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文档简介

山东省菏泽市重点高中2024届高考数学倒计时模拟卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在《数书九章》(1247)一书中提出“三斜求积术”,即:以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.其实质是根据三角形的三边长,,求三角形面积,即.若的面积,,,则等于()A. B. C.或 D.或2.一物体作变速直线运动,其曲线如图所示,则该物体在间的运动路程为()m.A.1 B. C. D.23.设等差数列的前项和为,若,,则()A.21 B.22 C.11 D.124.已知条件,条件直线与直线平行,则是的()A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示,在这一年中的水、电、交通开支(单位:万元)如图2所示,则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为()A. B. C. D.6.设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为()A. B. C. D.7.若sin(α+3π2A.-12 B.-138.设,则复数的模等于()A. B. C. D.9.的展开式中的系数为()A. B. C. D.10.若两个非零向量、满足,且,则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.11.若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是()A. B.C. D.12.曲线在点处的切线方程为,则()A. B. C.4 D.8二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.集合,,则_____.14.已知正项等比数列中,,则__________.15.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为________.16.在中,已知,则的最小值是________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数的图象在处的切线方程是.(1)求的值;(2)若函数,讨论的单调性与极值;(3)证明:.18.(12分)已知函数.(1)若在上是减函数,求实数的最大值;(2)若,求证:.19.(12分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,且过点.求椭圆的方程;已知是椭圆的内接三角形,①若点为椭圆的上顶点,原点为的垂心,求线段的长;②若原点为的重心,求原点到直线距离的最小值.20.(12分)已知函数,为实数,且.(Ⅰ)当时,求的单调区间和极值;(Ⅱ)求函数在区间,上的值域(其中为自然对数的底数).21.(12分)设数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.22.(10分)改革开放40年,我国经济取得飞速发展,城市汽车保有量在不断增加,人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识,某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人,进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.安全意识强安全意识不强合计男性女性合计(Ⅰ)求的值,并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率;(Ⅱ)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成2×2列联表,并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人,求抽到的女性人数的分布列及期望.附:,其中0.0100.0050.0016.6357.87910.828

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

将,,,代入,解得,再分类讨论,利用余弦弦定理求,再用平方关系求解.【详解】已知,,,代入,得,即,解得,当时,由余弦弦定理得:,.当时,由余弦弦定理得:,.故选:C【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系,还考查了对数学史的理解能力,属于基础题.2、C【解析】

由图像用分段函数表示,该物体在间的运动路程可用定积分表示,计算即得解【详解】由题中图像可得,由变速直线运动的路程公式,可得.所以物体在间的运动路程是.故选:C【点睛】本题考查了定积分的实际应用,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.3、A【解析】

由题意知成等差数列,结合等差中项,列出方程,即可求出的值.【详解】解:由为等差数列,可知也成等差数列,所以,即,解得.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质,考查了等差中项.对于等差数列,一般用首项和公差将已知量表示出来,继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大,如果能结合等差数列性质,可使得计算量大大减少.4、C【解析】

先根据直线与直线平行确定的值,进而即可确定结果.【详解】因为直线与直线平行,所以,解得或;即或;所以由能推出;不能推出;即是的充分不必要条件.故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定,熟记概念即可,属于基础题型.5、A【解析】

由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例,再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例,相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为.故选:A【点睛】本题考查折线图与柱形图,属于基础题.6、B【解析】

由圆过原点,知中有一点与原点重合,作出图形,由,,得,从而直线倾斜角为,写出点坐标,代入抛物线方程求出参数,可得点坐标,从而得三角形面积.【详解】由题意圆过原点,所以原点是圆与抛物线的一个交点,不妨设为,如图,由于,,∴,∴,,∴点坐标为,代入抛物线方程得,,∴,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题,解题关键是发现原点是其中一个交点,从而是等腰直角三角形,于是可得点坐标,问题可解,如果仅从方程组角度研究两曲线交点,恐怕难度会大大增加,甚至没法求解.7、B【解析】

由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为sinα+3π2=3故选B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式,灵活掌握公式是关键,属于基础题.8、C【解析】

利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.【详解】因为,所以,由复数模的定义知,.故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.9、C【解析】由题意,根据二项式定理展开式的通项公式,得展开式的通项为,则展开式的通项为,由,得,所以所求的系数为.故选C.点睛:此题主要考查二项式定理的通项公式的应用,以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能,属于中低档题,也是常考知识点.在二项式定理的应用中,注意区分二项式系数与系数,先求出通项公式,再根据所求问题,通过确定未知的次数,求出,将的值代入通项公式进行计算,从而问题可得解.10、A【解析】

设平面向量与的夹角为,由已知条件得出,在等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律可求得的值,即为所求.【详解】设平面向量与的夹角为,,可得,在等式两边平方得,化简得.故选:A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值,考查平面向量数量积的运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.11、C【解析】

由题可知,设函数,,根据导数求出的极值点,得出单调性,根据在区间内的解集中有且仅有三个整数,转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数,结合图象,可求出实数的取值范围.【详解】设函数,,因为,所以,或,因为时,,或时,,,其图象如下:当时,至多一个整数根;当时,在内的解集中仅有三个整数,只需,,所以.故选:C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题,还涉及利用导数求函数单调性和函数图象,同时考查数形结合思想和解题能力.12、B【解析】

求函数导数,利用切线斜率求出,根据切线过点求出即可.【详解】因为,所以,故,解得,又切线过点,所以,解得,所以,故选:B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,切线方程,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

分析出集合A为奇数构成的集合,即可求得交集.【详解】因为表示为奇数,故.故答案为:【点睛】此题考查求集合的交集,根据已知集合求解,属于简单题.14、【解析】

利用等比数列的通项公式将已知两式作商,可得,再利用等比数列的性质可得,再利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由,所以,解得.,所以,所以.故答案为:【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项,需熟记公式,属于基础题.15、40【解析】

先求出的展开式的通项,再求出即得解.【详解】设的展开式的通项为,令r=3,则,令r=2,则,所以展开式中含x3y3的项为.所以x3y3的系数为40.故答案为:40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16、【解析】分析:可先用向量的数量积公式将原式变形为:,然后再结合余弦定理整理为,再由cosC的余弦定理得到a,b的关系式,最后利用基本不等式求解即可.详解:已知,可得,将角A,B,C的余弦定理代入得,由,当a=b时取到等号,故cosC的最小值为.点睛:考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用,能正确转化是解题关键.属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)单调递减区间为,单调递增区间为,的极小值为,无极大值;(3)见解析.【解析】

(1)切点既在切线上又在曲线上得一方程,再根据斜率等于该点的导数再列一方程,解方程组即可;(2)先对求导数,根据导数判断和求解即可.(3)把证明转化为证明,然后证明极小值大于极大值即可.【详解】解:(1)函数的定义域为由已知得,则,解得.(2)由题意得,则.当时,,所以单调递减,当时,,所以单调递增,所以,单调递减区间为,单调递增区间为,的极小值为,无极大值.(3)要证成立,只需证成立.令,则,当时,单调递增,当时,单调递减,所以的极大值为,即由(2)知,时,,且的最小值点与的最大值点不同,所以,即.所以,.【点睛】知识方面,考查建立方程组求未知数,利用导数求函数的单调区间和极值以及不等式的证明;能力方面,考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力;试题难度大.18、(1)(2)详见解析【解析】

(1),在上,因为是减函数,所以恒成立,即恒成立,只需.令,,则,因为,所以.所以在上是增函数,所以,所以,解得.所以实数的最大值为.(2),.令,则,根据题意知,所以在上是增函数.又因为,当从正方向趋近于0时,趋近于,趋近于1,所以,所以存在,使,即,,所以对任意,,即,所以在上是减函数;对任意,,即,所以在上是增函数,所以当时,取得最小值,最小值为.由于,,则,当且仅当,即时取等号,所以当时,.19、;①;②.【解析】

根据题意列出方程组求解即可;①由原点为的垂心可得,轴,设,则,,根据求出线段的长;②设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,设:,,,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1,,由,则,,,得出,根据求解即可.【详解】解:设焦距为,由题意知:,因此,椭圆的方程为:;①由题意知:,故轴,设,则,,,解得:或,,不重合,故,,故;②设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1;设:,,,则,,则,则:,,代入式子得:,设到直线的距离为,则时,;综上,原点到直线距离的最小值为.【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点,结合运用向量,韦达定理和点到直线的距离的知识,属于难题.20、(Ⅰ)极大值0,没有极小值;函数的递增区间,递减区间,(Ⅱ)见解析【解析】

(Ⅰ)由,令,得增区间为,令,得减区间为,所以有极大值,无极小值;(Ⅱ)由,分,和三种情况,考虑函数在区间上的值域,即可得到本题答案.【详解】当时,,,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,故当时,函数取得极大值,没有极小值;函数的增区间为,减区间为,,当时,,在上单调递增,即函数的值域为;当时,,在上单调递减,即函数的值域为;当时,易得时,,在上单调递增,时,,在上单调递减,故当时,函数取得最大值,最小值为,中最小的,当时,,最小值;当,,最小值;综上,当时,函数的值域为,当时,函数的

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