四川省绵阳市江油市八校联考2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

四川省绵阳市江油市八校联考2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．2．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．3．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．64．（3分）a，b，c，为△ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a2＝c2﹣b2 D．a＝6k，b＝8k，c＝10k（k为正整数）5．（3分）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形6．（3分）下列有关一次函数y＝﹣3x+2的说法中，错误的是（）A．y的值随着x值的增大而减小 B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，2） C．当x＞0时，y＞2 D．函数图象经过第一、二、四象限7．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，M为AD中点，P为对角线BD上一动点，连接PA和PM，则PA+PM的值最小是（）A．3 B．2 C．3 D．68．（3分）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为（）A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺9．（3分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（）A．h B．h C．h D．h10．（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为（）A．1 B． C．2 D．2﹣211．（3分）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同．观察图中数据，你发现（）A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象 C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系12．（3分）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝5，③CF＝BD＝，④△COF的面积S△COF＝3，其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）计算÷3×的结果是．14．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE＝（点A，B，C，D，E是网格线交点）．15．（3分）甲乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳次数的统计结果如表：班级参加人数中位数方差平均数甲45109181110乙45111108110某同学分析如表后得到如下结论：①甲，乙两班学生平均成绩相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟跳绳≥110次为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大，则正确结论的序号是．16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是．17．（3分）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为．18．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积为．三、解答题（共46分）19．（6分）计算：（1）2；（2）÷+|1﹣|﹣．20．（6分）化简求值：（1）已知a＝﹣2，求代数式a3+4a2﹣a+6的值；（2）已知x＝﹣2，y＝+2，求的值．21．（8分）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：（1）通过计算判断△ABC的形状；（2）在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出▱ABCD的面积．22．（6分）图1是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高AB＝5cm，连杆BC＝30cm，灯罩CD＝20cm．如图2，转动BC、CD，使得∠BCD成平角，且灯罩端点D离桌面l的高度DH为45cm，求AH的距离．23．（6分）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线交AB于点E，交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AE＝5，AD＝8，试求四边形AEDF的面积．24．（6分）我们用[a]表示不大于a的最大整数，a﹣[a]的值称为数a的小数部分，如[2.13]＝2，2.13的小数部分为2.13﹣[2.13]＝0.13．（1）[]＝，[]＝，π的小数部分＝．（2）设的小数部分为a，则a+[]﹣＝．（3）已知：10+＝x+y，其中x是整数；且0＜y＜1，则x﹣y的相反数是．25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，若点B的坐标为（2，0），求点C的坐标．

参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．＝2，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．是最简二次根式，故本选项符合题意；C．＝，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．＝，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．2．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；B、与2不属于同同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【分析】根据平移的规律得到平移后直线的解析式为y＝2（x+3）+m﹣1，然后把原点的坐标代入求值即可．【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，解得m＝﹣5．故选：A．【点评】主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．4．（3分）a，b，c，为△ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a2＝c2﹣b2 D．a＝6k，b＝8k，c＝10k（k为正整数）【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．【解答】解：A、若a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；B、若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则最大角∠C＜90°，△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；C、若a2＝c2﹣b2，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；D、若a＝6k，b＝8k，c＝10k（k为正整数），则a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．5．（3分）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【分析】根据对角线互相平分可判断A；根据对角线不相等的平行四边形不是矩形可判断B，D；根据无法证明对角线互相垂直可判断C．【解答】解：A．∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，故本选项符合题意；B．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AC≠EF，∴四边形AECF不是矩形，故本选项不符合题意；C．∵四边形ABCD是矩形，∴不能证明AC⊥BD，∴不能证明AC⊥EF，故本选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AC≠EF，∴四边形AECF不是正方形，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定方法是解决问题的关键．6．（3分）下列有关一次函数y＝﹣3x+2的说法中，错误的是（）A．y的值随着x值的增大而减小 B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，2） C．当x＞0时，y＞2 D．函数图象经过第一、二、四象限【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：A、∵k＝﹣3＜0，∴当x值增大时，y的值随着x增大而减小，正确，不合题意；B、函数图象与y轴的交点坐标为（0，2），正确，不合题意；C、当x＞0时，y＜2，错误，合题意；D、∵k＜0，b＞0，图象经过第一、二、四象限，正确，不合题意；故选：C．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．7．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，M为AD中点，P为对角线BD上一动点，连接PA和PM，则PA+PM的值最小是（）A．3 B．2 C．3 D．6【分析】首先连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，易得△ACD是等边三角形，BD垂直平分AC，继而可得CM⊥AD，则可求得CM的值，继而求得PA+PM的最小值．【解答】解：连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，AD＝CD＝6，BD垂直平分AC，∴△ACD是等边三角形，PA＝PC，∵M为AD中点，∴DM＝AD＝3，CM⊥AD，∴CM＝＝3，∴PA+PM＝PC+PM＝CM＝3．故选：C．【点评】此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点P的位置是解此题的关键．8．（3分）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为（）A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺【分析】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：设绳索有x尺长，则102+（x+1﹣5）2＝x2，解得：x＝14.5．故绳索长14.5尺．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．9．（3分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（）A．h B．h C．h D．h【分析】根据图象得出，慢车的速度为，快车的速度为．从而得出快车和慢车对应的y与t的函数关系式．联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的坐标，即可得出间隔时间．【解答】解：根据图象可知，慢车的速度为．对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是4h，因此单程所花时间为2h，故其速度为．所以对于慢车，y与t的函数表达式为①．对于快车，y与t的函数表达式为y＝，联立①②，可解得交点横坐标为t＝3，联立①③，可解得交点横坐标为t＝4.5，因此，两车先后两次相遇的间隔时间是1.5，故选：B．【点评】本题主要考查根据函数图象求一次函数表达式，以及求两个一次函数的交点坐标．解题的关键是利用图象信息得出快车和慢车的速度，进而写出y与t的关系．10．（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为（）A．1 B． C．2 D．2﹣2【分析】由在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，可求得AE的长，由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，得到CB′＝2BE﹣BC＝2﹣2，根据平行线的性质得到∠FCB′＝∠B＝45°，又由折叠的性质得到∠B′＝∠B＝45°，即可得到结论．【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，∴AE＝，由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴S△ABB′＝BA•AB′＝2，S△ABE＝1，∴CB′＝2BE﹣BC＝2﹣2，∵AB∥CD，∴∠FCB′＝∠B＝45°，又由折叠的性质知，∠B′＝∠B＝45°，∴CF＝FB′＝2﹣．故选：C．【点评】此题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质，折叠的性质，此题难度不大．11．（3分）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同．观察图中数据，你发现（）A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象 C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系【分析】根据图中数据，进行分析确定答案即可．【解答】解：海拔越高大气压越低，A选项不符合题意；代值图中点（2，80）和（4，60），由横、纵坐标之积不同，说明图中曲线不是反比例函数的图象，B选项不符合题意；海拔为4千米时，图中读数可知大气压应该是60千帕左右，C选项不符合题意；图中曲线表达的是大气压与海拔两个量之间的变化关系，D选项符合题意．故选：D．【点评】考查读图，分析图中的数据，关键要读懂题意，会分析图中数据．12．（3分）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝5，③CF＝BD＝，④△COF的面积S△COF＝3，其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；④根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；②∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故正确；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG＝1，CF＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝，故错误；④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故错误；故选：B．【点评】考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）计算÷3×的结果是1．【分析】按从左往右依次计算，也可以把除法化为乘法计算．【解答】解：原式＝3÷3×＝×＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除法法则和运算顺序是解决本题的关键．14．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE＝45°（点A，B，C，D，E是网格线交点）．【分析】设小正方形的边长是1，连接AD，根据勾股定理求出AD、CD、AC的长度，求出AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，根据勾股定理的逆定理得出∠ADC＝90°，再求出答案即可．【解答】解：设小正方形的边长是1，连接AD，∵AD＝＝，CD＝＝，AC＝＝，∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，即△ADC是等腰直角三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAC+∠DAC+∠CDE＝180°，∴∠BAC+∠CDE＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，能灵活运用勾股定理和勾股定理的逆定理进行计算和推理是解此题的关键．15．（3分）甲乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳次数的统计结果如表：班级参加人数中位数方差平均数甲45109181110乙45111108110某同学分析如表后得到如下结论：①甲，乙两班学生平均成绩相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟跳绳≥110次为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大，则正确结论的序号是①②③．【分析】根据平均数、中位数和方差的意义分别进行分析，即可得出答案．【解答】解：从表中可知，平均数都是110，①正确；甲班的中位数是109，乙班的中位数是111，比甲的多，而平均数都要为110，说明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数，②正确；甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况大，所以③也正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是17．【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，∴AC2+BC2＝AB2，即（AB﹣2）2+82＝AB2，解得AB＝17．故答案为：17．【点评】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．17．（3分）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为6．【分析】根据折叠的性质求出AF＝CF，根据勾股定理得出关于CF的方程，求出CF，求出BF，根据面积公式求出即可．【解答】解：∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，∴FG是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，设AF＝FC＝x，在Rt△ABF中，有勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，即CF＝5，BF＝8﹣5＝3，∴△ABF的面积为×3×4＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，能得出关于x的方程是解此题的关键．18．（3分）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积为50．【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE＝∠BEC，可得BE＝BC＝10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠EBC＝30°，BE＝10，∴EF＝BE＝5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，∴∠BCE＝∠BEC，∴BE＝BC＝10，∴平行四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50，故答案为：50．【点评】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．三、解答题（共46分）19．（6分）计算：（1）2；（2）÷+|1﹣|﹣．【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；（2）先利用二次根式的除法法则和绝对值的意义计算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式＝4+2﹣＝4+2﹣2＝4；（2）原式＝+﹣1﹣（﹣）＝4+﹣1﹣2+＝1+2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．20．（6分）化简求值：（1）已知a＝﹣2，求代数式a3+4a2﹣a+6的值；（2）已知x＝﹣2，y＝+2，求的值．【分析】（1）根据a＝﹣2求出a+2＝，求出a2+4a＝1，把a3+4a2﹣a+6变成a（a2+4a）﹣a+6，再代入求出答案即可；（2）求出x+y和xy的值，再通分，根据完全平方公式进行计算，最后代入求出答案即可．【解答】解：（1）∵a＝﹣2，∴a+2＝，∴（a+2）2＝5，∴a2+4a＝1，∴a3+4a2﹣a+6＝a（a2+4a）﹣a+6＝a×1﹣a+6＝6；（2）∵x＝﹣2，y＝+2，∴x+y＝（﹣2）+（+2）＝2，xy＝（﹣2）×（+2）＝3﹣4＝﹣1，∴+＝＝＝＝﹣14．【点评】本题考查了分式的化简求值和二次根式的化简求值，能正确根据分式和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．21．（8分）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：（1）通过计算判断△ABC的形状；（2）在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出▱ABCD的面积．【分析】（1）分别计算三边长度，根据勾股定理的逆定理判断；（3）过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，根据平行四边形的面积解答即可．【解答】解：（1）由题意可得，AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，∵（）2+（2）2＝25＝52，即AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．（2）过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，直线AD和CD的交点就是D的位置，格点D的位置如图，∴▱ABCD的面积为：AB×AC＝×2＝10．【点评】此题考查直角三角形的判定和性质，关键是根据勾股定理的逆定理解答．22．（6分）图1是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高AB＝5cm，连杆BC＝30cm，灯罩CD＝20cm．如图2，转动BC、CD，使得∠BCD成平角，且灯罩端点D离桌面l的高度DH为45cm，求AH的距离．【分析】过B点作BE⊥DH于E，如图2，AB⊥l，DH⊥l，易得四边形ABEH为矩形，所以HE＝AB＝5cm，BE＝AH，则BD＝50cm，DE＝40cm，然后利用勾股定理计算出BE．【解答】解：过B点作BE⊥DH于E，如图2，∵AB⊥l，DH⊥l，∴四边形ABEH为矩形，∴HE＝AB＝5cm，BE＝AH，∵BD＝BC+CD＝30+20＝50（cm），DE＝DH﹣EH＝45﹣5＝40（cm），∴BE＝＝＝30（cm），∴AH的距离为30cm．【点评】本题考查了勾股定理的应用：在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．23．（6分）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线交AB于点E，交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AE＝5，AD＝8，试求四边形AEDF的面积．【分析】（1）由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD＝∠FDA，∴AF＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，可得OA＝4，根据勾股定理OE＝3，∴EF＝6，菱形ABCD的面积＝6×8÷2＝24．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠FDA∴AF＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）解：连接EF，与AD