第五节极限运算法则07872

第五节

极限运算法则一、无穷小与无穷大二、极限的运算法则1一、无穷小与无穷大

1.无穷小1)定义:若,则称为x

x0时的无穷小(infinitesimal).

若,则称为x

时的无穷小(infinitesimal).

极限为零的变量称为无穷小.2例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数;3.无穷小是一类极限,与自变量的变化过程有关.32)无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性引理4意义1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);53)无穷小的运算性质:定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.6注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.7定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证8推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小92.无穷大在自变量某变化过程中,|f(x)|无限增大，则称f(x)在自变量该变化过程中为无穷大.定义

若对任意给定的M>0,总存在

>0,当定义域中的x满足不等式0<|x-x0|<

(或|x|>X),对应函数值f(x)满足不等式|f(x)

|>M,则称

f(x)为

x

x0(x

)时的无穷大(infinity).10定义中|f(x)

|>M换成

f(x)

>M(或

f(x)<-M)即有特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意11注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差与商是没有确定的结果的，此类问题是未定式的问题4.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.12不是无穷大．无界，13证14无穷大几何意义：铅直渐近线(verticalasympotote)153.无穷大与无穷小的关系定理3

在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.16二、极限的运算法则

1.极限运算法则定理17证由无穷小运算法则,得18有界，19推论1即：常数因子可以提到极限记号外面.极限运算的线性性质：极限运算的线性性质可推广到有限个函数的情形.20推论2有限个函数乘积的极限等于各函数极限的乘积.推论212.求极限方法举例例1解22小结:23解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例224解例3(消去零因子法)25例4解无穷小因子分出法:

以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.26例4解27例4解28小结:29例5解先变形再求极限.30例6解(利用无穷小的性质)31例7解左右极限存在且相等,(利用左右极限求分段函数在分段点处的极限)32例8解33例8(2)解34例8(3)解(分母或分子有理化)35解36解37例11解38例11解39例12解40定理（复合函数的极限运算法则）设，41意义1.极限符号可以与函数符号互换;4243三、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.441.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;1)多项式与分式函数代入法求极限;2)消去零因子法求极限;3)无穷小因子分出法求极限;4)利用无穷小运算性质求极限;5)利用左右极限求分段函数在分段点处的极限;6)分母或分子有理化.45思考题46思考题解答不能保证.例有47一、填空题:练习题4849练习题答案50思考题在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？51思考题解答没有极限．