大学物理课后习题湖南大学出版

第十三章静电场

0=arctan—=33.69°.

E?

P38.

13.1如图所

示，在直角三角形13.2半径为火的一段圆弧，圆心

Z8CZ）的/点处，有微、8角为60。，一半均匀带正电，另一半均

点电荷qi=J匀带负电，其电线密度分别为+2和U,

1.8x10",8点处有-求圆心处的场强.

点电荷为=图13.i［解答］在带正山/I

-4.8x10-9C,AC=电的圆弧上取一弧/XJpE

3cm,BC=4cm,试求。点的场强.元…的

［解答］根据点电荷的场强大小的公

式电荷元为dq=Ads,

在。点产生的场强大小为

d£=_L也=•招，

9224在0R-4TVE0R~4许）7?

其中1/（4万f0）=^=9.0x10N-m-C'.

点电荷/在。点产生的场强大小场强的分量为dEx=亚cos。，dEy=

为dEsin。.

对于带负电的/|

£,=—1--鼻圆弧，同样可得在O，之j％-

4兀AC?点的场强的两个分*

量.由于弧形是对称球J：

k8><19

=9X109XQ=1.8X104(N-C-1)的，x方向的合场强

(3x10-2)2

为零，总场强沿着》轴正方向，大小

为

方向向下.

E=2Ev=jdEsind

点电荷弦在。点产生的场强大小

j?r/61Jti6

」一fsin8d'=」一(一cos。)

玛二,1”,2%RJ2%R

0

24兀BC2

=9X109X4-8X109,=2.7X104(N-CI),。寺急

(4x10-2)2

方向向右.13.3均匀带电细棒，棒长a=

。处的总场强大小为20cm,电荷线密度为/l=3xl（y8c.m”,

求：

£=泻+6

（1）棒的延长线上与棒的近端小

=8cm处的场强；

=0.9713X104=3.245X104(NC-'),

（2）棒的垂直平分线上与棒的中

总场强与分场强E2的夹角为点相距4=8cm处的场强.

［解答］（1）建立坐标系，其中£=

tz/2=O.l(m),x=L+d\=O.18(m).由于棒是对称的，x方向的合场强为

在▲零，y分量为dEy=dE^sin。.

细棒上Xd/由图可知：尸=必/sin。，/=心cot。,

取一线工根二r曲Xj所以d/=gde/sin%,

d/,,£

兀oLl<-i—>1因此d£=—'sin。",

所带的,

4庇,2

电量为dq=2d/,

根据点电荷的场强公式，电荷元在P\总场强大小为

点产生的场强的大小为

7dqAd/4兀Eqd?_

aE.=k-=---------l=L

r-4唉(x-1)-

场强的方向沿x轴正向.因此P1点的

总场强大小通过积分得

EJ|d/

'4F」(X-/)2

_12LA②

x-l_L

2.11将数值代入公式得Pi点的场强为

----(----:------7

A兀£0x—Lx+L^.=9xl0-x2X0.1X3X10-

,0.08(0.082+0.12),/2

12口①

=5.27X103(N-C').

4^ex2-1?

0方向沿着y轴正向.

将数值代入公式得Pi点的场强为［讨论］(1)由于£=a/2,x=L+d\,

代入①式，化简得

2x0.1x3x10-8

=9x109x

,0.182-0.12„2aA1

E1——9

4麻4+。4麻o44/Q+1

=2.41X103(N-C-'),

方向沿着x轴正向.保持用不变，当4-8时，可得

(2)建立

E「一^,③

坐标系，y=

d?.

在细棒上这就是半无限长带电直线在相距为“

取一线元dl,的延长线上产生的场强大小.

所带的电量(2)由②式得

为„A,a

dq=Ad/,E=-------/“

'4阳WJd；+(a/2)2

在棒的垂直平分线上的尸2点产生的场

强的大小为21

_J_d/4在o&4+(1/2>

d.华

4%尸2

当Qf8时，得根据上一题的公式③可得半无限

长带电直线在延长上O点产生的场强

”占，④

大小为

2兀

这就是无限长带电直线在线外产生的E

4兀「R

场强公式.

如果d\=d2,则有大小关系Ey=由于两根半无限长带电直线对称放

25.置，它们在。点产生的合场强为

13.4一均匀Er=2Ecos—=-----cos—，

22TUER2

带电的细棒被弯成Q

如图所示的对称形方向沿着X轴负向.

状，试问e为何值当O点合场强为零时，必有

时，圆心o点处的

E=E,可得tanO/2=1,

场强为零.xx

［解答］设电荷线密度为九先计算因此/2=兀/4,

圆弧的电荷在圆所以6=7(.11.

心产生的场强.

在圆弧上取13.5一宽为b的无限长均匀带电

一弧元&•=R平面薄板，其电荷密111P

度为为如图所示.试丁一

d(p9

所带的电量为

(1)平板所在KI

dq=,

在圆心处产生的场强的大小为平面内，距薄板边缘

为a处的场强.

dE=心=〃-曰=,(2)通过薄板111g

r2R-4碇0R

儿何中心的垂直线图13$

由于弧是对称的，场强只剩x分量,上与薄板距离为d处的场强.

取x轴方向为正，场强为［解答］(1)建

dEx=-dEcos(p.立坐标系.在平面

总场强为薄板上取一宽度

_丸2尸一夕/2为dr的带电直

E=-------------[COS69(169

Y4FR京线，电荷的线密度

为

_几2*-6/2=bdx,

-----sin(p根据直线带电线的场强公式

4fR*

2点0厂

=-----sin-，

2%R2

得带电直线在P点产生的场强为

方向沿着X轴正向.

,「d2adx

再计算两根半无限长带电直线在dE=-----=----------------

27r2笳0s/2+Q-x)

其方向沿X轴正向.

由于每条无限长直线在P点的产2=ab,

生的场强方向相同，所以总场强为①式的场强可化为

b/2

丁-----1-----dx「Aln(l-\-b/a)

E=---------------------------

b/2+a-xIne^ab/a

当6—0时，薄板就变成一根直线，应

-ab/2

ln(/?/2+(7-x)用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公

-h/2式变为

CT

ln(l+-).①ET③

2兀£。a

场强方向沿X轴正向.这正是带电直线的场强公式.

(2)为了便于观察，将薄板旋(2)②也可以化为

转建立坐

dr2arctan(b/2d)

标系.仍然E;

27TEdbl2d

在平面薄Q

板上取一当6—0时，薄板就变成一根直线，应

宽度为dr用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公

的带电直式变为

线，电荷的

线密度仍然为

dZ=<rdx,

带电直线在。点产生的场强为这也是带电直线的场强公式.

当6―8时，可得

(Ucrdr

dE

2兀£/2码&+/严

E->—,④

z2/

沿z轴方向的分量为

这是无限大带电平面所产生的场强公

bcosSdr

dE,=dEcos6式.

2212

27TE0(b+X)'

设x=dtan。，贝ijdx=ddO/cos%,因此13.6(1)点电荷夕位于一个边

长为a的立方体中心，试求在该点电

d£_=d£cos6rd6

0=荷电场中穿过立方体一面的电通量是

2兀

多少？

积分得(2)如果将该场源点电荷移到立

arctan(6/2d)方体的的一个角上，这时通过立方体

E.=f各面的电通量是多少？

2兀

-arctan(/>/2t/)［解答］点电荷产生的电通量为

(T,b、①e=q/久.

=---arctan(——).②(1)当点电荷放在中心时，电通

7TE2d

0量要穿过6个面，通过每一面的电通

场强方向沿z轴正向.量为

［讨论］(1)薄板单位长度上电荷①i=0J6=夕/6比.

为(2)当点电荷放在一个顶角时,

电通量要穿过8个卦限，立方体的3(3)在外圆柱面之外做一同轴圆柱

个面在一个卦限中，通过每个面的电形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为

通量为零，所以

01=①J24=q/24£o；E=0,(r>&).

立方体的另外3个面的法向与电力线

垂直，通过每个面的电通量为零.13.9—厚度为d的均匀带电无限

大平板，电荷体密度为p,求板内外各

13.7面电荷密度为。的均匀无限点的场强.

大带电平板，以平板上的一点O为中［解答,方法一：高斯定理法.

心，R为半径尸~~~一(1)由于平板具有面对称性，因

作一半球面，"厂/此产生的场强的方向与平板垂直且对

如图所示.求/于。，/称于中心面：E=E'.

Z

通过此半球-----;-------/在板

面的电通量.图1'7内取一底

［解答］设想在平板下面补一个半面积为S,

球面，与上面的半球面合成一个球高为2r的

面.球面内包含的电荷为圆柱面作

q—兀R2。,为高斯

通过球面的电通量为面，场强

(Pe=q/e0,与上下两表面的法线方向平等而与侧

通过半球面的电通量为面垂直，通过高斯面的电通量为

①=①=兀叱。［2氢.

◎，=j>dS

13.8两无限长同轴圆柱面，半径=[EdS+fE-dS+fEdS

分别为Ri和&(凡>&),带有等量异JS]JS-)JSQ

号电荷，单位长度的电量为2和-九求

=ES+E'S+0=2ES,

⑴r<Ri；(2)Ai<r<^2;(3)r>

此处各点的场强.高斯面内的体积为V=2rS,

［解答］由于电荷分布包含的电量为q=pV=2prS,

具有轴对称性，所以电场根据高斯定理①e=q/久，

分布也具有轴对称性.可得场强为E=pr/feo，

(1)在内圆柱面内做(0WrW〃2).①

一同轴圆柱形高斯面，由(2)穿过平板作一底面积为S,

于高斯内没有电荷，所以高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面

E=0,(r</?,).的电通量仍为

(2)在两个圆柱之间做一长度为2ES,

I,半径为r的同轴圆柱形高斯面，高高斯面在板内的体积为V=Sd,

斯面内包含的电荷为q="包含的电量为q=pV=pSd,

穿过高斯面的电通量为根据高斯定理6=q/£o,

可得场强为E-pdlleQ

=巾E・dS=£EdS=ElTtrl,

(栏d/2).②

根据高斯定理B=q/£0,所以方法二：场强叠加法.

(1)

E=———,(7?i<r<7?2)•由于平板

2兀6r

的可视很多薄板叠而成的，以尸为界，

14

下面平板产生的场强方向向上，上面E4兀产2=----Kr3p

3

平板产生的场强方向向下.在下面板

中取一薄层dy,面电荷密度为P点场强大小为

da="dy,

产生的场强为的=da/2£o，

积分得

当场点尸在球外时，过P点作一

|四=2且③

半径为r的同心球形高斯面，根据高斯

J/22£02?2

定理可得方程

同理，上面板产生的场强为

E4^r2=--一兀R3P

了四二2包④£()3

/2£。2/2

P点场强大小为

r处的总场强为E=E\-E2=pr/Eo.

(2)在公式③和④中，令r=d/2,

3埒广

得

£2=0、E=Ei=pdUso,O点在大球体中心、小球体之

E就是平板表面的场强.外.大球体在O点产生的场强为零，

平板外的场强是无数个无限薄的小球在O点产生的场强大小为

带电平板产生的电场叠加的结果，是

3%,

均强电场，方向与平板垂直，大小等

03ea2

于平板表面的场强，也能得出②式.o

方向由。指向O'.

13.10一半径为R的均匀带电球。,点在小球体中心、大球体之

体内的电荷体/内.小球体在O'点产生的场强为零，

密度为P，若在大球在。点产生的场强大小为

球内挖去一块】片0

半径为的.：；：：：-］

小球体，如图所V；

示，试求两球心\……方向也由。指向O,.

。与。、处的电［证明］在小球内任一点P，大球和

场强度，并证明图13.10

小球空腔内的

电场为均强电场.

［解答］挖去一块小球体，相当于在

该处填充一块电荷体密度为叩的小球

体，因此，空间任何一点的场强是两

个球体产生的场强的叠加.

对于一个半径为R，电荷体密度为

"的球体来说，当场点尸在球内时，过

P点作一半径为r的同心球形高斯面，

根据高斯定理可得方程方向如图所示.

设两场强之间的夹角为仇合场强

的平方为［解答］两平面产生的电场强度大小

分别为

£2=/+£；+2E,£，.cos6

EA—2d2go=。/比，EB-。/2£O，

两平面在它们之间产生的场强方向相

222

=(-^-)(r+r>+2rr'cos^)>反，因此，总场强大小为

3£。

E=EA-EB=(T/2£O，

根据余弦定理得方向由/平面指向8平面.

两平面间的电势差为

a2=r2+r'2—2rr'cos(7T-6),

U=Ed=od/2£。，

当点电荷q从/面移到B面时，电场

所以E=-^-a,力做的功为

3£°

W=qU=qad/2eo.

可见：空腔内任意点的电场是一个常

量.还可以证明：场强的方向沿着。13.13一半径为R的均匀带电球

到。'的方向.因此空腔内的电场为匀面，带电量为Q.若规定该球面上电

强电场.势值为零，则无限远处的电势为多

少？

13.11如图所示，在4、8两点［解答］带电球面在外部产生的场

处放有电量分别为+夕和R的点电荷,强为

AB间距离为

2R,现将另一

4/卢

正试验电荷q

o从。点经由于

过半圆弧路径图13.11

移到C点，求移动过程中电场力所做Ui」］Edl=田厂

的功.RR

［解答］正负电荷在O点的电势的

和为零：

4磔。(

U()=0；

在。点产生的电势为

0

、一4兀4R

%q।q_—_q

4兀53R4兀£小6兀£QR

0

电场力将正电荷qo从。移到。所做当"=0时，U.

4TT£R

的功为Q

W=qoUoD=QO(UO-UD)=

伙)q/67r£()7?.13.14电荷。均匀地分布在半径

为R的球体内，试证明离球心r(«R)

13.12真空中有两块相互平行的处的电势为

无限大均匀带电平面Z和B.A平面的,0(3相一昌

电荷面密度为2°,B平面的电荷面密

―8兀£。炉•

度为两面间的距离为4.当点电荷

q从A面移到B面时，电场力做的功［证明］球的体积为忆=3力2,

为多少？

上下两表面的法线方向平等而与侧面

电荷的体密度为P=Q=2Q^.

V4兀R3垂直，通过高斯面的电通量为

利用13.10题的方法可求球内外0"［EdS

的电场强度大小为

EdS+E-dS+EdS=2ES.

E=j=0，r，”WR）；

3/4fR

高斯面内的体积为V=2yS,

包含的电量为q=pV=2pSy,

，（三）

E=0,rR.根据高斯定理

4^er2①e=q/瓜，

0可得场强为E=py/eo,

取无穷远处的电势为零，则尸处的（-b=y=h）.

电势为穿过平板作一底面积为S,高为2y

OOROO的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通

U=|Edl=j£1dr+j£dr量仍为地

①e=2ES,

高斯面在板内的体积为V=S2b,

包含的电量为q=pV=pS2b,

根据高斯定理①e=q/e。，

可得场强为E=pb/so,

（b=y）；

E=-pb/so,

（片-8）.

22

—^—r(R-r)+---图如左图所示.

8万火34g

（2）对于平面之间的点，电势为

0（3火2j）

8万£（尺

13.15在夕和y=6两个“无

限大”平面间均匀充满电荷，电荷体2》

密度为〃，其他地方无电荷.在y=0处。=0,所以C=0,因此电

（1）求此带电系统的电场分布,势为

iffllE-y图；2

（2）以y=0作为零电势面，求电。=-也，（/L

2£。

势分布，画E-y图.

［解答］平板电荷产生的场强的方这是一条开口向下的抛物线.

向与平板垂直且对称于中心面：E=当丁三6时，电势为

E',但方向相反.U=_fE-dl=-f辿dy=-辿y+C，

（1）在JJ4/

板内取一底在y=b处U=-pb2/2so,所以C=

E'「2

面积为S,高pb/2sQ9因此电势为

为々的圆柱S2J

,5,U=_曲y+画,（bWy）.

面作为高斯-bo'b

-y£（）2/

面，场强与Sf

2So;

E\

-_►;<b►S|

当yWY时，电势为E=(rl&o,

方向从Z指向B.

u-jEdl==心歹+c，

以B板为原点建

在^=・b处U=-pB12久，所以。=立坐标系，则0=0，

p届0,因此电势为rp=-0.04m,以=

-0.05m.

U=Wy+”,

(DP点和B板间

£()的电势差为

两个公式综合得

jEd=pdr

U\y\+^—»(H—d).

>>rp

_o-

这是两条直线.--(心一。)，

U-y图如右图所示.U-y图的斜率

就形成E-y图，在歹=±方点，电场强由于％=0,所以0点的电势为

度是连续的，因此，在U-y图中两条

直线与抛物线在歹=±6点相切.Up=1,xO04=L493xl()4(V).

P8.84x10*

(2)同理可得/板的电势为

6=2%)=L866xl()4(v).

［注意］根据电场求电势时，如果无

法确定零势点，可不加积分的上下限,13.17电量g均匀分布在长为2L

但是要在积分之后加•个积分常的细直线上，试求：

量.根据其他关系确定常量，就能求(1)带电直线延长线上离中点为

出电势，不过，线积分前面要加一个r处的电势；

负号，即(2)带电直线中垂线上离中点为

r处的电势；

U=-JEdl

(3)由电势梯度算出上述两点的

这是因为积分的起点位置是积分下场强.

限.［解答］电荷的线密度为2=

(1)建

13.16两块“无限大”平行带电立坐标系，.「

板如图所示，Z板带正电，8板带负电在细线上取

一线元61,工Kxr

并接地(地的电势为

零)，设/和8两板相隔A.所带的电量

5.0cm,板上各带电荷p为

<7=3.3xiO_6C-m-2,求:dq=M,

(1)在两板之间离根据点电荷的电势公式，它在Pl点产

〃板1.0cm处尸点的电图13.16生的电势为

势；

1Jd/

(2)A板的电势.dU1

r-l

［解答］两板之间的电场强度为

总电势为P2点的场强为

E私

i=dr

4兀

=「一二—]

4兀「LrVr2+A2(Vr2+A2+A)

=—―ln(r—/)

qi

4/Vr2+1}

方向沿着y轴正向.

(2)建立［讨论］习题13.3的解答已经计算

坐标系，在细了带电线的延长线上的场强为

线上取一线12LA

元d/,所带的'x2-Lr，

电量为dq=

Ad/,由于2〃=g,^x=r,就得公式①.

在线的垂直(2)习题13.3的解答还计算

平分线上的02点产生的电势为了中垂线上的场强为

.12LA

Ar,_4d/

2―4码(/+/2严'，4庇°d^d1+1}

积分得取4=心可得公式②.

由此可见，电场强度可用场强叠

U2=-^~[,\d/

4万£。"2+/2产加原理计算，也可以用电势的关系计

算.

=—^―ln(Vr2+/2+/)

13.18如图

4*o所示，一个均匀带

qyjr~+1}+L电，内、外半径分

=---In/一一二--------别为Ri和&的均

22

8庇Vr+L—L匀带电球壳，所带

q.J/+//+L电荷体密度为2，

-——-——In----------试计算：图13.18

4兀％Lr

(1)A,8两点的电势;

(3)Pi点的场强大小为(2)利用电势梯度求A,B两点

的场强.

［解答］(1)N点在球壳的空腔内，

空腔内的电势处处相等，因此/点的

=q(•J---L.电势就等于球心。点的电势.

8兀£°Lr—Lr+L

在半径为r的

球壳处取一厚度为

=_?__L_,”的薄壳，其体积

4TTEr2-I?，

0为

方向沿着x轴正向.dV=4?rJdr,

包含的电量为

dq="d/=4砍Jd〃，

在球心处产生的电势为

［讨论］过空腔中Z点作一半径为r

du。—=旦也，的同心球形高斯面，由于面内没有电

4的）厂£。

荷，根据高斯定理，可得空腔中A点

球心处的总电势为场强为

R,E=0,（rWRi）.

〃=旦上山-=白（&-火：），过球壳中8点作•一半径为尸的同心

£o«,（）

2£球形高斯面，面内球壳的体积为

这就是〃点的电势-=丁4（一一苗）,

过B点作一

球面，B的点电包含的电量为q=pV,

势是球面外的电根据高斯定理得方程4兀在=q/%,

荷和球面内的电可得8点的场强为

荷共同产生的.

（一与），（&

球面外的电E=g

荷在B点产生的电势就等于这些电荷

在球心处产生的电势，根据上面的推这两个结果与上面计算的结果相同.

导可得在球壳外面作一半径为r的同心球

形高斯面，面内球壳的体积为

5=白咫-嗡.4

25■=丁（每一可）,

球面内的电荷在B点产生的电势包含的电量为q=pV,

等于这些电荷集中在球心处在B点产根据高斯定理得可得球壳外的场强为

生的电势.球壳在球面内的体积为

q，（&-府

4a.2

4疫（/3£or

包含的电