专题14 图形的相似（讲义）（解析版）

专题14图形的相似核心知识点精讲1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3.掌握图形相似的概念，能用相似的性质将一个图形放大或缩小．【知识网络】考点一、比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的基本性质：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB.考点二、相似图形1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.

也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).

2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.

3.相似多边形的性质：

相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.

相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性质：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点诠释】结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；

(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.【题型1：比例线段】【典例1】下列四条线段成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A、，∴四条线段不成比例；B、，∴四条线段不成比例；C、，∴四条线段成比例；D、，∴四条线段不成比例．故选：C．1．若是成比例的线段，其中，，，则线段d的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的性质列出比例式是解题的关键．根据比例线段的性质列出比例式，然后代入相关数据即可解答．【详解】解：∵是成比例的线段，∴，∴，即，解得：．故选：D．2．已知成比例的四条线段的长度分别为，，，，且的三边长分别为，，，则是（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法判定【答案】C【分析】本题考查了成比例线段和勾股定理的逆定理，掌握成比例线段定理是解答此题的关键．根据题意求出的值；然后再根据勾股定理的逆定理，确定三角形的形状即可．【详解】解：四条线段成比例，解得：；的三边长分别为，，，，是直角三角形，故选：C．3．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了比例线段，熟练掌握利用比例尺灵活计算实际问题，掌握单位的换算，是解答本题的关键．根据比例尺图上距离实际距离，依题意设这条道路的实际长度为，则，由此得到答案．【详解】解：根据题意设：这条道路的实际长度为，则，解得：，故选：．【题型2：黄金分割点】【典例2】小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段，量得米，若点是线段的黄金分割点，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查黄金分割定理，解题关键是理解黄金分割的概念，熟悉黄金比的值．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比，由此进行求解即可．【详解】解：线段，点是黄金分割点，，．故选．1．如图，冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，它泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高，则玩偶嘴巴到脚的距离是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行列式计算即可解答．【详解】解：由题意得玩偶嘴巴到脚的距离为：故选：A．2．如图，C是线段的黄金分割点，，则下列结论中正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．根据黄金分割的定义得出，即可得到答案．【详解】解：C是线段的黄金分割点，，，故选D．3．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案．【详解】解：点是线段的黄金分割点，，，，故选：C．4．已知线段的长度为，点是线段的黄金分割点，则的长度为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查了黄金分割点的定义，根据黄金分割点的定义分两种情况求解，熟记黄金分割点的定义是解题的关键．【详解】解：设，则，当时，∵点是线段的黄金分割点，∴，即，解得，（不合，舍去），∴；当时，∵点是线段的黄金分割点，∴，即，解得，，∵，∴不合，舍去，∴；综上，或，故选：．【题型3：相似四边形】【典例3】如图，把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线EF对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（

）A．4：1 B． C． D．2：1【答案】B【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长，就可得到一个方程，解方程即可求得．【详解】根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD，∴，∵E为AD中点∴∴，∴，∴，∴原矩形纸片长与宽的比为故选B【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．1．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（

）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b【答案】B【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为，要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，∴．故选：B．【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．2．装裱一幅宽长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的部分的上下的宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为，则．【答案】10【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答．【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，∴，解得：．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握形似的图形对应边成比例．3．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为．【答案】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】∵矩形CDFE∽矩形ADCB，∴＝，即＝，整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．4．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为．【答案】【分析】设BG=x，则BE=x，即BC=x，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.【详解】设BG=x，则BE=x，∵BE=BC，∴BC=x，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x：x=：2.故答案为．【点睛】本题主要考查正方形的性质，图形相似的的性质.解此题的关键在于根据正方形的性质得到相关边长的比.【题型4：相似三角形的性质和判定的应用】【典例4】如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（

）米．A． B． C． D．2【答案】B【详解】解∶如图，过点P作于点Q，交于点M，设米，∵，∴米，根据题意得：四边形是矩形，∴，∴，∴，即，解得：，∴米，即车宽的长度为米．故选：B．1．如图，在中，点是的重心，过点作分别交边、于点，联结，那么．【答案】/【分析】联结并延长交于，根据重心的概念得到，根据平行线的性质、相似三角形的性质计算即可．【详解】解：先证明：重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍；由点为的重心，联结，，并延长交，，于，，，则由三角形中线性质可得：，，，，，则，，∴，则，即：，即：重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍；联结并延长交于，∵为的重心，∴，则，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴与的高相等，则，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念、相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．2．如图，G是的重心，延长交于点D，延长交于点E，P、Q分别是和的重心，长为6，则的长为．【答案】1【分析】连接，延长交于F点，连接，由G是的重心，可证是的中位线，从而可求出的长．利用三角形重心的定义和性质得到，，再证明得到即可．【详解】解：连接，延长交于F点，连接，如图，

∵G是的重心，∴D、E分别是的中点，∴是的中位线，∴．∵P点是的重心，∴F点为的中点，，∵Q点是的重心，∴点Q在中线上，，∵，，∴，∴，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．3．如图，某水平地面上建筑物的高度为，在点和点处分别竖立高是的标杆和，两标杆相隔，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上；从标杆后退到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一直线上，则建筑物的高是

【答案】54【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．根据题意可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】解：∵，解得：，解得：，即建筑物的高是．故答案为：54．4．如图，数学兴趣小组下午测得一根长为的竹竿影长是，同一时刻测量树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高，地面上的影长为．请你帮算一下，树高是．【答案】【分析】此题考查了平行投影，相似三角形的应用；在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．【详解】解：如图，设是在地面的影子，树高为，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，则，解得：，树在地面的实际影子长是，竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：，解得：，树高是．故答案为：．1．长春轨道交通6号线预计于2024年开通运营，在比例尺为的地图上，量得全线长约为，则轨道交通6号线的实际距离约为．【答案】30【分析】本题考查了比例尺，关键是理解比例尺的概念，掌握计算方法，但要注意单位的转换．根据比例尺图上距离：实际距离，按题目要求解答即可．【详解】解：根据比例尺图上距离：实际距离，得：轨道交通6号线的实际距离约为：，．故答案为：30．2．已知线段b是线段a，c的比例中项，，，那么cm．【答案】【分析】本题考查线段的比例中项，根据线段比例中项定义得到是解答的关键．根据线段的比例中项定义求解即可．【详解】解：∵线段b是线段a，c的比例中项，∴，又，，∴．故答案为：．3．“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是cm．【答案】【分析】本题考查了黄金分割，难度较小，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义，可得，然后进行计算即可解答．【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为，∴，故答案为．4．如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段的长度为cm．（结果保留根号，参考数据：黄金分割数：）

【答案】【分析】本题考查黄金分割点的应用，解题的关键是掌握黄金分割的定义．根据黄金分割的定义直接求解即可．【详解】解：∵C是弦靠近点B的黄金分割点，，∴，故答案为：．一、选择题1．如图，点为的重心，，，连接并延长交于点，作于点，过点作交于点，则的值为（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】首先根据30度所对的直角边等于斜边的一半得出．设，则．再根据重心的定义与性质以及直角三角形的性质得出，，然后利用平行线分线段成比例定理得出，进而求出．本题考查了三角形重心的定义与性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，难度适中．【详解】解：∵，，∴．设，则．∵点为的重心，，连接并延长交于点，∴，，∵，∴，∴，∴．故选：B．2．如图，点为的重心，若，则的值为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键是由三角形重心的性质和相似三角形的性质推出【详解】连接并延长交于,过作于M，过作于,

∴，，∴，∵是的重心，，，，，，，，故选:C.3．如图，在中，点在边上，连接交于点，若，则的面积与的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，利用平行线判定，结合计算选择即可．【详解】．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．4．如图，，相似比为2，已知的长为2，则的长为（）A．8 B． C．6 D．4【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据即可求解．【详解】解：∵，相似比为2，∴∵的长为2，∴，，故选：A5．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则称点P为△ABC的布洛卡点．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF＝90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ＝1，则EQ+FQ＝（）A．5 B．4 C．3+ D．2+【答案】D【分析】根据新定义得∠2=∠3,△DQF∽△FQE,运用对应边成比例即可解题.【详解】解：如下图,在等腰直角三角形DEF中,∠EDF＝90°，DE=DF,∠1=∠2=∠3,∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°,∴∠QEF=∠DFQ,∵∠2=∠3∴△DQF∽△FQE,∴===,∵DQ＝1，∴FQ=,EQ=2,∴EQ+FQ＝2+故选D.【点睛】本题考查了新定义和三角形的相似,属于简单题,通过新定义证明三角形的相似是解题关键.6．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，通过测量，，的长度，可以推算出水面以上部分的高度，这种测量原理，就是我们所学的（

）A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键．【详解】解：，∴，，，，∴根据测量，，的长度可以求出的长度，∴这种测量原理利用的是图形的相似．故选：D．7．如图，周末小新一家来到河北石家庄正定古城游元，一座古塔塔高为，小新在距离古塔的位置观看古塔时，与观看到的手中的景点地图的古塔缩略图感觉相同（），若缩略图中的古塔高为，则缩略图距离眼睛的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟练的利用相似三角形的性质建立方程求解是关键．【详解】解：由题意可得：，，，，∴，∴，∴，经检验符合题意；故选A8．如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P；根据题意易得，通过证明，求出，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解．【详解】解：过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P，∵水面离桌面的高度为，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，根据勾股定理可得：，∴，即此时点C离桌面的高度为．故选：C．二、解答题9．如图，在中，点分别在上，，，，与交于点.（1）求证：；（2）连接，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据已知条件先证明DG∥AC，EF∥AB，可得∠HGF=∠C，∠HFG=∠B，即可证明△HFG∽△ABC，从而可得结论；（2）连接DF，EG，DE，证明四边形DFGE和ADHE是平行四边形，即可证得结论.【详解】∵AB=3AD，BF=FG=CG，∴BD=2AD，BG=2CG，∴,∴DG∥AC,同理可得，EF∥AB，∴∠HFG=∠ABC，∠HGF=∠ACB，∴△HFG∽△ABC，∴，即；（2）连接，DE,如图所示，∵EF∥AB，∴,∵GF=FB∴=1，∴GH=HD，同理可证，FH=EH，∴四边形DFGE是平行四边形，∴DF∥EG，∴∠FDG=∠EGD，∴∠FHG=∠EGH+∠HEG，∵∠DHE=∠FHG，∴∠DHE=∠EGH+∠HEG=，由EF∥AB，DG∥AC,得四边形ADHE是平行四边形，∴∠A=∠DHE，∴【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握相减的判定与性质是解决此题的关键.10．如图1，是的高，点E，F分别在边和上，且．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．

(1)如图2，在中，，边上的高为8，在内放一个正方形，使其一边在上，点M，N分别在，上，则正方形的边长＝______；(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是第0层隔板的长度；①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度（单位：cm）随着层数（单位：层）的变化而变化．请完成下表：层数/层0123…隔板长度/cm120__________________…②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？【答案】(1)；(2)①105，90，75；②最多可以摆放40瓶葡萄酒.【分析】（1）过A点作于D，交于E，设正方形的边长为x，根据即可求出x的长，即正方形的边长.（2）①由等腰三角形的性质可得cm，由勾股定理可求得cm.设第1层、第2层、第3层的隔板长度分别为、、，由阅读理解的结论可分别列方程求解.②设第n层隔板的长度为，列出比例式，求出与n的关系式，则可求出最多可摆多少层，每层隔板的长度及每层摆多少瓶，最后求出一共可摆多少瓶即可.【详解】（1）

如图，作于D，交于E，由阅读理解的结论得，设正方形的边长为x，则，解得.故答案为：（2）

如图，作于D，

①设第1层，第2层，第3层隔板的长度的分别为，则，解得.，解得.，解得故答案为：105，90，75.②第n层隔板的长度的分别为，则，得，因此得，∴最多可摆7层，第1层可摆（瓶），第2层可摆（瓶），第3层可摆（瓶），第4层可摆（瓶），

第5层可摆（瓶），第6层可摆（瓶），第7层可摆（瓶），

共（瓶），∴该展台最多可摆40瓶葡萄酒.【点睛】本题主要考查了“相似三角形对应高的比等于相似比”，根据此比例式找出y与x之间的关系式是解题的关键.一、单选题1．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（）

A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可．【详解】∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．2．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．【详解】解：∵中，，∴，∵∴，故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．3．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解．【详解】解：∵，∴，∵点D为的中点，∴，∵，∴，①当点E为的中点时，如图，

∴，②当点E为的四等分点时，如图所示：

∴，综上所述：或2；故选D．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．4．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点，平分交于点．则下列结论中，正确的个数为（

）①；②；③当时，A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】①根据题意可得，则，即，又,即可判断①；②设正方形的边长为，根据勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质求得，进而求得，即可判断②；过点分别作的垂线，垂足分别为，根据②的结论求得，勾股定理求得，即可判断③．【详解】∵四边形是正方形，∴，∵∴∴即，又,∴，故①正确；设正方形的边长为，∵点为边的中点，∴,∴,在中，，∴在中，∴，∵∴∴∴∴∴∴，故②正确；∵，∴,如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，

又∵，∴四边形是矩形，∵是的角平分线，∴，∴四边形是正方形，∴∵∴设，则在中，，∵∴解得：∴，∴，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．5．（2023·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（结果精确到．参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】设雕像的下部高为xm，由黄金分割的定义得求解即可．【详解】解：设雕像的下部高为xm，则上部长为（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m，∴

∴，即该雕像的下部设计高度约是1.24m，故选：B．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．6．（2023·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为(

)A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6【答案】C【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=，再