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文档简介
陕西省西安市第七十中学2023-2024学年高考数学二模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知圆关于双曲线的一条渐近线对称,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明,此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承,普遍认为这四种发明对中国古代的政治,经济,文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名,随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明,能说出两种发明的有45人,能说出3种及其以上发明的有32人,据此估计该校三级的500名学生中,对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有()A.69人 B.84人 C.108人 D.115人3.已知集合A,B=,则A∩B=A. B. C. D.4.已知圆与抛物线的准线相切,则的值为()A.1 B.2 C. D.45.如图网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的所有棱中最长棱的长度为()A. B. C. D.6.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则()A.P1•P2= B.P1=P2= C.P1+P2= D.P1<P27.的展开式中的一次项系数为()A. B. C. D.8.如图,在平面四边形ABCD中,若点E为边CD上的动点,则的最小值为()A. B. C. D.9.若复数满足,则的虚部为()A.5 B. C. D.-510.已知的内角、、的对边分别为、、,且,,为边上的中线,若,则的面积为()A. B. C. D.11.已知函数满足当时,,且当时,;当时,且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则的取值范围是()A. B. C. D.12.已知,且,则的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,则__________.14.已知实数满足,则的最大值为________.15.将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里,其中甲、乙盒子均最多可放入2个球,丙、丁盒子均最多可放入1个球,且不同颜色的球不能放入同一个盒子里,共有________种不同的放法.16.根据如图所示的伪代码,输出的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.18.(12分)随着现代社会的发展,我国对于环境保护越来越重视,企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统,并制定如下方案:每年企业的环境监测费用预算定为1200万元,日常全天候开启3套环境监测系统,若至少有2套系统监测出排放超标,则立即检查污染源处理系统;若有且只有1套系统监测出排放超标,则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测,且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标,也立即检查污染源处理系统.设每个时间段(以1小时为计量单位)被每套系统监测出排放超标的概率均为,且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.(1)当时,求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率;(2)若每套环境监测系统运行成本为300元/小时(不启动则不产生运行费用),除运行费用外,所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施,问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)?并说明理由.19.(12分)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求B;(2)若的面积为,周长为8,求b.20.(12分)为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中,参考的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在的范围内,规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”,按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图,如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.(1)求的值;(2)填写下面列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关?文科生理科生合计获奖6不获奖合计400(3)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中,任意抽取2名学生,记“获得优秀作文”的学生人数为,求的分布列及数学期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)已知函数.(Ⅰ)求在点处的切线方程;(Ⅱ)已知在上恒成立,求的值.(Ⅲ)若方程有两个实数根,且,证明:.22.(10分)已知圆上有一动点,点的坐标为,四边形为平行四边形,线段的垂直平分线交于点.(Ⅰ)求点的轨迹的方程;(Ⅱ)过点作直线与曲线交于两点,点的坐标为,直线与轴分别交于两点,求证:线段的中点为定点,并求出面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
将圆,化为标准方程为,求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,.再根据求解.【详解】已知圆,所以其标准方程为:,所以圆心为.因为双曲线,所以其渐近线方程为,又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,所以.所以.故选:C【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性,还有双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.2、D【解析】
先求得名学生中,只能说出一种或一种也说不出的人数,由此利用比例,求得名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.【详解】在这100名学生中,只能说出一种或一种也说不出的有人,设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人,则,解得人.故选:D【点睛】本小题主要考查利用样本估计总体,属于基础题.3、A【解析】
先解A、B集合,再取交集。【详解】,所以B集合与A集合的交集为,故选A【点睛】一般地,把不等式组放在数轴中得出解集。4、B【解析】
因为圆与抛物线的准线相切,则圆心为(3,0),半径为4,根据相切可知,圆心到直线的距离等于半径,可知的值为2,选B.【详解】请在此输入详解!5、C【解析】
利用正方体将三视图还原,观察可得最长棱为AD,算出长度.【详解】几何体的直观图如图所示,易得最长的棱长为故选:C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题,其中利用正方体作衬托是关键,属于基础题.6、C【解析】
将三辆车的出车可能顺序一一列出,找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为:123、132、213、231、312、321方案一坐车可能:132、213、231,所以,P1=;方案二坐车可能:312、321,所以,P1=;所以P1+P2=故选C.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法,常用列举法得到各种情况下基本事件的个数,属于基础题.7、B【解析】
根据多项式乘法法则得出的一次项系数,然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论.【详解】由题意展开式中的一次项系数为.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理的应用,应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数.同时本题考查了组合数公式.8、A【解析】
分析:由题意可得为等腰三角形,为等边三角形,把数量积分拆,设,数量积转化为关于t的函数,用函数可求得最小值。详解:连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形,而,所以为等边三角形,。设=所以当时,上式取最小值,选A.点睛:本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分,需要选择合适的基底,再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。9、C【解析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虚部为.故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.10、B【解析】
延长到,使,连接,则四边形为平行四边形,根据余弦定理可求出,进而可得的面积.【详解】解:延长到,使,连接,则四边形为平行四边形,则,,,在中,则,得,.故选:B.【点睛】本题考查余弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,其中根据中线作出平行四边形是关键,是中档题.11、C【解析】
先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,分类利用图像列出有3个交点时满足的条件,解之即可.【详解】先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,如图所示,当时,对称后的图象不可能与在的图象有3个交点;当时,要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点,则,解得.故选:C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题,考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想,是一道中档题.12、A【解析】
由及得到、,进一步得到,再利用两角差的正切公式计算即可.【详解】因为,所以,又,所以,,所以.故选:A.【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】解:由题意可知:.14、【解析】
作出不等式组所表示的平面区域,将目标函数看作点与可行域的点所构成的直线的斜率,当直线过时,直线的斜率取得最大值,代入点A的坐标可得答案.【详解】画出二元一次不等式组所表示的平面区域,如下图所示,由得点,目标函数表示点与可行域的点所构成的直线的斜率,当直线过时,直线的斜率取得最大值,此时的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查求目标函数的最值,关键在于明确目标函数的几何意义,属于中档题.15、【解析】
讨论装球盒子的个数,计算得到答案.【详解】当四个盒子有球时:种;当三个盒子有球时:种;当两个盒子有球时:种.故共有种,故答案为:.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用,意在考查学生的理解能力和应用能力.16、7【解析】
表示初值S=1,i=1,分三次循环计算得S=10>0,输出i=7.【详解】S=1,i=1第一次循环:S=1+1=2,i=1+2=3;第二次循环:S=2+3=5,i=3+2=5;第三次循环:S=5+5=10,i=5+2=7;S=10>9,循环结束,输出:i=7.故答案为:7【点睛】本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)或.【解析】
(1)由抛物线的准线方程求出的值,确定左焦点坐标,再由点F到直线l:的距离为4,求出即可;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,运用根与系数关系和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.【详解】(1)抛物线的准线方程为,,直线,点F到直线l的距离为,,所以椭圆的标准方程为;(2)依题意斜率不为0,又过点,设方程为,联立,消去得,,,设,,,,线段AB的中垂线交直线l于点Q,所以横坐标为3,,,,平方整理得,解得或(舍去),,所求的直线方程为或.【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式,合理运用两点间的距离公式,考查计算求解能力,属于中档题.18、(1);(2)不会超过预算,理由见解析【解析】
(1)求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为,可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率;(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为元,则的可能取值为900,1500.求得,,求得其分布列和期望,对其求导,研究函数的单调性,可得期望的最大值,从而得出结论.【详解】(1)某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为.(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为元,则的可能取值为900,1500.,令,则当时,,在上单调递增;当时,,在上单调递减,的最大值为,实施此方案,最高费用为(万元),,故不会超过预算.【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率、期望,及运用求导函数研究期望的最值,由根据期望值确定方案,此类题目解决的关键在于将生活中的量转化为数学中和量,属于中档题.19、(1);(2)【解析】
(1)通过正弦定理和内角和定理化简,再通过二倍角公式即可求出;(2)通过三角形面积公式和三角形的周长为8,求出b的表达式后即可求出b的值.【详解】(1)由三角形内角和定理及诱导公式,得,结合正弦定理,得,由及二倍角公式,得,即,故;(2)由题设,得,从而,由余弦定理,得,即,又,所以,解得.【点睛】本题综合考查了正余弦定理,倍角公式,三角形面积公式,属于基础题.20、(1),,.(2)填表见解析;在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关(3)详见解析【解析】
(1)根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列,即可得解;(2)由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表,再用的计算公式运算即可;(3)获奖的概率为,随机变量,再根据二项分布即可求出其分布列与期望.【详解】解:(1)由频率分布直方图可知,,因为构成以2为公比的等比数列,所以,解得,所以,.故,,.(2)获奖的人数为人,因为参考的文科生与理科生人数之比为,所以400人中文科生的数量为,理科生的数量为.由表可知,获奖的文科生有6人,所以获奖的理科生有人,不获奖的文科生有人.于是可以得到列联表如下:文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.(3)由(2)可知,获奖的概率为,的可能取值为0,1,2,,,,分布列如下:012数学期望为.【点睛】本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望,考查学生的阅读理解能力和计算能力,属于中档题.21、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析【解析】
(Ⅰ)根据导数的几何意义求解即可.(Ⅱ)求导分析函数的单调性,并构造函数根据单调性分析可得只能在处取得最小值
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