信号与系统课件(郑君里版)第3章

第三章傅里叶变换

§3.1引言

§3.2周期信号的傅里叶级数分析

§3.3典型周期信号的傅里叶级数

§3.4傅里叶变换

§3.5典型非周期信号的傅里叶变换

§3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换§3.7傅里叶变换的基本性质

§3.8卷积特性（卷积定理）

§3.9周期信号的傅里叶变换

§3.10抽样信号的傅里叶变换

§3.11抽样定理频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。§3.1引言时域分析：信号或者系统模型的自变量为时间（t） 变换域分析：自变量为其他物理量频域分析：自变量为频率。相互关系密切发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。主要内容本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。线性时不变（LTI)系统分析方法基本思路：已知一些基本信号，将任意一个信号e(t)（或者我们需要研究的信号）用一个基本信号的线性组合来表示（信号分解），如果已知基本信号通过LTI系统的响应r(t)，那么任意信号通过系统的响应就可以用r(t)的线性组合来表示。这些基本信号应该具备下列性质：

1、由这类基本信号能构成相当广泛的一类信号

2、LTI系统对每一个基本信号的响应，在结构上因该十分简单，以便使系统对任意输入的响应有一个方便的表达式。§3.2周期信号傅里叶级数分析主要内容三角函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差一．三角函数形式的傅里叶级数

是一个完备的正交函数集t在一个周期内，n=0,1,...

由积分可知1.三角函数集2．级数形式在满足狄氏条件时，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数，其系数其他形式余弦形式正弦形式幅度频率特性和相位频率特性关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。可画出频谱图。周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。

频谱图幅度频谱相位频谱离散谱，谱线二．指数函数形式的傅里叶级数1．复指数正交函数集2．级数形式3．系数利用复变函数的正交特性说明三．两种系数之间的关系及频谱图利用欧拉公式幅频特性和相频特性相频特性幅频特性四．总结（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系（4）引入负频率五．周期信号的功率这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;表明：周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的。

绘成的线状图形，表示各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。证明对于三角函数形式的傅里叶级数平均功率

对于指数形式的傅里叶级数总平均功率=各次谐波的平均功率之和§3.3典型周期信号的傅里叶级数主要内容本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析主要讨论：频谱的特点，频谱结构，

频带宽度，能量分布。其他信号，如周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波余弦信号周期全波余弦信号一．频谱结构三角函数形式的谱系数指数函数形式的谱系数频谱特点1．三角形式的谱系数

是个偶函数2．指数形式的谱系数3．频谱及其特点(1)包络线形状：抽样函数(3)离散谱（谐波性）4．总结

矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性。二．频带宽度1.问题提出第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。2．频带宽度在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：

语音信号 频率大约为 300~3400Hz，音乐信号 50~15,000Hz，扩音器与扬声器有效带宽约为15~20,000Hz。3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真§3.4傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换的表示傅里叶变换的物理意义傅里叶变换存在的条件一．傅里叶变换：周期信号非周期信号连续谱，幅度无限小；离散谱1.引出0再用表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。0（1）频谱密度函数简称频谱函数单位频带上的频谱值频谱密度函数的表示2．反变换由复指数形式的傅里叶级数3．傅里叶变换对二．傅里叶变换的表示欧拉公式实部虚部实部虚部模相位实信号偶分量奇分量三．傅里叶变换的物理意义实函数欧拉公式积分为0解释

求和振幅正弦信号四．傅里叶变换存在的条件所有能量信号均满足此条件。§3.5典型非周期信号的

傅里叶变换矩形脉冲单边指数信号直流信号符号函数升余弦脉冲信号一．矩形脉冲信号幅度频谱：相位频谱：t0频宽：二．单边指数信号频谱图幅度频谱：相位频谱：三．直流信号不满足绝对可积条件，不能直接用定义求四．符号函数处理方法：tea-tea-做一个双边函数不满足绝对可积条件五．升余弦脉冲信号§3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换冲激函数冲激偶单位阶跃函数一．冲激函数冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求。比较二．冲激偶的傅里叶变换三．单位阶跃函数§3.7傅里叶变换的

基本性质主要内容对称性质

线性性质奇偶虚实性

尺度变换性质时移特性

频移特性

微分性质

时域积分性质意义

傅里叶变换具有唯一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；用性质求F(ω)；了解在通信系统领域中的应用。一．对称性质1．性质2．意义57例：直接定义求解？？？直接定义求解二．线性性质1．性质2．例三．奇偶虚实性设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然四．尺度变换性质意义(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。(2)a>1时域压缩，频域扩展a倍。a是非零常数尺度变换性质证明综合上述两种情况因为(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。（2）a>1时域压缩，频域扩展a倍。五．时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱，时移加尺度变换例：求图(a)所示三脉冲信号的频谱。解：因为脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。()():为的频谱函数数由时移性质知三脉冲函wFtf六．频移特性2．证明

1．性质

3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用。已知矩形调幅信号

解：因为频谱图一个未经调制的高频正弦信号为：振幅载频相位均为常数载波调幅载波振幅随调制信号的变化规律而变。调相载波相位随调制信号的变化规律而变。调频载波频率随调制信号的变化规律而变。脉冲调制经调制后的高频振荡信号叫已调波（调幅波、调频波、调相波和脉冲调制波），调频和调相均表现为总相角受到调变，因此统称为调角。二、调幅波其中是调制信号，K是信号强度与振幅增量间成比例关系的系数振幅按照调制信号的规律变化的高频振荡信号叫调幅波。调幅信号的频谱（载波技术）求：的频谱？

载波频率频移特性调幅信号都可看成乘积信号矩形调幅指数衰减振荡三角调幅求它们的频谱=？（略）七．微分性质时域微分性质频域微分性质或1．时域微分时域微分性质证明即2．频域微分性质或推广解：八．时域积分性质也可以记作：§3.8卷积特性（卷积定理）卷积定理卷积定理的应用一．卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。频域卷积定理卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。时域卷积定理的证明因此所以卷积定义时移性质交换积分次序二．应用求系统的响应。将时域求响应，转化为频域求响应。已知信号f(t)波形如下，其频谱密度为F(jω)，不必求出F(jω)的表达式，试计算下列值：

令t=0，则则分析：该信号是一个截断函数，我们既可以把该信号看成是周期信号已知信号求该信号的傅里叶变换。经过门函数的截取，被信号调制所得的信号。也可以看成是有以下两种解法:

方法一：利用频移性质方法二：利用频域卷积定理方法一：利用频移性质利用频移性质：由于利用欧拉公式，将化为虚指数信号，就可以看成是门函数被虚指数信号调制的结果。在频域上，就相当于对的频谱进行平移。

又因所以根据频移性质，可得方法二：用频域卷积定理将看成是信号经过窗函数的截取，即时域中两信号相乘根据频域卷积定理有Parseval’s定理与能量频谱从能量的角度来考察信号时域和频域特性间的关系Parseval’s定理：周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和。一般非周期信号属于能量有限信号Parseval定理：非周期信号在时域中求得的信号能量等于在频域中求得的信号能量。§3.9周期信号的傅里叶变换主要内容正弦信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换如何由F0(ω)求F(nω1)单位冲激序列的傅氏变换周期矩形脉冲序列的傅氏变换引言周期信号：非周期信号：周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？一．正弦信号的傅里叶变换由欧拉公式由频移性质同理已知频谱图二．一般周期信号的傅里叶变换由傅里叶级数的指数形式出发：其傅氏变换(用定义)几点认识三．如何由求比较式(1),(2)四．周期单位冲激序列的傅里叶变换频谱五．周期矩形脉冲序列的傅氏变换§3.10