2020-2021学年辽宁省抚顺市六校高三(上)期末数学试卷-(解析版)

2020-2021学年辽宁省抚顺市六校高三（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，4}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，则A∩B＝（）A．{﹣4，﹣2，4} B．{﹣4，﹣2，﹣1，2，4} C．{﹣4，2，4} D．{﹣4，﹣2，1，2，4}2．若复数z满足|z+i|＝1，则复数z在复平面内的点的轨迹为（）A．直线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线3．函数的定义域是（）A．[﹣2，+∞） B．[﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．[﹣2，﹣1）4．已知向量，且的夹角为60°，若，则k＝（）A．2 B．1 C． D．5．已知双曲线的右焦点为F，A，B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，，且|AB|＝4b，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．26．我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果内部小正方形的内切圆面积为，外部大正方形的外接圆半径为，直角三角形中较大的锐角为α，那么tan＝（）A． B． C． D．7．已知a，b都是正实数，则“”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f'（x），且对任意实数x都有f（x）+f'（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex﹣1的解集为（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）二、选择题（共4小题）.9．已知椭圆的离心率是，则m的值可能是（）A．3 B．6 C． D．2710．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失.2011～2020年每年上半年的票房走势如图所示，则下列说法不正确的是（）A．2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加 B．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年 C．2018年上半年的票房收入增速最大 D．2020年上半年的票房收入增速最小11．已知函数f（x）是定义在[1﹣2a，a+1]上的偶函数．当0≤x≤a+1时，，若f（log2m）＞1，则（）A．a＝2 B．a＝3 C．m的值可能是4 D．m的值可能是612．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在棱DD1上，且2DE＝ED1，F是线段BB1上一动点，则下列结论正确的有（）A．EF⊥AC B．存在一点F，使得AE∥C1F C．三棱锥D1﹣AEF的体积与点F的位置无关 D．直线AA1，与平面AEF所成角的正弦值的最小值为二、填空题（共4小题）.13．在（x﹣3）5的展开式中，含x3的项的系数等于．14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为．15．已知a＞0，b＞0，且a+b＝3，则的最小值是．16．2020年10月11日，全国第七次人口普查拉开帷幕，某统计部门安排A，B，C，D，E，F六名工作人员到四个不同的区市具开展工作，每个地方至少需安排一名工作人员，其中A，B安排到同一区市县工作，D，E不能安排在同一区市具工作，则不同的分配方法总数为种．三、解答题（共6小题）.17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且成等差数列．（1）证明：数列{an}是等比数列；（2）求数列{anan+1}的前n项和Tn．18．第31届世界大学生夏季运动会定于2021年8月18日﹣29日在成都举行，成都某机构随机走访调查80天中的天气状况和当天到体育馆打乒乓球人次，整理数据如表（单位：天）：打乒乓球人次天气状况[0，100][100，200][200，300]晴天21320阴天4610雨天645雪天820（1）若用样本顿率作为总体概率，随机调查本市4天，设这4天中阴天的天数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．（2）假设阴天和晴天称为“天气好”雨天和雪天称为“天气不好”．完成下面的2×2列联表，判断是否有99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关．人次≤200人次＞200天气好天气不好参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.82819．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝4，BC＝AD＝3，PA＝PB，E，F分别为PA，AD的中点，平面PAB⊥平面ABCD．（1）证明：EF∥平面PCD．（2）若PA＝2，求二面角E﹣CF﹣A的余弦值．20．在①且2sin2B＝3sinAsinC，②（sinA﹣sinC）2＝sin2B﹣sinAsinC，③△ABC的面积这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答．问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求sinB；（2）若a＝2c，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．21．已知动点M到点F（3，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小2．（1）求动点M的轨迹E的方程．（2）过点F作斜率为k（k≠0）的直线l'与轨迹E交于点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，证明：为定值．22．已知函数f（x）＝alnx﹣x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥（e﹣1）x﹣ex对x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范围．

参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，4}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，则A∩B＝（）A．{﹣4，﹣2，4} B．{﹣4，﹣2，﹣1，2，4} C．{﹣4，2，4} D．{﹣4，﹣2，1，2，4}解：∵A＝{﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，4}，B＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∴A∩B＝{﹣4，﹣2，﹣1，2，4}．故选：B．2．若复数z满足|z+i|＝1，则复数z在复平面内的点的轨迹为（）A．直线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线解：设复数z＝x+yi（x，y∈R），由题意可得|x+（y+1）i|＝1，则x2+（y+1）2＝1，故复数z在复平面内的点的轨迹为圆．故选：C．3．函数的定义域是（）A．[﹣2，+∞） B．[﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．[﹣2，﹣1）解：由题意可得，解得﹣2≤x＜﹣1或x＞﹣1．即函数的定义域为[﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞），故选：B．4．已知向量，且的夹角为60°，若，则k＝（）A．2 B．1 C． D．解：由题意可得因为的夹角为60°，所以．因为，所以所以2k﹣4＝0，解得k＝2．故选：A．5．已知双曲线的右焦点为F，A，B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，，且|AB|＝4b，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．2解：由双曲线，则其渐近线方程为，因为A，B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，，所以|AO|＝|BO|＝|FO|＝c，所以2c＝4b，所以c＝2b＝2，所以3c2＝4a2，所以e＝＝，故选：A．6．我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果内部小正方形的内切圆面积为，外部大正方形的外接圆半径为，直角三角形中较大的锐角为α，那么tan＝（）A． B． C． D．解：D由题意可知小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形短的直角边为x，则长的直角边为x+1，由勾股定理得x2+（x+1）2＝25，解得x＝3，所以，则．故选：D．7．已知a，b都是正实数，则“”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件解：由，得a＞b，则﹣a＜﹣b，从而3﹣a＜3﹣b，即；由，得a≥b，因为a＞0，b＞0，所以，所以．即．故“”是“”的充要条件．故选：A．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f'（x），且对任意实数x都有f（x）+f'（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex﹣1的解集为（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）解：设g（x）＝ex[f（x）﹣1]，则g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex．因为f（x）+f′（x）＞1，所以exf（x）+exf'（x）＞ex，即exf（x）+exf'（x）﹣ex＞0，故g（x）在R上单调递增．因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，所以g（0）＝﹣1，不等式exf（x）＞ex﹣1，即g（x）＞g（0），则x＞0．故选：B．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知椭圆的离心率是，则m的值可能是（）A．3 B．6 C． D．27解：当0＜m＜9时，，则，解得m＝6；当m＞9时，则，解得．故选：BC．10．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失.2011～2020年每年上半年的票房走势如图所示，则下列说法不正确的是（）A．2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加 B．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年 C．2018年上半年的票房收入增速最大 D．2020年上半年的票房收入增速最小解：由图知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，故A错误；自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有3年，故B错误；2017年上半年的票房收入增速最大，故C错误；2020年上半年的票房收入增速最小，故D正确．故选：ABC．11．已知函数f（x）是定义在[1﹣2a，a+1]上的偶函数．当0≤x≤a+1时，，若f（log2m）＞1，则（）A．a＝2 B．a＝3 C．m的值可能是4 D．m的值可能是6解：由题意可得1﹣2a+a+1＝0，则a＝2，故A正确，B错误；因为f（x）是偶函数，所以f（﹣2）＝f（2）＝1．当x∈[0，3]时，单调递增．因为f（x）是偶函数，所以当x∈[﹣3，0]时，f（x）单调递减．因为f（log2m）＞1，所以f（|log2m|）＞f（2）所以，解得或4＜m≤8，故C错误，D正确．故选：AD．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在棱DD1上，且2DE＝ED1，F是线段BB1上一动点，则下列结论正确的有（）A．EF⊥AC B．存在一点F，使得AE∥C1F C．三棱锥D1﹣AEF的体积与点F的位置无关 D．直线AA1，与平面AEF所成角的正弦值的最小值为解：如图，连接BD，可得BD⊥AC，BD⊥BB1，则AC⊥平面BDEF，所以AC⊥EF，故A正确；在AA1上取一点H，使得HA1＝2AH，连接EC1，EH，HB1，由2DE＝ED1，可得EH∥B1C1，EH＝B1C1，四边形B1C1EH为平行四边形，则C1E∥B1H，C1E＝B1H．若BF＝2B1F，易证四边形AHB1F为平行四边形，则AF∥B1H，AF＝B1H，从而AF∥C1E，AF＝C1E，故四边形AEC1F为平行四边形，于是AE∥C1F，故B正确；设AB＝a，三棱锥D1﹣AEF的体积与三棱锥F﹣AD1E的体积相等，则，即三棱锥D1﹣AEF的体积与正方体的棱长有关，与点F的位置无关，故C正确；以C1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C1﹣xyz，设AB＝3，则A（3，3，3），A1（3，3，0），E（3，0，2），F（0，3，t），从而．设平面AEF的法向量，则，令z＝3，得，从而，即直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为，因为0≤t≤3，所以10≤（t﹣3）2+10≤19，所以，即直线AA1与平面AEF所成角的正弦值的最大值为，故D错误．故选：ABC．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．在（x﹣3）5的展开式中，含x3的项的系数等于90．解：在（x﹣3）5的展开式中，通项公式为Tr+1＝x5﹣r（﹣3）r．令5﹣r＝3，解得r＝2，∴含x3的项的系数等于（﹣3）r＝90，故答案为90．14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为．解：∵等腰直角三角形的斜边长为4，∴直角边长为2，由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径r＝，母线长l＝4，则其表面积为，故答案为：．15．已知a＞0，b＞0，且a+b＝3，则的最小值是2+4．解：已知a＞0，b＞0，且a+b＝3，可得（a+b）＝1，则＝（a+b）（）＝（12++）≥×（+12）＝2+4．当且仅当时，等号成立．故的最小值是2+4．故答案为：2+4．16．2020年10月11日，全国第七次人口普查拉开帷幕，某统计部门安排A，B，C，D，E，F六名工作人员到四个不同的区市具开展工作，每个地方至少需安排一名工作人员，其中A，B安排到同一区市县工作，D，E不能安排在同一区市具工作，则不同的分配方法总数为216种．解：第一步，将6名工作人员分成4组，要求A，B同一组，D，E不在同一组，若分为3，1，1，1的四组，A，B必须在3人组，有种分组方法，若分为2，2，1，1的四组，A，B必须在两人组，有种分组方法，则一共有5+4＝9种分组方法；第二步，将分好的四组全排列，分配到四个区市县，有种．故总的分配方法有9×24＝216种，故答案为：216．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且成等差数列．（1）证明：数列{an}是等比数列；（2）求数列{anan+1}的前n项和Tn．【解答】证明：（1）∵成等差数列，∴3an＝2Sn+a1，当n≥2时，3an﹣1＝2Sn﹣1+a1，则3an﹣3an﹣1＝2an，即an＝3an﹣1，即．∵a1＝1，∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列；解：（2）由（1）可得，则，则，……故＝．18．第31届世界大学生夏季运动会定于2021年8月18日﹣29日在成都举行，成都某机构随机走访调查80天中的天气状况和当天到体育馆打乒乓球人次，整理数据如表（单位：天）：打乒乓球人次天气状况[0，100][100，200][200，300]晴天21320阴天4610雨天645雪天820（1）若用样本顿率作为总体概率，随机调查本市4天，设这4天中阴天的天数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．（2）假设阴天和晴天称为“天气好”雨天和雪天称为“天气不好”．完成下面的2×2列联表，判断是否有99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关．人次≤200人次＞200天气好天气不好参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828解：（1）由题意可知随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4．设一天为阴天的概率为P，则，故，，，，，．则X的分布列为：X01234P故；（2）由题意可得的2×2列联表：人次≤200人次＞200天气好2530天气不好205则．因为8.335＞6.635，所以有99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关．19．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝4，BC＝AD＝3，PA＝PB，E，F分别为PA，AD的中点，平面PAB⊥平面ABCD．（1）证明：EF∥平面PCD．（2）若PA＝2，求二面角E﹣CF﹣A的余弦值．【解答】（1）证明：因为E，F分别为PA，AD的中点，所以EF∥PD，因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF∥平面PCD．（2）解：取AB的中点O，连接OP．因为PA＝PB，所以OP⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以OP⊥平面ABCD．过点O在平面ABCD内作AB的垂线l，则PO，AB，l两两垂直．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，因为，所以E（1，0，1），F（2，3，0），C（﹣2，3，0），，设平面CEF的法向量为，所以，即，可取，显然平面CAF的一个法向量为，因为，且二面角E﹣CF﹣A为锐二面角，所以二面角E﹣CF﹣A余弦值为．20．在①且2sin2B＝3sinAsinC，②（sinA﹣sinC）2＝sin2B﹣sinAsinC，③△ABC的面积这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答．问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求sinB；（2）若a＝2c，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：（1）若选①，∵2sin2B＝3sinAsinC，∴2b2＝3ac．∵，∴a2+c2+2ac＝3b2，∴，∵0＜B＜π，∴若选②，∵（sinA﹣sinC）2＝sin2B﹣sinAsinC，∴（a﹣c）2＝b2﹣ac，∴b2＝a2+c2﹣ac，∵，∴，故．若选③，∵，∴，∵b2＝a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2﹣b2＝2acosB，∴，∴，故．（2）∵△ABC的面积为，∴ac＝8，∵a＝2c，∴c＝2，a＝4，∵b2＝a2+c2﹣2accosB，∴，即，故△ABC的周长为．21．已知动点M到点F（3，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小2．（1）求动点M的轨迹E的方程．（2）过点F作斜率为k（k≠0）的直线l'与轨迹E交于点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，证明：为定值．