第四讲文艺复兴时期的数学

数学哲学与数学史第四讲文艺复兴时期的数学1中世纪的欧洲

时代背景公元476年，西罗马帝国在各种蛮族的猛攻下灭亡。在旧帝国的不同部分不久便形成了一些封建社会，这意味着欧洲各民族国家的长期发展过程的肇始。然而，在随后五个世纪中，欧洲文化的总体水平很低。商品经济的发展为政教分离和宗教改革奠定了基础。2010年8月2文艺复兴时期的数学中世纪的欧洲

时代背景西罗马帝国灭亡后至文艺复兴以前的时代被称为“中世纪”。此时，欧洲各地的封建政权利用教会势力和宗教垄断社会文化，这一时期（公元5－11世纪）被史学家称为“最黑暗的时期”。天主教会成为欧洲社会的绝对势力。封建宗教统治，使一般人笃信天国，追求来世，从而淡漠世俗生活，对自然不感兴趣。教会宣扬天启真理，并拥有解释这种真理的绝对权威，导致了理性的压抑，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态。2010年8月3文艺复兴时期的数学中世纪的欧洲

数学成就不过因宗教教育的需要，也出现一些水平低下的算术和几何教材。罗马人博埃齐根据希腊材料用拉丁文选编了《几何》、《算术》等教科书，《几何》内容仅包含《几何原本》的第一卷和第三、四卷的部分命题，以及一些简单的测量术；《算术》则是根据400年前尼科马科斯的一本浅易的著作编写的。2010年8月4文艺复兴时期的数学中世纪的欧洲

数学成就古代学术传播西欧的线路图波斯希腊印度中国唐汉中国宋元巴格达北非西西里意大利西班牙西欧可以说12世纪是欧洲数学的翻译时代。最伟大的翻译家杰拉德将90多部阿拉伯文著翻译成拉丁文，其中包括托勒玫的《大成》、欧几里得的《原本》、阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》以及阿基米德的《圆的度量》。2010年8月5文艺复兴时期的数学中世纪的欧洲

数学成就欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是斐波那契(1170-1250)。代表作《算经》，内容涉及整数和分数算法，开方法，二次和三次方程以及不定方程。特别是，书中系统介绍了印度－阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响。2010年8月6文艺复兴时期的数学中世纪的欧洲

数学成就1228年的《算经》修订版还载有如下“兔子问题”：某人在一处有围墙的地方养了一对兔子，假定每对兔子每月生一对小兔，而小兔出生后两个月就能生育。问从这对兔子开始，一年内能繁殖成多少对兔子？《算经》可以看作是欧洲数学经历了漫长的黑夜之后走向复苏的号角。2010年8月7文艺复兴时期的数学1个月1个月1个月1个月2010年8月8文艺复兴时期的数学中世纪的欧洲

数学成就欧洲数学复苏的过程十分曲折，从12世纪到15世纪中叶，教会的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中的消极成分来阻抗科学的进步。欧洲数学真正的复苏，要到15、16世纪。在文艺复兴的高潮中，数学的发展与科学的革新紧密结合在一起，数学在认识自然和探索真理方面的意义被文艺复兴的代表人物高度强调。2010年8月9文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

代数学欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕。主要包括三、四次方程求解与符号代数的引入两个方面。2010年8月10文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

代数学帕乔利在1494年指出，对一般的三次方程还没有得到代数解，但整个15世纪和16世纪早期，许多数学家都在探索这个问题。2010年8月11文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

代数学2010年8月12文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

代数学波伦比亚大学的数学教授费罗(1465-1526)在1515年发现了形如的三次方程的代数解法。1535年意大利另一位数学家塔塔利亚(1499?-1557)宣称自己可以解形如两类型的所有三次方程2010年8月13文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

代数学2010年8月14文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

代数学2010年8月15文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

代数学在法国，数学家韦达(1540-1603)写了《分析引论》、《论方程的整理与修正》与《有效的数值解法》等方程论著作，其中包括给出代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法。2010年8月16文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

代数学代数学上的进步还在于引用了较好的符号体系，这对于代数学本身的发展以及分析学的发展来说，至关重要。正是由于符号化体系的建立，才使代数有可能成为一门科学。近现代数学最为明显的标志之一，就是普遍使用了数学符号，它体现了数学学科的高度抽象与简练。2010年8月17文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

代数学数学符号系统化首先归功于法国数学家韦达，由于他的符号体系的引入导致代数性质上产生重大变革。在《分析引论》中，他第一次有意识地使用系统的代数字母和符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量。他把符号性代数称为“类的算术”，同时规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算施行于具体的数。2010年8月18文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

代数学对韦达所使用的代数符号的改进工作是由笛卡儿完成的，他首先用拉丁字母的前几个(a，b，c，d，…)表示已知量，后几个(x，y，z，w，…)表示未知量，成为今天的习惯。到17世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学中可以使用符号具有很好的效果。并且使数学问题具有一般性。不过当时随意引入的符号太多，今天所使用的符号，实际使这些符号经过长期淘汰后剩下的。2010年8月19文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

三角学“三角学”，英文trigonometry，来自拉丁文trigonometria。在古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的学科，而是依附于天文学。最早使用trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯，德国人，1595年出版《三角学：解三角形的简明处理》，创造了这个新词。由triangulum（三角形）和metricus（测量）两字凑合而成。三角学输入我国，开始于明崇祯4年。这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部分呈现给朝廷。这是我国第一部三角学，卷首说明《大测》名称的意义：“大测者，测三角形之法也。”2010年8月20文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

三角学航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展。早期三角学总是与天文学密不可分。在1450年以前，三角学主要是球面三角，后来由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角。在欧洲，第一部脱离天文学的三角学专著是雷格蒙塔努斯(1436-1476)的《论各种三角形》，而在其另一部著作《方位表》中，制定了多达5位的三角函数表。雷格蒙塔努斯首次对三角学做出完整、独立的阐述，使其开始在欧洲广泛传播。2010年8月21文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

三角学哥白尼的学生雷提库斯(1514-1576)将传统的弧与弦的关系，改进为角的三角函数关系，并采用了六个函数，而且还编制了间隔为10``的10位和15位正弦表。三角学的进一步发展，是法国数学家韦达所做的平面三角与球面三角系统化工作。他在《标准数学》和《斜截面》二书中，把解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起。在16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。2010年8月22文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

从透视学到射影几何文艺复兴是14～16世纪反映西欧各国正在形成中的资产阶级要求的思想、文化运动。其主要中心最初在意大利，16世纪扩及德意志、尼德兰、英国、法国和西班牙等地。“文艺复兴”的概念在14～16世纪时己被意大利的人文主义作家和学者所使用。2010年8月23文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

从透视学到射影几何女诗人像意大利佚名壁画直径37厘米那不了斯国立古文物陈列馆藏此画绘制一位少女正在拿着写字板和笔作吟诗状。她的姿势是当时庞贝城少女肖像壁画中常用的一种姿势。整幅画面色彩变化柔和和圆润，充分体现出庞贝艺术家惊人的写实技巧和细致入微的洞察力。中世纪的名画2010年8月24文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

从透视学到射影几何亚当与夏娃意大利佚名镶嵌画藏处不祥这副作品描绘的是“人之师祖”亚当、夏娃在伊甸园生活的情景。亚当与夏娃在蛇的引诱下偷吃了树上的禁果后，被逐出了乐园，从而开始了人类的繁衍，同时也开始了人类的文明。画面中亚当、夏娃都赤裸着，但人体直立，没有体积感。用极省略的方法描写了人物脸部、手部。中世纪的名画2010年8月25文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

从透视学到射影几何维纳斯的诞生意大利波提切利布上蛋彩纵172×横283厘米佛罗伦萨乌菲齐美术馆藏此画通过对维纳斯伤感的神情和秀美的姿态的描绘，展现了一个复杂、矛盾而又富有诗意美的形象。在清晨宁静的气氛中，从海洋中诞生的维纳斯站在飘浮于海面的贝壳上，左边是花神和风神在吹送着维纳斯；右边是森林女神手持用鲜花装饰的锦衣在迎接维纳斯。文艺复兴时期名画2010年8月26文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

从透视学到射影几何蒙娜丽沙意大利达·芬奇板上油彩纵77×横53厘米巴黎卢浮宫藏这是达·芬奇的著名肖像画作品。它表达了达·芬奇的艺术思想。画面描绘了一位恬静端庄的美丽少女，她充满着对生活的喜悦和信心。画家敏捷地抓住少女一瞬间微笑的表情，表现出她微妙的心理活动，给观众以想象。2010年8月27文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

从透视学到射影几何最后的审判意大利米开朗基罗壁画纵1370×横1220厘米梵蒂冈西斯廷小教堂画家时年61岁，从1535年末到1541年10月底，用了近6年的时间，在将近200平方米的祭坛后的大墙上，绘出了数以百计真人大小的裸体群像。体现了画家的人文主义思想。要用正以惩罚一切邪恶，“末日”意味着人类悲剧的总崩溃。2010年8月28文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

从透视学到射影几何雅典学院意大利拉斐尔壁画纵279.4×横617.2厘米梵蒂冈赛那图拉大厅雅典学院是古希腊唯心主义哲学家柏拉图兴办的。拉斐尔在这副巨型壁画中，描绘了当时这个学院里的哲学家、科学家记忆艺术家们进行学术探讨的热烈场面。画面中央边走边议的是柏拉图和他的弟子亚里斯多德。2010年8月29文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

从透视学到射影几何文艺复兴时期几何创造其动力来自于艺术。中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性。而文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题：⑴一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？⑵从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？2010年8月30文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

从透视学到射影几何迪伊：“透视是说明所有光线直射、折射和反射的方式与性质的数学艺术”。这种艺术解释为什么“平行的墙在远处互相靠近”，为什么“地板和天花板是平行的，但一个向下，另一个向上，在离你很远的地方互相靠近”。2010年8月31文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

从透视学到射影几何第一个认真从事透视几何研究的意大利画家是布努雷契，而阿尔贝蒂于1435年写成了第一本透视学著作，名为《论绘画》。正是由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科——透视学的兴起，从而诞生了射影几何学。2010年8月32文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

从透视学到射影几何对于透视法所产生的问题从数学上直接给予解答的第一个人是德沙格。1636年，发表了第一篇关于透视法德论文，但他的主要著作是1639年发表的《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，书中引入70多个射影几何术语。这部著作中充满了创造性的思想，如从焦点透视的投影与截影原理出发，对平行线引入无穷远点的概念，继而获得无穷远线的概念。2010年8月33文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

从透视学到射影几何德沙格等人把这种投影分析方法和所获得的结果，视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区分。射影几何产生后不久，很快就让位于代数、解析几何和微积分，终由这些学科进一步发展出在近代数学中占中心地位的其它学科。德沙格等人的工作与结果也渐被人们所遗忘，迟至19世纪才又被人们重新发现。2010年8月34文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

计算技术与对数这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它的产生主要是由于天文和航海计算的强烈需要。苏格兰贵族数学家纳皮尔(1550-1617)正是在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法的。著有《奇妙的对数定理说明书》2010年8月35文艺复兴时期的数学向近代数学的过渡

计算技术与对数对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲。可以说，到16世纪末、17世纪初，整个初等数学的主要内容基本定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路。2010年8月36文艺复兴时期的数学解析几何的诞生到了16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。这就迫切地需要一种新的数学工