考研数学二(线性代数)模拟试卷7(题后含答案及解析)

考研数学二（线性代数）模拟试卷7(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为()．A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值-1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选(B)知识模块：线性代数部分2．设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m>n，令r(AB)=r，则()．A．r>mB．r=mC．r<mD．r≥m正确答案：C解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n<m，所以选(C)知识模块：线性代数部分3．设n维列向量组α1，α2，…，αm(m0(因为C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A-1+B-1与A*+B*都是正定矩阵，选(D)知识模块：线性代数部分5．下列说法正确的是()．A．任一个二次型的标准形是唯一的B．若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C．若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D．二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的正确答案：D解析：(A)不对，如f=x1x2，令，则f=y12-y22；若令，则f=y12-9y22；(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．知识模块：线性代数部分填空题6．设A=，则(A+3E)-1(A2-9E)=_______．正确答案：解析：(A+3E)-1(A2-9E)=(A+3E)-1(A+3E)(A-3E)=A-3E=知识模块：线性代数部分7．设A=，则A-1=_______．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分8．设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则r(A)=_______．正确答案：2解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数部分9．设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+aα2+4α3，2a1+α2-α3，α2+α3线性相关，则a=_______正确答案：5解析：(α1+aα2+4α3，2a1+α2-α3，α2+α3)=(α1，α2，α3)因为α1，α2，α3线性无关，而α1+aα2+4α3，2α1+α2-α3，α2+α3线性相关，所以，解得a=5．知识模块：线性代数部分10．设方程组无解，则a=_______．正确答案：-1解析：因为方程组无解，所以r(A))≤3，于是r(A)r(A)=r()=2，因为r(A)≠r()，所以方程组无解，于是a=-1．知识模块：线性代数部分11．设A为n阶可逆矩阵，若A有特征值λ0，则(A*)2+3A*+2E有特征值_______．正确答案：解析：因为A可逆，所以λ0≠0，A*对应的特征值为，于是(A*)2+3A*+2E对应的特征值为知识模块：线性代数部分12．设的特征向量，则a=_______，b=_______．正确答案：2，3解析：由Aα=λα得解得λ=5，a=2，b=3．知识模块：线性代数部分13．设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为_______正确答案：解析：令β1=，β3=α3，正交规范化的向量组为知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14．设AX=A+2X，其中A=，求X．正确答案：由AX=A+2X得(A-2E)X=A，其中A-2E=因为｜A-2E｜=-1≠0，所以X=(A-2E)-1A，涉及知识点：线性代数部分15．设A为n阶矩阵，且Ak=O，求(E-A)-1．正确答案：Ek-Ak=(E-A)(E+A+A2+…+Ak-1)，又Ek-Ak=E，所以(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1．涉及知识点：线性代数部分16．设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关．正确答案：设有x1，x2，…，xn，使x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0，即-(x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0，因为α1，α2，…，αn线性无关，所以有，该方程组系数行列式Dn=1+(-1)n+1，n为奇数x1=…=xn=0α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关．涉及知识点：线性代数部分17．设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．正确答案：向量β为零向量．(反证法)不妨设β≠0，令k1α1+k2α2+…+knαn+k0β=0，上式两边左乘βT得k1βTα1+k2βTα2+…+knβTαn+k0βTβ=0因为α1，α2，…，αn与β正交，所以k0βTβ=0，即k0｜β｜2=0，从而k0=0，于是klal+k2α2…+knαn=0，再由α1，α2，…，αn线性无关，得k1=k2=…=kn=0，故α1，α2，…，αn，β线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以β=0．涉及知识点：线性代数部分18．参数a取何值时，线性方程组有无数个解?求其通解．正确答案：，原方程组的通解为X=k(-1，0，1)T+(2，-1，0)(k为任意常数)；当a=2时，方程组无解；当a=-2时，，原方程组的通解为X=k(1，1，1)T+(2，2，0)(k为任意常数)．涉及知识点：线性代数部分19．(1)a，b为何值时，β不能表示为α1，α2，α3，α4的线性组合?(2)a，b为何值时，J6『可唯一表示为α1，α2，α3，α4的线性组合?正确答案：令x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β(*)(1)当a=-1，b≠0时，因为r(A)=2≠r()=3，所以方程组(*)无解，即β不能表示为α1，α2，α3，α4的线性组合；(2)当a≠一1时，β可唯一表示为α1，α2，α3，α4的线性组合．涉及知识点：线性代数部分20．，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．正确答案：令αTβ=k，则A2=kA，设AX=λX，则A2X=λ2X=kλX，即λ(λ-k)X=0，因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．由λ1+…+λn=tr(A)且tr(A)=k得λ1=…=λn-1=0，λn=k．因为r(A)=1，所以方程组(0E-A)X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，即λ=0有n-1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．涉及知识点：线性代数部分设α为n维非零列向量，21．证明：A可逆并求A-1；正确答案：因为A2==E，所以A可逆且A-1=A．涉及知识点：线性代数部分22．证明：α为矩阵A的特征向量．正确答案：因为Aα==α-2α=-α，所以α是矩阵A的特征向量，其对应的特征值为-1．涉及知识点：线性代数部分23．设A=有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件．正确答案：由｜λE-A｜==(λ+1)(λ-1)2得λ1=-1，λ2=λ3=1，因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，所以r(E-A)=1，由E-A=得x+y=0．涉及知识点：线性代数部分24．用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x1x3-4x32为标准形．正确答案：f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x1x3-4x32=(x1+x2+x3)2-(x2+x3)2-4x32，则f(x1，x2，x3)=XTAXy12-y22-4y32涉及知识点：线性代数部分25．设A是n阶正定矩阵，证明：｜E+A｜>1．正确答案：因为A是正定矩阵，所以A的特征值λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此A+E的特征值为λ1+1＞1，λ2+1＞1，…，λn+1＞1，故｜A+E｜=(λ1+