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文档简介

江西科技学院附属中学2023-2024学年高三适应性调研考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点,若为线段的中点,且(为坐标原点),则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.定义,已知函数,,则函数的最小值为()A. B. C. D.3.定义运算,则函数的图象是().A. B.C. D.4.若时,,则的取值范围为()A. B. C. D.5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A. B. C. D.6.若的二项展开式中的系数是40,则正整数的值为()A.4 B.5 C.6 D.77.已知双曲线的一个焦点为,且与双曲线的渐近线相同,则双曲线的标准方程为()A. B. C. D.8.已知数列中,,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为()A. B.C. D.9.设分别是双线的左、右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于两点(位于轴右侧),且四边形为菱形,则该双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.10.已知等差数列的前13项和为52,则()A.256 B.-256 C.32 D.-3211.已知分别为圆与的直径,则的取值范围为()A. B. C. D.12.己知四棱锥中,四边形为等腰梯形,,,是等边三角形,且;若点在四棱锥的外接球面上运动,记点到平面的距离为,若平面平面,则的最大值为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.对定义在上的函数,如果同时满足以下两个条件:(1)对任意的总有;(2)当,,时,总有成立.则称函数称为G函数.若是定义在上G函数,则实数a的取值范围为________.14.已知,满足约束条件,则的最小值为__________.15.若,则的最小值为________.16.已知,在方向上的投影为,则与的夹角为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-,0)、F2(,0).点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(m≠3).过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点,设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3,若k1+k3=2k2,试求m,n满足的关系式.18.(12分)为了检测某种零件的一条生产线的生产过程,从生产线上随机抽取一批零件,根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图,若尺寸落在区间之外,则认为该零件属“不合格”的零件,其中,s分别为样本平均数和样本标准差,计算可得(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)求样本平均数的大小;(2)若一个零件的尺寸是100cm,试判断该零件是否属于“不合格”的零件.19.(12分)某工厂,两条相互独立的生产线生产同款产品,在产量一样的情况下通过日常监控得知,生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.(1)从,生产线上各抽检一件产品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品,以(1)中确定的作为的值.①已知,生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元.若从两条生产线上各随机抽检件产品,以挽回损失的平均数为判断依据,估计哪条生产线挽回的损失较多?②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后,每件分别获利元、元、元,现从,生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测,结果统计如下图;用样本的频率分布估计总体分布,记该工厂生产一件产品的利润为,求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.20.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)设点,直线与曲线相交于,,求的值.21.(12分)某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了50名市民,他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表:月收入(单位:百元)频数51055频率0.10.20.10.1赞成人数4812521(1)若所抽调的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成频率分布直方图.(2)若从收入(单位:百元)在的被调查者中随机选取2人进行追踪调查,选中的2人中恰有人赞成“楼市限购令”,求的分布列与数学期望.(3)从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民,恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”,根据表格数据,判断这3名市民来自哪组的可能性最大?请直接写出你的判断结果.22.(10分)已知函数,.(1)当时,判断是否是函数的极值点,并说明理由;(2)当时,不等式恒成立,求整数的最小值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点,∴,则为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴,即.∴双曲线的离心率为故选C.点睛:本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质,考查了离心率的求解,同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用,对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).2、A【解析】

根据分段函数的定义得,,则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式,可求得函数的最小值.【详解】依题意得,,则,(当且仅当,即时“”成立.此时,,,的最小值为,故选:A.【点睛】本题考查求分段函数的最值,关键在于根据分段函数的定义得出,再由基本不等式求得最值,属于中档题.3、A【解析】

由已知新运算的意义就是取得中的最小值,因此函数,只有选项中的图象符合要求,故选A.4、D【解析】

由题得对恒成立,令,然后分别求出即可得的取值范围.【详解】由题得对恒成立,令,在单调递减,且,在上单调递增,在上单调递减,,又在单调递增,,的取值范围为.故选:D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题,导数的综合应用,考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题,可采用参变量分离法去求解.5、C【解析】

将圆锥的体积用两种方式表达,即,解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,则,又,故,所以,.故选:C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用,考查学生的运算求解能力、创新能力.6、B【解析】

先化简的二项展开式中第项,然后直接求解即可【详解】的二项展开式中第项.令,则,∴,∴(舍)或.【点睛】本题考查二项展开式问题,属于基础题7、B【解析】

根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程,结合焦点坐标求解.【详解】∵双曲线与的渐近线相同,且焦点在轴上,∴可设双曲线的方程为,一个焦点为,∴,∴,故的标准方程为.故选:B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程,易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.8、B【解析】

先根据题意,对原式进行化简可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立转化为恒成立,再利用函数性质解不等式即可得出答案.【详解】由题,即由累加法可得:即对于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故选B【点睛】本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用,属于综合性较强的题目,解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数,属于难题.9、B【解析】

由于四边形为菱形,且,所以为等边三角形,从而可得渐近线的倾斜角,求出其斜率.【详解】如图,因为四边形为菱形,,所以为等边三角形,,两渐近线的斜率分别为和.故选:B【点睛】此题考查的是求双曲线的渐近线方程,利用了数形结合的思想,属于基础题.10、A【解析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【详解】由,,得.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质,等差数列的等和性应用能快速求得结果.11、A【解析】

由题先画出基本图形,结合向量加法和点乘运算化简可得,结合的范围即可求解【详解】如图,其中,所以.故选:A【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用,数形结合思想,属于中档题12、A【解析】

根据平面平面,四边形为等腰梯形,则球心在过的中点的面的垂线上,又是等边三角形,所以球心也在过的外心面的垂线上,从而找到球心,再根据已知量求解即可.【详解】依题意如图所示:取的中点,则是等腰梯形外接圆的圆心,取是的外心,作平面平面,则是四棱锥的外接球球心,且,设四棱锥的外接球半径为,则,而,所以,故选:A.【点睛】本题考查组合体、球,还考查空间想象能力以及数形结合的思想,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由不等式恒成立问题采用分离变量最值法:对任意的恒成立,解得,又在,恒成立,即,所以,从而可得.【详解】因为是定义在上G函数,所以对任意的总有,则对任意的恒成立,解得,当时,又因为,,时,总有成立,即恒成立,即恒成立,又此时的最小值为,即恒成立,又因为解得.故答案为:【点睛】本题是一道函数新定义题目,考查了不等式恒成立求参数的取值范围,考查了学生分析理解能力,属于中档题.14、【解析】

作出约束条件所表示的可行域,利用直线截距的几何意义,即可得答案.【详解】画出可行域易知在点处取最小值为.故答案为:【点睛】本题考查简单线性规划的最值,考查数形结合思想,考查运算求解能力,属于基础题.15、【解析】

由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等号取得的条件。【详解】由题意,,当且仅当时等号成立,所以,当且仅当时取等号,所以当时,取得最小值.【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件:①各项都是正数;②和(或积)为定值;③等号取得的条件。16、【解析】

由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值,从而得角的大小.【详解】在方向上的投影为,即夹角为.故答案为:.【点睛】本题考查求向量的夹角,掌握向量投影的定义是解题关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)m-n-1=0【解析】试题分析:(1)利用M与短轴端点构成等腰直角三角形,可求得b的值,进而得到椭圆方程;(2)设出过M的直线l的方程,将l与椭圆C联立,得到两交点坐标关系,然后将k1+k3表示为直线l斜率的关系式,化简后得k1+k3=2,于是可得m,n的关系式.试题解析:(1)由题意,c=,b=1,所以a=故椭圆C的方程为(2)①当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,代入椭圆得,y=±不妨设A(1,),B(1,-)因为k1+k3==2又k1+k3=2k2,所以k2=1所以m,n的关系式为=1,即m-n-1=0②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1)将y=k(x-1)代入,整理得:(3k2+1)x2-6k2x+3k2-3=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)所以k1+k3======2所以2k2=2,所以k2==1所以m,n的关系式为m-n-1=0综上所述,m,n的关系式为m-n-1=0.考点:椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系,18、(1)66.5(2)属于【解析】

(1)利用频率分布直方图的平均数公式求解;(2)求出,即可判断得解.【详解】(1)(2)所以该零件属于“不合格”的零件【点睛】本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、(1)(2)①生产线上挽回的损失较多.②见解析【解析】

(1)由题意得到关于的不等式,求解不等式得到的取值范围即可确定其最小值;(2)①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可;②.由题意首先确定X可能的取值,然后求得相应的概率值可得分布列,最后由分布列可得利润的期望值.【详解】(1)设从,生产线上各抽检一件产品,至少有一件合格为事件,设从,生产线上抽到合格品分别为事件,,则,互为独立事件由已知有,则解得,则的最小值(2)由(1)知,生产线的合格率分别为和,即不合格率分别为和.①设从,生产线上各抽检件产品,抽到不合格产品件数分别为,,则有,,所以,生产线上挽回损失的平均数分别为:,所以生产线上挽回的损失较多.②由已知得的可能取值为,,,用样本估计总体,则有,,所以的分布列为所以(元)故估算估算该厂产量件时利润的期望值为(元)【点睛】本题主要考查概率公式的应用,二项分布的性质与方差的求解,离散型随机变量及其分布列的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20、(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由(为参数)直接消去参数,可得直线的普通方程,把两边同时乘以,结合,可得曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)把代入,化为关于的一元二次方程,利用根与系数的关系及参数的几何意义求解.【详解】解:(Ⅰ)由(为参数),消去参数,可得.∵,∴,即.∴曲线的直角坐标方程为;(Ⅱ)把代入,得.设,两点对应的参数分别为,则,.不妨设,,∴.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,明确直线参数方程中参数的几何意义是解题的关键,是中档题.21、(1),频率分布直方图见解析;(2)分布列见解析,;(3)来自的可能性最大.【解析】

(1)由频率和为可

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