2024河南中考数学专题复习第三部分 题型二 微专题7 十字模型 课件

微专题7十字模型一阶

模型回顾

知识关联如图①，在勾股定理中我们学过“赵爽弦图”，则有△AED≌△BFA≌△CGB≌△DHC.图①如图②，稍作变形，DE⊥AF交AF于点H，得“十字模型”，则有△FBA≌△EAD.图②一、正方形的十字模型模型分析已知正方形ABCD，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点G.模型结论：△ABE≌△BCF【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，连接AE，BF，AE，BF相交于点G，请同学们结合图形提出自己的猜想并证明；以下是小亮的猜想：小亮：若AE⊥BF，则AE＝BF.(1)请帮助小亮证明他的猜想；图①(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BGE＝90°，∴∠GBE＋∠GEB＝90°，∵∠BAE＋∠GEB＝90°，∴∠BAE＝∠GBE，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF；图①十字模型【类比探究】探究一：(2)如图②，当点E，F分别在正方形ABCD的边CB，DC的延长线上时，(1)中小亮的猜想是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；图②(2)解：成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BGE＝90°，∴∠BAE＋∠ABG＝90°，∵∠CBF＋∠ABG＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF；图②十字模型探究二：(3)如图③，将图①中线段BF向上平移后得到线段MN，试判断此时小亮的猜想是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)解：成立，证明：如图，过点N作NK⊥AB于点K，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝KN，∠ABE＝∠BAD＝∠MKN＝90°，∵AE⊥MN，∴∠AGM＝90°，∴∠MAG＋∠AMG＝90°，图③K∟∵∠MNK＋∠AMG＝90°，∴∠MNK＝∠MAG，在△NKM和△ABE中，∴△NKM≌△ABE(ASA)，∴MN＝AE；图③K∟十字模型二、矩形的十字模型模型分析已知矩形ABCD，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点G.模型结论：△ABE∽△BCF.【知识迁移】学习了正方形的十字模型，小唯提出了一个新的问题：(4)如图④，在矩形ABCD中，CD＝m，BC＝n，点E，M，N分别是BC，AB，DC上一点，连接AE，MN，AE，MN相交于点G，且AE⊥MN，求

的值(用含m，n的式子表示)．(4)解：如图，过点N作NK⊥AB于点K，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝KN，∠ABE＝∠BAD＝∠MKN＝90°，∵AE⊥MN，∴∠AGM＝90°，∴∠MAG＋∠AMG＝90°，图④K∟∵∠MNK＋∠AMG＝90°，∴∠MNK＝∠MAG，∴△MNK∽△EAB，∴＝

＝

＝

，∴＝

.图④K∟

解题关键点过点N作NK⊥AB于点K，证得△MNK∽△EAB.十字模型二阶

综合提升1.如图，在矩形ABCD中，AB＝

BC，点E是BC边上一点，点F在CD的延长线上，且BE＝

，DF＝2，连接EF交AD于点G，点H是AB边上一点，过点H作HN⊥EF，分别交EF，CD于点M，N，若CN＝AH＝

，则DN的长为________．第1题图

解题关键点过点A作HN的平行线，分别交CD，EF于点P，Q，证得△ADP∽△FCE.2.如图，在正方形ABCD中，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E.若AB＝12，AE＝5，则EG的长为________．第2题图3.【教材背景】课本上有这样一道题目：如图①，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF.发现其中CE＝DF.【拓展延伸】如图②，在正方形ABCD中，O为对角线BD上一点，连接AO并延长，交DC于点E，过点B作BF⊥AE于点G，交AD于点F，连接FE，BE.第3题图【问题解决】(1)若DO＝DE，求证：△ABG≌△OBG；(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥DC，∴∠DEO＝∠BAO.又∵DO＝DE，∴∠DOE＝∠DEO，∴∠AOB＝∠DOE＝∠DEO，∴∠BAO＝∠BOA.∵BF⊥AE，∴∠AGB＝∠OGB＝90°，∵BG＝BG，∴△ABG≌△OBG(AAS)；第3题图(2)若BF＝6，求四边形AFEB的面积；第3题图(2)解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°.∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°，即∠BAG＋∠ABG＝90°.∵∠BAD＝∠BAG＋∠GAD＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∴△ADE≌△BAF(ASA)，∴AE＝BF.∵AE⊥BF，∴S四边形AFEB＝

BF2＝18；

解题关键点证得△ADE≌△BAF；∴∠BHC＝90°，∴∠HBC＋∠HCB＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠ABG＋∠HBC＝90°，∴∠HCB＝∠GBA，又∵∠BHC＝∠AGB，BC＝AB，∴△BHC≌△AGB(AAS)，∴CH＝BG.∵CG＝CB，∴GH＝HB＝

GB＝

CH，(3)如图③，连接CG，若CG＝BC，求证：E是边DC的中点．(3)证明：如图，过点C作CH⊥BG于点H，第3题图∟H∴tan∠HCB＝

＝

.∵由(2)得△ADE≌△BAF