2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）含答案及解析

2021年高考理数真题试卷(全国乙卷)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。(共12题；共60分)

1.设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=().

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

2.已知集合S={s|s=2n+l,nGZ},T={t|t=4n+l,nGZ},则SnT=()

A.0B.SC.TD.Z

3.已知命题p：3x£R,sinx<l；命题q：VxER,eIH21，则下列命题中为真命题的是()

A.pAqB.-ipAqC.pA-1qD.-«(pVq)

4.设函数f(x)=w，则下列函数中为奇函数的是()

A.f(x-l)-lB.f(x-l)+lC.f(x+l)-lD.f(x+l)+l

5.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，P为BiDi的中点，则直线PB与ADi所成的角为()

.nnnn

A-7b-7c.1D.-

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分

到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()

A.60种B.120种C.240种D.480种

7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的|倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移g个单位

长度，得到函数丫=5而仅-?)的图像，则f(x)=()

A.sin(尹工)B.sin(1+)C.sin(2%-^)D.sin(2x+^)

8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于\的概率为()

4

A7c23七9c2

A.-B.-C.-D.-

432329

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,

G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为"表距”，

GC和EH都称为"表目距"，GC与EH的差称为“表目距的差"。则海岛的高AB=().

友高义表距

A.事表高

表目距的差

表高又表距主吉

&D而丽一表同

表高义表距

C.+表距

表目距的差

表高X表距

”表目距的差

.设若二为函数2的极大值点，则()

10axo,Xaf(x)=a(x-a)(x-b)

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

22

.设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足则的

11BC：,+%=1（a>b>0）CP|pB|<2b,C

ab

离心率的取值范围是（）

A.白,1)B.[i,1)C.(0,争D.(0,i]

.设=，则()

12a2lnl.01,b=lnl.02,c=VfO4-1

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）

2

13.已知双曲线C：工_2=i（m>0）的一条渐近线为国+my=0,则C的焦距为______.

my

14.已知向量2=（1,3）,b=（3,4）,若（d-入B）工石，贝1」入=。

15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为g,B=60。，a2+c2=3ac,则b=.

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则

所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）

17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一

台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为元和夕，样本方差分别记为sj和S2?

(1)求元，y,si2,S22；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y-x>2J苧，则认为

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD_L底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点，且PB_LAM,

(1)求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值。

21

19.IBSn为数列｛an｝的前n项和，bn为数列｛Sn｝的前n项和，已知—+—=2.

3n°n

(1)证明：数列｛bn｝是等差数列；

(2)求｛an｝的通项公式.

20.设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点。

(1)求a；

(2)设函数g(x)="义，证明：g(x)<1.

xf(X，

21.己知抛物线Cx2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M：x?+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求P;

(2)若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求△PAB的最大值.

四、［选修4一4：坐标系与参数方程］(共1题；共10分)

22.在直角坐标系xOy中，©C的圆心为C(2,1),半径为1.

(1)写出。C的一个参数方程；

(2)过点F(4,1)作OC的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两

条直线的极坐标方程.

五、［选修4—5：不等式选讲］(共1题；共10分)

23.已知函数f(x)=|x-a|+1x+31.

(1)当a=l时，求不等式f(x)26的解集;

(2)若f(x)>-a,求a的取值范围.

答案解析部分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.C

【考点】复数代数形式的混合运算

设2=a—bi,2(z+z)+3(z—z)=5z—z=4a+6bi=4+6i,所以a=b=l,所以z=l+i»

故答案为：C

【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。

2.C

【考点】交集及其运算

当n=2k(kGZ)时,S={s|s=4k+l,kez},

当n=2k+l(k6Z)时,S={s|s=4k+3,fc6z}

所以7uS,所以SCT=T,

故答案为：C.

【分析】分n的奇偶讨论集合S。

3.A

【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用

因为命题P是真命题，命题q也是真命题，

故答案为：A

【分析】先判断命题p,q的真假，然后判断选项的真假。

4.B

【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质

因为可刈=霍=-1+京，所以函数的对称中心是(-1,；)，所以函数f(x)向右平移1个单位，再向上平

移1个单位后关于(0,0)中心对称，而四个选项中只有B满足条件，

故答案为：B。

【分析】将函数变形为f(x)==—1+等后，判断。

5.D

【考点】直线与平面所成的角

如图，连接AC,设AC与BD交于0,连接ODi,ADi,BP,设正方体的棱长为x,

因为DiP||0B||BD,且DiP=BC）WBD,所以四边形ODiPB是平行四边形，所以BP||ODi,所以N4D1。

11TT

即为所求的角，易证401平面BDDiBi,故4。lODj,又力。==#劣,所以

故答案为：D

【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。

6.C

【考点】排列、组合及简单计数问题

由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是：量程展=240,

故答案为：C.

【分析】利用排列与组合来求解。

7.B

【考点】由丫=人5沿（3X+巾）的部分图象确定其解析式

根据图象平移的规律可知，将y=y=sin（x-3）的图像上所有的点向左平移平移三个单位，纵坐标不变，得到

y=sin（x+卷）,再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就

得到函数丫=$也（|+勺，故答案为：B。

【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。

8.B

【考点】几何概型

不妨设这两个数为a,b且0<a<l,l<b<2,在平面直角坐标系内，a,b的取值，

表示为一个正方四个顶点：(0,1),(1,0),Q2),(0,2),且包括边界在内的正方形区域。作直线a+b=-,

满足a+b>:的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示，

4

直线a+b=彳与正方形的两个交点分别为©1),(0,今,则可计算事件(a+b>:R人svyf概率为P=1一

1_23

2—32，

故选B。

【分析】利用几何概型解答。

9.A

【考点】解三角形的实际应用

如图，连接DF,直线DF交AB于M,

则AB=AM+BM,设=a,ZBFM=£,则

黑一磊="F—MD=°F，因为tan°=g,tana=靠所以黑一噩="B（高一高）=MB燔

散=.（普），所以48=箫瞿+表高。

故答案为：A.

【分析】通过作辅助线，（如图），然后利用解直角形的知识来解答。

10.D

【考点】二次函数的图象，二次函数的性质

当a>0时，若a为极大值点,则（如图1）,必有a<b,ab<a2.故B,C项错;

图①

当a<0时，若a为极大值点，则(如图2),必有a>b>a2,故A错。

故答案为：D.

【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。

11.C

【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质

2222

依题意，点BOb),设P(x0,yo),则有|PBr=尤。2+(y0-f?)=a(l-号)+y0-2by0+b

—£加2-2by0+c2+2b2<4炉,移项并用十字相乘法得到：(%+Z))(-gy0+宅更)<0,

因为一bW%Wb,故+bN0,我一黄y()+W0怛成立，即一夕(―b)+，・-0怛成立，

据此解得Q2N2c2,给6(0,寺,

故答案为：Co

【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB『,再根据椭圆上任意点的纵坐标yo的取值范围，解相关

不等式得到结果。

12.B

【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质

构造函数f(x)=ln(l+x)-Vl4-2x+1,则b-c=f(0.02),则f/(x)=*-肃系当x>0时，1+

x=个(1+犷=J(i+2%+/>J(i+2x,

所以f«x)<0,所以f(x)在(0,+叼单调递减，所以f(0.02)<f(0),即b-c<0,所以b<c;

再构造函数g(x)=21n(l+%)-V1T4X+1,则a-c=g(0.01),而g/(x)=^-品衣=?需能?

当0W%<2对，V1+4%>V1+2x+x2=1+%,

所以g/(x)20,所以g(x)在(0,2)上单调递增，所以g(0.01)>g(0)=0,陇〉c,所以b<c<a,

故答案为：B

【分析】本题就在于构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，从而解题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.4

【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质

因为又曲线方程C：—y2=l(m>0),一条渐近线是+my=0,见/m=3，

所以双曲线方程是9-y2=1,2c=2VmTl=4,

故答案为：4

【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。

141I

【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系

因为2=(1,3),6=(3,4),=々一比=(1-3；1,3—4；1),(£1一劝)，6>所以(a-；lb)xb=0>

所以(3,4)x(1-34,3-42)=0=4=：,

故答案为：|-

【分析】先计算出展的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。

15.2V2

【考点】余弦定理，三角形中的几何计算

11nV3t-

S&ABC=-acsinB=-acsin60u=—ac=V3=ac=4，

224

于是b=Va2+c2-2accosB—y/a2+c2—ac—T2ac=2>/2

【分析】根据面积的值，计算出ac,再由余弦定理求解.

16.②⑤或③④

【考点】由三视图还原实物图

当俯视图为④时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；

当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，

故答案为：②⑤或③④

【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.(1)解：各项所求值如下所示

X=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0

9=卷(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3

s”2

X[(9.7-10.0)2+2X(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10,0)2+2X(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36,

sf=X[(10.0-10.3)2+3X(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2X(10.4-10.3)2+2X(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.

(2)由(1)中数据得y-x=0.3,2=0.34

、10

显然歹-元V2,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

7io

【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差

【分析】(1)先计算新旧样本平均数五歹，再直接用公式计算S12,S22;

(2)由(1)中的数据，计算得：y-x=0.3,2序1=0.34,显然歹-£<2鸟I,可得到答案。

18.⑴解：因为PDJ_平面ABCD,且矩形ABCD中，AD_LDC,所以以万口DC，炉分别为x,y,

z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyZo

设BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M(1,1,0),P(0,0,1),所以~PB=(t,1,-1),AM=

(,1,0),

因为PB±AM,所以PB•AM=-j+1=0，所以t=V2.所以BC=企。

(2)设平面APM的一个法向量为m=(x,y,z)由于=(-V2,0,1),则

meAP=一应％+z=0

{一V2

zn*AM=-yx+3,=0

令x=&,得记=(&,1,2)o

设平面PMB的一个法向量为泾=(x「，yt,z9,贝lj

IneCB=夜工2—0

n*PB=+"—z，=0

令=1,得n=(0,1,1).

所以cos(记，记)=箭=万片=史更，所以二面角A-PM-B的正弦值为回.

\m\\n\V7XV21414

【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角

【分析】(1)建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解；

(2)呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。

19.(1)由已知£+V=2,则#-=Sn(n>2)

Snbnbn+1

=用尸+V=2=2bn-i+2=2bn=bn-bn-i=7(n>2),bi=1

DnDn2Z

故｛bn)是以|为首项，为公差的等差数列。

(2)由(1)知bn=5+(n-1)3=手，贝VW=2=Sn=哼

222n+2n+1

3

n=l时,ai=Si=-

2Lcn+2n+11

nN2H寸,a=S-Sn-i=——-------=一小二；

nnn+1nn(n+l)

【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，数列递推式

【分析】(1)根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。

(2)呈上，先写出bn,再求｛bn｝前n磺的和Sn,再由与Sn的关系，进一步求得结果。

20.(1)[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)

当x=0时,[xf(x)]z=f(0)=lna=0,所以a二l

(2)由f(x)=ln(l・x),得xVl

当OVxVl时,f(x)=ln(l-x)<0,xf(x)<0；当x<0时，f(x)=ln(l-x)>0,xf(x)<0

故即证x+f(x)>xf(x),x+ln(l-x)-xln(l-x)>0

令l-x=t(t>0且t^l),x=l-t,即证l-t+lnt-(l-t)lnt>0

令f(t)=l-t+lnt-(l-t)lnt,

则f(t)=-l-1-[(-l)lnt+平]=-l+|+lnt-半=lnt

所以f(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故f(t)>f(1)=0,得证。

【考点】利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用

【分析】⑴先对函数y=xf(x)求导：[xf(x)/=x，f(x)+xF(x),因为x=0是方程的根，代入求得a值。

(2)首先由(1)写出函数f(x),并求其定义域，将问题转化为证明x+f(x)>xf(x),即证：x+ln(l-x)-xln(l-x)

>0,然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。

22

21.(1)解：焦点F(0,p到x+(y+4)=1的最短距离为号+3=4,所以p=2.

2

(2)抛物线y=^x,设A(xi,yi),B(X2,y2),P(xo,yo),贝U

XXxx

\PA=y=jXl(X-X1)+yi=\1=ll-y-i,

\PB-y=lx2x-y2，且益=一,一8丫0—15.

_1

xx

\PA，\PB都过点P(xo，yo),则严_产，°y"故[AB-yo=lo-y>即y=|xox-yo.

y°=.x2x。—y2,

_1_

y16

联立｛_-y°,得x?—2xOx+4yo=0,=^xo~yo.

x=4y

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所以lABl=Jl+*J4xA16yo=7T^.4-4y。，dP*B一百所以

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