2023-2024学年重庆市高一数学下学期第二次质量监测试卷附答案解析

-2024学年重庆市高一数学下学期第二次质量监测试卷（数学试卷共4页，考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在中，已知，则（

）A． B．2 C． D．3．已知平面向量，满足，，，则（

）A．2 B．4 C． D．4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足，则（

）A． B． C． D．5．要得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度6．若用平行于某圆锥底的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（

）A． B． C． D．7．镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺､国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位､国家3A级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高为7.5，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（

）（参考数据：）

A． B． C． D．8．已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下面关于空间几何体叙述正确的是（）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．正四棱柱都是长方体D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）

A．函数的最小正周期为B．函数是偶函数C．点是图象的一个对称中心D．函数在区间上单调递增11．中，下列说法正确的是（

）A．若，则为锐角三角形．B．若，则点的轨迹一定通过的内心．C．若为重心，则D．若点满足，则三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，，，则.13．我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，．该“阳马”的外接球的表面积．14．已知是边长为的正三角形，点P是的外接圆上一点，则的最大值是．四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知是夹角为的两个单位向量，.(1)求的值；(2)求与的夹角的余弦值．16．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形ABCD，其直观图如图所示，已知，，，且．(1)求原平面图形ABCD的面积；(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的体积．17．已知向量，函数(1)若，且，求的值(2)如，，求的值18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．已知a，b，c是的三个内角A，B，C的对边，且______．(1)求；(2)若，求的周长的取值范围．19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.(1)设函数，试求的伴随向量；(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；(3)已知将（2）中的函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使成立，求a的取值范围.1．B【分析】根据复数的除法运算求出，根据复数的几何意义即可得答案.【详解】由题意，故复数在复平面内对应的点在第二象限，故选：B2．C【分析】由题意求出A，结合正弦定理计算即可求解.【详解】由，得，又，由正弦定理，得，所以.故选：C3．A【分析】由求解.【详解】解：因为，满足，，，所以，，所以，故选：A4．B【分析】由已知可得，，可求.【详解】由，有，即，则，所以.故选：B5．A【分析】利用诱导公式化简得到，然后根据图象的平移变换判断即可.【详解】，，，所以的图象向右平移得到的图象.故选：A.6．B【分析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，利用圆锥侧面的面积公式：即可求解.【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积，截得的小圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积，而圆台的侧面积．故两者侧面积的比值．故选：B7．C【分析】由已知，在中应用正弦定理得，再由倍角余弦公式求，进而求镇国寺塔的高度.【详解】在中，则，所以，而，，所以，又，则.故选：C8．A【分析】由题意首先得函数在区间上的两个零点只能是，由此即可进一步列出不等式组求解.【详解】由题意，当时，，若函数在区间有且仅有2个零点，则这两个零点只能是，则当时，，解得.故选：A.9．CD【分析】由正棱锥的定义判断A，由棱台的定义判断B，由正四棱柱的定义判断C，由圆锥的定义判断D.【详解】对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误；对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，故B错误；对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确；对于D，根据圆锥的定义可知D正确.故选：CD10．AC【分析】根据给定的函数图象，求出的解析式，再逐项判断得解.【详解】观察函数图象，，函数的周期，，又，则，而，于是，，对于A，函数的最小正周期为，A正确；对于B，，函数不是偶函数，B错误；对于C，，因此点是图象的一个对称中心，C正确；对于D，当时，，而当时，函数取得最小值，因此函数在区间上不单调，D错误.故选：AC11．BCD【分析】根据可确定角为锐角，但不一定为锐角三角形，可判定A；根据单位向量、共线向量的概念可判断B；根据向量的加法运算可确定C；根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D．【详解】选项A：若，则，因此角为锐角，但不一定为锐角三角形，故A错误；选项B：因为分别表示方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致．若，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；选项C：若为的重心，设边的中点为，则，故C正确；

选项D：设的中点为，若点满足，则点为外心，于是有．又，则，故D正确．

故选：BCD．12．【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，垂直关系的坐标表示求解即得.【详解】由，，得，而，且，因此，解得，即，所以.故答案为：13．【分析】根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解.【详解】长方体的外接球即为四棱锥的外接球，因为，.长方体的对角线长为，则长方体的外接球的半径，该“阳马”外接球的表面积为.故答案为：14．2【分析】建立平面直角坐标系，设点,,,的坐标，求出的坐标，利用数量积的坐标表示和辅助角公式求得为关于的三角函数，结合正弦函数的性质即可求解．【详解】以外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，因为等边的边长为，则，设，则，，所以，，因为，所以所以的最大值为2．故答案为：215．(1)(2)【分析】（1）由题意，根据平面向量数量积的定义可得，结合数量积的运算律计算即可求解；（2）根据数量积的运算律和向量的几何意义计算求出，结合数量积的定义计算即可求解.【详解】（1）由题意知，，所以；（2）由题意得，，，由（1）知，所以，所以，即与的夹角的余弦值为.16．(1)(2)【分析】（1）根据直观图还原平面图形ABCD为一个直角梯形，再利用直角梯形的面积公式求解；（2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，再结合圆柱和圆锥的体积公式求解．【详解】（1）还原平面图形ABCD，如图，因为，，，且，所以，，，且，，原平面图形ABCD为直角梯形，故；（2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，如图，其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5，所以几何体的体积为17．(1)(2)【分析】（1）由及数量积的坐标运算得到，从而得到，即可求解；（2）由数量积的坐标运算及三角恒等变换化简得到，由题意求得，，利用基本关系式，求得的值，结合两角和的余弦公式，即可求解.【详解】（1）由题意，向量，，函数，因为，即，可得，所以，又因为，则，可得，所以.（2）由，因为，所以，又因为，所以，因为，可得，，所以.18．(1)(2)【分析】（1）选①，根据题意，利用正弦定理得到，利用余弦定理求得，即可求解；选②，根据题意，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解；选③，根据题意和正弦定理得得到，求得，即可求解；（2）由题意，得到，求得周长，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：选①，由，可得，因为及正弦定理，可得，所以，整理得，则，因为，所以．选②，由，可得，即，因为，可得，所以，即．选③，由，由正弦定理得，即，即，整理得，因为，，可得，即，因为，所以．（2）解：由，，可得，所以周长，又由，可得，又因为，可得，所以，所以，所以的周长的取值范围为.19．(1)(2)(3)【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由函数的伴随向量的定义可求得结果，（2）由定义求出，由得，再由同角三角函数的关系可求得，然后由化简可得答案，（3）先利用三角函数图象变换规律求出，由可求得，令，则可化为，然后利用二次函数的性质讨论可求得结果.【详解】（1），所以.（2）依题意，由得，，所以，所以.（3）将图象上各点的横