)乒后=3(2)](—4)2="=4(3)V25=VF=5(4)

7^=疔=3

三、巩固练习P157练习3.

四、应用拓展

例2填空：当a20时，77=；当a<0时，,并根据

这一性质回答下列问题.

(1)若必=a,则a可以是什么数？

(2)若V7=-a,则a可以是什么数？

(3)V7>a,则a可以是什么数？

分析：•••>//=a(a20),.•.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格

就不行，应变形，使"()”'中的数是正数，因为，当aWO时，病=而存，

那么-aNO.

(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据

(1)、(2)可知而=|a|,而|a|要大于a,只有什么时候才能保证呢？

a<0.

解：(1)因为x/?=a,所以a»0；(2)因为所以aWO；

(3)因为当a20时J/=a,要使即使a>a所以a不存在；当a<0

时，J/=-a,要使\Z^>a,即使-a>a,a<0综上，a<0

例3当x>2,化简J(x—2)2-J(l-2x)2.

五、归纳小结本节课应掌握：

J/=a(a2O)及其运用，同时理解当a<0时，J/=-a的应用拓展.

六、布置作业1.P159习题5.1A组32.选作课时作业设计.

第三课时作业设计

一、选择题

1.J(2；)2+J(—2；)2的值是().A.0B.|C.4|D.以

上都不对

2.a»0时，病、/了、-正，比较它们的结果，下面四个选项中正

确的是().

A.=7(-«)24^B.后〉J(-a)2)一册

C.<y/(-a)2<-\[^D.-7?>后=J(-a)2

二、填空题

1.-J0.0004=.2.若-20m是一个正整数,则正整数m的最小

值是.

三、综合提高题

1.先化简再求值：当a=9时，求a+，l一2a+Y的值,甲乙两人的解答如下:

甲的解答为：原式=a+J(1-4=a+(1-a)=1；

乙的解答为：原式=a+=a+(a-l)=2a-l=17.

两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.

2.若|1995-a|+夜-2000=a,求aT995?的值.

(提示：先由a-200020,判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值)

3.若-3WxW2时，试化简|x-2|+7(%+3)2+Vx2-10x+25。

答案：一、1.C2.A二、1.-0.022.5