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文档简介
第十章重积分二重积分及其计算重积分的应用三重积分及其计算上页下页返回结束1上页下页返回结束二重积分三重积分重积分应用定积分重积分二元函数在平面区域上的积分三元函数在空间区域上的积分:一元函数在直线段上的积分2问题的提出二重积分的性质第九章重积分第一节上页下页返回结束二重积分的概念与性质二重积分的概念31.曲顶柱体的体积一、问题的提出曲顶柱体:顶:曲面底侧面底为xoy面上区域D,侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,顶为曲面z=f(x,y)的立体D上页下页返回结束4曲顶柱体的体积顶:曲面底侧面(分割区域D,化整为零)x0yz(局部以平代曲,求局部体积的近似值)D
i(1)分割(2)近似(3)求和(积零为整)上页下页返回结束既表示小区域,也表示其面积)5曲顶柱体的体积顶:曲面底侧面x0yzD
i(3)求和(4)取极限(令分法无限变细)V=(分割区域D,化整为零)(局部以平代曲,求局部体积的近似值)(1)分割(2)近似(积零为整)上页下页返回结束6曲顶柱体的体积顶:曲面底侧面x0yzD
i(3)求和(4)取极限(令分法无限变细)V=(分割区域D,化整为零)(局部以平代曲,求局部体积的近似值)(1)分割(2)近似(积零为整)上页下页返回结束7曲顶柱体的体积x0yz(3)求和(4)取极限(令分法无限变细)V=(分割区域D,化整为零)(局部以平代曲,求局部体积的近似值)(1)分割(2)近似(积零为整)上页下页返回结束82.求平面薄片的质量设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点求平面薄片的质量.),(yx处的面密度为),(yxr,假定),(yxr在D上连续,(1)分割(分割区域D,化整为零)(2)近似将非均匀小薄片近似看作均匀小薄片,
上页下页返回结束既表示小区域,也表示其面积)9(3)求和(积零为整)(4)取极限(令分法无限变细)上页下页返回结束10两个问题的共性:(1)解决问题的步骤相同:(2)所求量的结构式相同分割、近似、求和、取极限曲顶柱体体积:平面薄片的质量:上页下页返回结束11定义将区域D
任意分成n个小区域任取点若存在常数I,使得可积
,在D上的二重积分.积分和积分区域被积函数被积表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数.上页下页返回结束二、二重积分的概念12注:(1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是任意的.(2)当被积函数f(x,y)在积分区域D上连续时,二重积分必存在.(3)在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分面积元素为D故二重积分可写为区域D,这时因此,在直角坐标系下,上页下页返回结束13曲顶柱体体积:平面薄板的质量:由二重积分定义知:上页下页返回结束14二重积分的几何意义当f(x,y)>0时,二重积分是曲顶柱体的体积.当f(x,y)<0时,二重积分是曲顶柱体的体积的负值.若f(x,y在区域内有正有负,二重积分是xoy面上方曲顶柱体的体积与下方曲顶柱体的体积的差值.上页下页返回结束15性质1当为常数时,性质2(二重积分与定积分有类似的性质)三、二重积分的性质以上两性质统称为线性性质.上页下页返回结束16性质3对区域具有可加性性质4若为D的面积,性质5若在D上特殊地则有上页下页返回结束17性质6(估值定理)性质7(二重积分中值定理)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,s
为D的面积,则设函数f(x,y)在闭区域D上连续,s
为D的面积,则在D上至少存在一点(x,h),使得上页下页返回结束18由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点使得因此上页下页返回结束证:因为函数f(x,y)在闭区域D上连续,所以函数f(x,y)在闭区域D上有最大值M和最小值m,19D位于x轴上方的部分为D1,在区域D上在闭区域D上连续,D关于x轴对称,则则上页下页返回结束f(x,y)关于y为偶函数,重要技巧:f(x,y)关于y为奇函数,设函数20上页下页返回结束在闭区域D上连续,D关于y轴对称,D位于y
轴右方的部分为D1。同理,若函数在区域D上则f(x,y)关于x为奇函数,则f(x,y)关于x为偶函数,21在第一象限部分,上页下页返回结束则22又例1.估计积分
的值,解:在区域D上,由于其中D是矩形域所以即:上页
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