高考数学复习第八章立体几何初步第3节空间点直线平面之间的位置关系文市赛课公开课一等奖省名师获奖

第3节空间点、直线、平面之间位置关系1/33最新考纲1.了解空间直线、平面位置关系定义；2.了解能够作为推理依据公理和定理；3.能利用公理、定理和已取得结论证实一些空间位置关系简单命题.2/331.平面基本性质(1)公理1：假如一条直线上

在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过

三点，有且只有一个平面.(3)公理3：假如两个不重合平面有

公共点，那么它们有且只有一条过该点公共直线.知

识

梳

理两点不在同一条直线上一个3/332.空间点、直线、平面之间位置关系

直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l4/33独相关系图形语言

符号语言a，b是异面直线a⊂α

5/333.平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一条直线两条直线

.

等角定理：空间中假如两个角两边分别对应平行，那么这两个角

.4.异面直线所成角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成

叫做异面直线a与b所成角(或夹角).相互平行相等或互补锐角（或直角）6/33[惯用结论与微点提醒]1.空间中两个角两边分别对应平行，则两个角相等或互补.2.异面直线判定：经过平面内一点直线与平面内不经过该点直线互为异面直线.3.唯一性几个结论： (1)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (2)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.7/331.思索辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点任意一条直线.(

)(2)两两相交三条直线最多能够确定三个平面.(

)(3)假如两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(

)(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内全部直线与a异面.(

)诊

断

自

测8/33解析(1)假如两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点公共直线，故错误.(3)假如两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)因为a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交直线，故错误.答案(1)×

(2)√

(3)×

(4)×9/332.(必修2P52B1(2)改编)如图所表示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD中点，则异面直线B1C与EF所成角大小为(

)A.30° B.45° C.60° D.90°解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.答案

C10/333.(·贵阳调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n位置关系不可能是(

) A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行

解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n异面、相交(垂直是相交特例)，一定不平行.

答案

D11/334.(一题多解)(·全国Ⅰ卷)如图，在以下四个正方体中，A，B为正方体两个顶点，M，N，Q为所在棱中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行是(

)12/33解析法一

对于选项B，如图(1)所表示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中都有AB∥平面MNQ.所以A项不正确.图(1)13/33法二

对于选项A，其中O为BC中点(如图(2)所表示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.A项不正确.答案A图(2)14/335.如图，正方体底面与正四面体底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体六个面所在平面相交平面个数为________.解析

EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交侧面有4个.答案

415/33考点一平面基本性质及应用【例1】(1)(·山东卷)已知直线a，b分别在两个不一样平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”(

) A.充分无须要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也无须要条件解析由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b位置关系可能为平行、相交或异面.所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”充分无须要条件.答案

A16/33①证实：四边形BCHG是平行四边形；②C，D，F，E四点是否共面？为何？17/33∴四边形BCHG为平行四边形.∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.18/33规律方法

1.证实线共面或点共面惯用方法(1)直接法，证实直线平行或相交，从而证实线共面.(2)纳入平面法，先确定一个平面，再证实相关点、线在此平面内.(3)辅助平面法，先证实相关点、线确定平面α，再证实其余元素确定平面β，最终证实平面α，β重合.2.证实点共线问题惯用方法(1)基本性质法，普通转化为证实这些点是某两个平面公共点，再依据基本性质3证实这些点都在这两个平面交线上.(2)纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证实其余点也在该直线上.19/33【训练1】

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点.20/33证实(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1中点，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所表示.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点.21/33考点二判断空间两直线位置关系【例2】(1)若m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，则以下命题中正确是(

)

①若直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；

②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；

③已知平面α，β相互垂直，且直线m，n也相互垂直，若m⊥α，则n⊥β；

④若直线m，n在平面α内射影相互垂直，则m⊥n. A.② B.②③ C.①③ D.②④22/33(2)(·唐山一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱顶点或所在棱中点，则表示直线GH，MN是异面直线图形有________(填上全部正确答案序号).23/33解析

(1)对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；对于②，由线面垂直性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β或n与β相交，③错误；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成角为60°，故④错误.24/33(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，所以直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，所以GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN，所以GH与MN异面.所以在图②④中，GH与MN异面.答案

(1)A

(2)②④25/33规律方法

1.异面直线判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格推理，导出矛盾，从而否定假设，必定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A与平面内一点B连线和平面内不经过点B直线是异面直线.2.点、线、面位置关系判定，要注意几何模型选取，常借助正方体为模型，以正方体为根本直观感知并认识空间点、线、面位置关系.26/33【训练2】(1)(·哈尔滨一模)以下命题正确是(

) A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B.若一直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 (2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1位置关系是(

)A.相交但不垂直

B.相交且垂直C.异面

D.平行27/33解析

(1)A选项，两条直线可能平行，可能异面，也可能相交；B选项，一直线能够与两垂直平面所成角都是45°；易知C正确；D中两平面也可能相交.答案

(1)C

(2)D(2)连接D1E并延长，与AD交于点M，因为A1E＝2ED，可得M为AD中点，28/33考点三异面直线所成角【例3】

(·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角余弦值为(

)29/33解析将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所表示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，又AB1与AD1所成角即为AB1与BC1所成角θ，答案

C30/33规律方法

1.求异面直线所成角惯用方法是平移法，平移方法普通有三种