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第一节二重积分的概念及性质一、二重积分的概念1、引例（1）计算曲顶柱体的体积（如图）设曲面且在D第九章重积分解:step1分割：任意划分D为n个小区域step2近似：step3求和:定义域V=step4取极限（2）计算平面薄板的质量设有一平面薄板占有xoy面上闭区域D,在点P(x,y)的面密度为且在D上连续解：step1分割：DXYOstep2近似：step3求和：step4取极限：上面引例可以看到：两个引例的实际意义不同，但都归结为同一形式的和式极限。我们把这种和式的极限抽象为二元函数在平面闭区域D上的二重积分的定义。2、定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界

函数。如果和式极限从在，则称此极限值为f(x,y）在区域D上的二重积分，记作，即积分区域被积函数积分变量面积元素积分符号因而，引例（1）体积被积表达式引例（2）质量注(1）极限存在指：任意分割、任意取点、

和式极限值相等

在直角坐标系下，若用平行与x轴，y轴的直线族划分D,则XYO从而（3）二重积分为数，与变量符号无关即故记

3、二重积分存在的充要条件如果f(x,y)在闭区

域D上连续，则4、二重积分的几何意义（以D为底，f(x,y)未定的曲顶柱体的体积）（曲顶柱体体积的负值）一般的曲

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