2025年高中数学学业水平（合格考）知识点

数学学业水平合格考知识点汇编

集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念

1.元素与集合的含义

一般地，我们把研究对象统称为元素。元素常用小写字母a、b、c……表示.把一些

元素组成的总便叫做集合，简称为集.集合常用大写字母A、B、C……表示。

集合相等：只要构成这两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的。

2.集合的三个性质：1.确定性2.互异性3.无序性

3.元素与集合的关系

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作：aeA

如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作：a£A

4.常见数集及表示符号

(1)N(2)N*或N+(3)Z(4)Q(5)R

L2集合间的基本关系

1.子集的概念

文字语言符号语言图形语言

一般地，对于两个集合A,B,如果集

合A中任意一个元素都是集合B中的ACB（或B2A）⑥或色)5

元素，就称集合A为集合B的子集

2.集合相等的概念

一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任意一个

元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等，记作红，也就是说，若AGB,

且BCA,则人=：8.

3.真子集的概念

文字语言符号语言图形语言

如果集合AGB,但存在元素xCB且

A£B

x£A,就称集合A是B的真子集

4.空集

⑴定义：不含任何元素的集合叫做空集.(2)用符号表示为：0.(3)规定：空集是任何

集合的子集.

1.3集合间的基本运算

1.并集

文字语言：一般地，由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B

的并集。

符号语言：或xGB}图形语言：

2.交集

文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合3的元素组成的集合,称为集合A

与B的并集。

符号语言：4/5={正©4,且xe®图形语言:

3.并集与交集的运算性质

并集的运算性质交集的运算性质

AUB=BUAAnB=BQA

AUA=AAAA=A

AU0=AAC0=0

AGB』UB=BA，B*CB=A

4.全集

如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.通常

记作U.

5.补集

对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成

文字语言的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为补集,

记作C%

符号语言Ct^4={x|xGU,%WA}

图形语言

6.补集的性质

(l)AU(CuA)=U.(2)AA(CuA)=0.(3)CuU=0,Cu0=U,Cu(CuA)=A.

(4)(CuA)n(CuB)-B).(5)(CuA)U(CuB)=Q(4rB)

1.4充分条件与必要条件

L充分条件与必要条件

命题真假“若P，则q”是真命题“若P，则q”是假命题

推出关系p*qp与q

p是q的充分条件p不是q的充分条件

条件关系

q是p的必要条件q不是p的必要条件

2.对充分条件和必要条件的进一步划分:

条件p与结论q的关系结论

p因，且q力pp是q的充分不必要条件

qnp,且p力qp是q的必要不充分条件

pnq,且q=p,即p«qP是q的充要条件

p力q,且q/pp是q的既不充分也不必要条件

1.5全称量词与存在量词

1.全称量词与全称量词命题

(1)全称量词：短语“所有的、任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“显”表

示.

(2)全称量词命题：含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.表述形式：全称量

词命题”对M中任意一个x,“(X)成立“，可用符号简记p(x).

2.存在量词与存在量词命题

(1)存在量词：短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量回，用符号“3”表

示.

(2).存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题一.表述形式：存在

量词命题“存在M中的元素x,使p(x)成立"，可用符号简记为索x).

3.含量词的命题的否定形式

命题命题的否定结论

全称量词命题VxWM,p(x)mX£YCX）全称量词命题的否定是在衣命题

存在量词命题mxWM,p(x)PxRM,R（x）存在量词命题的否定是全称命题

第二章二次函数与一元二次方程、不等式

2.1等式性质与不等式性质

1.比较两实数跖6大小的依据

p口果那么a>b

比较两依据S口果a—2r<0,那么a<b_

实数a,b血果a7二°，那么上丑-一

的大小'结论：确定任意两个实数毛方的大小关系，只

需确定它们的差a-3与0的大小关系

2.不等式的性质

(1)a>b^<a；(2)a>b,b>c=>a>c；(3)a>bna+c>b+c；

(4)a>b,c>O=>ac>bc,a>b,c<O=>ac<bc；(5)a>b,c>dn〃+c>b+"；

nn

(6)a>b>0,c>d>0=>ac>bd；(7)a>b>O=>a>b(n^N9n>2).

2.2基本不等式

1.重要不等式：Va,b£R,有日2+匕2之2@b,当且仅当a=b时,等号成立。

2.基本不等式：若a>0,b>0,用瓜，斯代替重要不等式中a,b,得手之痫,当且

仅当a=b时,等号成立。小叫做a,b的算术平均数,&而为a,b的几何平均数。3.

2

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

一元二次不等式的一般形式是：af+tx+cXXaWO)或依2+法+。<0(<#0)

2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

A=b2~4acA>0A=0A<0

■

丁=苏+加:+(?(〃>0)的图象

Ax^yxX

V2

有两个相等的实

有两个不相等的实

加+6%+0=0(〃>0)的根b无实数根

数本艮XI,X2(X1<X2)数根X1=X2=一五

b

加+笈+。>0(〃>0)的解集{%|%>%2或X<X1}{4#一五}R

加+6%+C<0(〃>0)的解集{%|X1<X<X2}00

第三章函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

1.函数的概念

一般地，设A,B是非空实数集，如果对于数集B中任意一个数x,按照对应关系，

在数集B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称f:AtB为集合A到集合B的一个函

数，记作y=f(x),xFAo

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫

做函数值，函数值的集合(f(x)\xEA)叫做函数的值域.

2.区间的概念

设a,b是两个实数，而且a〈b,我们规定：

(1)满足不等式aWxWb的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,句。

⑵满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)。

⑶满足不等式a<x<b或a<x<b的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示为［Q,b),(a,b］。

3.函数的表示

要点定义符号

函用数学表达式表示两个变量之间的

解析法优点：简明；给自变量求函数值

数对应关系

的列出表格来表示两个变量之间的对

列表法优点：直观形象，反应变化趋势

表应关系

示用图象来表示两个变量之间的对应

图象法优点：不需计算就可看出函数值

法关系

f/WxeA

分段函数不同范围的X,对应关系不同的函数y=5

[g(x)xeB

(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法

则的函数。

(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;

各段函数的定义域的交集是空集。

(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象。

3.2函数的基本性质

L函数的单调性

前提条件设函数f(x)的定义域为/,区间层/

Vx1,x2£D,%i<x2

条件

都有Axi)<AX2)都有AxD>r(x2)

y

曲)y

/w

图示他)代2)

0X1X2冗0%％4

结论f(x)在区间。上单调递增F(x)在区间。上单调递减

特殊当函数f(x)在它的定义域上单当函数f(x)在它的定义域上单调

情况调递增时，我们就称它是增函数递减时，我们就称它是减函数

2.函数的单调，性与单调区间

函数y=F(x)在区间D上是单调递增或单调递减，则函数在区间。上具有(严格的)单调

性，区间。叫做函数的单调区间。

注意：单调性是局部概念，不是整体概念.区间。可能是定义域的一个子区间。

3.函数的最大值和最小值

前提设函数尸F(x)的定义域为/,如果存在实数欣或血满足

(l)Vx^L都有/1(x)WN(3)Vx^I,都有/tx)》加；

条件

(2)3x0GI,使得f(x0)=M(4)Ex0GI,使得f(x0)=m

结论〃为函数y=/,(%)的最大值"为函数y=/,(%)的最小值

注意：(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域。

(2)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在.若单调函数的值域是开区间,

则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值。

4.函数的奇偶性

前提函数Hx)的定义域为/,Vx^I,都有一xG/

条件A—x)=f(x)f(—x)=-f(x)

结论函数/•(》)叫偶函数函数/1(%)叫奇函数

5.图象特征

⑴偶函数的图象关于y轴对称.(2)奇函数的图象关于原点对称。

注意：若奇函数f(x)在x=0处有意义，则£(0)=0,图象经过原点；若奇函数f(x)在

x=0处无意义，图象就不经过原点。

3.3塞函数

1.募函数的概念

定义：形如y=xa的函数叫做基函数，其中,X是自变量，a是常数。

2.五个具体累函数:

(1)图像

(2)y=xy=x3y=/y二/

定义域RRR{x\x>0]{x|x丰0}

值域R[y\y>o}R[y\y>o){y\y丰0)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

(-00,0)单调递

单调单调(-8,0)单调递减；

单调性减；单调递增

递增递增(0,+8)单调递减

(0,+8)单调递增

定点(1,1)

3,易函数性质归纳：

⑴所有的募函数在(0,+8)都有定义，并且图象都过点(1,1)；

⑵当£＞0时，基函数的图象通过原点，并且函数在区间［0,+00)上是增函数；

⑶当々＜0时，募函数的图象不过原点，募函数在(0,+00)上是减函数.且X轴与y轴是

募图象的渐近线；

⑷当。＞1时，募函数的图象下凸；当0＜夕＜1时，募函数的图象上凸；

⑸当a为奇数时，募函数为奇函数；当a为偶数时，募函数为偶函数。

(6)基函数在第四象限无图象。

3.4函数应用

1.函数的零点

对于函数y=/(x),我们把使f(x)=O的实数x叫做函数y=/(x)的零点。

方程、函数、图象之间的关系：

方程五x)=0有实数解台函数y=Xx)有零点台函数y=/(x)的图象与x轴有交点。

2.函数零点存在定理

如果函数y=Ax)在区间3,加上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)<0,那

么，函数y=«x)在区间(。，。)内至少有一个零点，即存在c©(a,b),使得f(c)=O,这个

c也就是方程火x)=0的解。

3,二分法

对于在区间［a,0］上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=/(x),通过不断地把函数人x)

的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，得到零点近似值的方法

叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解。

4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

(1)确定零点xo的初始区间［a,b］,验证f(a)f(b)<0。

(2)求区间(a,0)的中点c。

(3)计算五c),并进一步确定零点所在的区间：

①若五c)=0(此时xo=c),则c就是函数的零点；

②若火。)次。)<0(此时xoG(a,c)),则令。=c；

③若7(c)；/(0)<0(此时xoG(b,c)),则令。=c。

(4)判断是否达到精确度e：若|a—加<£,得零点近似值a(或份；否则重复(2)〜(4)步。

记忆口诀：

定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么

办？精确度上来判断。

第四章指数函数与对数函数

4」指数

1.根式及相关概念

(1)a的〃次方根：如果#=a,那么x叫做a的几次方根，其中〃>1,且“GN*。

(2)根式定义：式子名叫做根式，这里〃叫做根指数，。叫做被开方数。

2.根式的性质(〃>1,且“GN*)

(1)〃为奇数时，々疝=a.(2)〃为偶数时，yla"=\a\=i°—。，

(a,a<Oo

(3)*=0.(4)负数没有偶次方根.

3

-正数的正分数指数累的意义是M笛i).

正数的负分数指数累的意义是二_」一M〃i).

cin———I—>untiteN*葭>

0的正分数指数累等于0;0的负分数指数累凌有意义.

4.有理指数募运算性质：

(])aras=ar+s{a>0,r,5e2).(2)(ar)s=ar\a>0,r,seQ).

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,reQ)

5.实数指数幕运算性质：

s

(1)aras=ar+s(a>0,r,sGR)；(2)(ar)=ars(a>0,r,sGR)；

(3)(ab)=arbr(a>0,b>0,rGR).

4.2指数含函数

L指数函数

一般地，函数y=ax(a>0,且a/1)叫做指数函数，指数x是自变量，定义域是R。

注意：(1)指数函数的解析式具有三个特征：底数a为大于0且不等于1的常数；指

数位置是自变量x；a，的系数是1。

(2)求指数函数的关键是求底数a,并注意a的限制条件。

2.指数函数图像及性质

底数条件a>l0<a<l

了

图象

.__产1

A

定义域R值域(0,+00)

单调性单调递增单调递减

奇偶性非奇非偶函数

定点(0,1)

3.在第一象限，指数函数底数的变化规律为：

①底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称；

②在第一象限，从x轴到y轴逆时针旋转，底数a不断增大;

③a>l时，a越大，函数图象变化越快；

时，a越小，函数图象变化越快。

4.3对数

1.对数的概念

(1)若/=Ma〉O,且aWl),则x叫做以a为底N的对数，记作x=log*其中a叫做

对数的底数，N叫做真数。

(2)^=NQx=\ogaN.

⑶常用对数：以10为底，记作1g4自然对数：以无理数e^2.718…为底，记作In儿

2.对数的基本性质

=

(1)负数和0没有对数；(2)logal=0；(3)loga31.

3.对数恒等式

10

(1)loga心=N；(2)a^=N

4.对数的运算性质

如果a>0,且aWl,M>0,N>0,那么

(1)loga(M>=log』+loga7V；(2)loga-=logaJ7—log^；

(3)loga〃"=〃logJ/(〃eR).

5.换底公式

若a〉0,且aWl；b>0；c>0,且cWl,贝U有log、力=

logca

4.4对数函数

1.对数函数概念：函数y=log/(a>0,且aWl)叫做对数函数，其中x是自变量，定义

域是(0,+00).

注意：①a>0,且aWl；②logax的系数为1；③自变量x的系数为1.

2.对数函数的图象及性质

0<3<1a>1

T‘1x7}

；y=logj(a>l)

图象

J\：(1,0)

°。加⑼：

y=logflx(0<a<l)

定义域/值域(0,+8)/R(0,+8)/R

过定点(1,0),即x=l时，y=0

性质

在(0,+8)上是单调递减在(0,+8)上是单调递增

3.反函数

指数函数丁="与对数函数y=log/(a〉0,且aWl)互为反函数，定义域与值域正好互

换.

4.三种函数的性质及增长速度比较

指数函数对数函数一元一次函数

解析式y="(a>l)y=logj(a〉l)y=kx(k>6)

单调性在(0,+8)上单调递增

图象

逐渐与y轴平行逐渐与X轴平行直线逐渐上升

(随X的增大)

增长速度

y的增长速度越来越快y的增长速度越来越慢y值增长速度不变

(随X的增大)

增长关系存在一个％0，当X>Xo时，">Ax>log/

第五章三角函数

5.1任意角和弧度角

1•角的概念

角可以看成一条用纸绕着端点旋转所成的图形.角的三要素顶点、始边、终边

2.任意角的分类

类型定义图示

一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成

正角

的角04——4

一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成Oy-------

负角

的角X：

一条射线没有任何旋转,称它形成了一个零

零角0A

角

3.象

限角

如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合,那么，角的终边在

第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于

任何一个象限.

4.终边相同的角

所有与角。终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合S={£l8=a+/?360。，左

©Z},即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

5.度量角的两种制度

(1)角度制.

定义：用度作为单位来度量角的单位制.1度的角等于周角的心，记作1°.

⑵弧度制

定义：以弧度为单位来度量角的单位制.规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心

角叫做1弧度的角.弧度单位用符号皿表示，读作弧度

一般地，正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是2

半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为则角。的弧度数的绝对值是1。|=/

qr

1°=—^—rad«0.01745rad

180

180°=TTrad

1rad=（尊）。«57.30°

6.常用特殊角的弧度数

30°45°60°90°120°135°150°180°

a71n717127r37r57r

IT

6432V~6

1V2V3V3_V21

sina10

2TT22

V3V2i_1_V3

cosa0_V21

~2T222一_r

V3_V3

tanaiV3-V3—0

T~T

210°225°240°270°300°315°330°360°

a77r57r47r37r57r77rlln

2TT

~6TTT-3~彳6

1_V2_V3_V3_V2_1

sina-10

~222--2~22

_V3_V211V2V3

cosa01

2一_2~22TT

V3_V3

tana1V3-V3-10

T3

角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起.一一对应关系:

每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，任一个实数也

都有唯一的一个鱼（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.

7.弧度制下的弧长公式与扇形面积公式

⑴弧长公式：在半径为r的圆中，，=|a|r,其中a的单位是弧度.

⑵扇形面积公式：在半径为r的圆中，其中a的单位是弧度.

5.2三角函数的概念

1.任意角的三角函数的定义

如图，设a是一个任意角，它的终边与

前提

单位圆交于点P(x,y)

正弦纵坐标工叫做a的正弦函数，记作sina=y。

横坐标x叫做a的余弦函数，记作coscr=_

余弦

XO

定义正切比值丫叫做a的正切，记作tana=丫(》关0)。

XX

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的

三角函数纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函

数。

2.三角函数值的符号

y,y..y,闻"1己口诀：

+_____二二______二二_____二一全正、二正弦、

0三0《0三

++三正切、四余弦。

sinacosatana

3.终边相同的角的同一三角函数的值相同，由此得到一组公式(诱导公式一)：

sin(a+1・2n)=sina,cos(a+左•2n)=cosa,tan(a+左•2n)=tana,

其中k^Z.

4.同角三角函数的基本关系

关系式文字表述

22

平方关系sinCL+cosCL=1同一个角a的正弦、余弦的平方和等于L

sina,…同一个角a的正弦、余弦的冏等于角a的正

商数关系----=tana

cosa切.

5.3诱导公式

1.诱导公式二2.诱导公式三3.诱导公式四

sin（—a）=—sina,sin（兀+«）=­sinasin（兀一a）=sina

-­

cos（a）=cosa,cos（7i+tz）=­cosacos（兀-a）=cosa

tan（-a）=—tanatan（兀+a）=tanatan（兀—a）=­tana

4.诱导公式五5.诱导公式六

sm（2—«）=cos«,sin（/+a）=cosa,

cos（2—«）=sinacos（^+a）=—sina

6.对诱导公式一〜六的两点说明

诱导公式一〜六揭示了终边具有某种对称关系的两角的三角函数之间的关系.

5.4三角函数的图象与性质

1.正弦曲线：正弦函数的图像叫做正弦曲线,是一条连续光滑曲线;

余弦曲线：余弦函数的图像叫做余弦曲线,是一条连续光滑曲线

2.函数的周期性：设函数f(x)的定义域为D,若存在一个非零常数T,使任意xGD都

有x+TCD,且f(x+T)=f(x),则函数f(x)就叫做周期函数。工叫做这个函数的周期。

最小正周期：在周期函数f(x)的所有周期中存在的一个最小正数。

3.函数的奇偶性

对函数f(x),如果VxCL都有—XCL且f(-x)=-(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.

对函数f(x),如果VxCL都有一xCI,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数

4.函数的单调性

如果VX1，X2eD,当X1<X2时，都有f(Xi)<f(X2),那么就称函数f(x)在区间D上

单调递增.特别的,当函数在它的定义域上单调递增时,我们称它为增函数。

如果VX1，X2eD,当X1<X2时,都有f(Xi)>f(X2),那么就称函数f(x)在区间D上

单调递减.特别的，当函数在它的定义域上单调递减时，我们称它为减函数。

5.正弦函数汇总

函数y=sinx

y

zy八一

图象

定义域R值域[T，1]

(。,。),住,1),(n,0),----1),(2n,0)

五点法

周期2ku(kEZ)最小正周期2TT

奇偶性奇函数

对称中心(ku,0)(kEZ)

对称轴x=ku+-(kEZ)

2

在每个闭区间[—：+2kn,5+2kn](kCZ)上单调递增

单调性

在每个闭区间(+2kn,y+2kir](kGZ)上单调递减

x=2kir+(keZ)时，ymax=1

最值性

X=2kTT+y(kCZ)时，ymin=1

6.余弦函数汇总

函数y=cosx

J卜八,

图象

-V.

定义域R值域[-1,1]

五点法(0,1),g,o),(1T,-1),修,0),(211,1)

周期2ku(kGZ)最小正周期2n

奇偶性偶函数

对称中心(ku+p0)(kez)

对称轴x=kn(kGZ)

在每个闭区间[-TI+2k呜2kn](kGZ)上单调递增

单调性

在每个闭区间[2kh,it+2kn](kGZ)上单调递减

x=2kn(kEZ)时，ymax=1

最值性

x=2kn+ii(keZ)时，ymjn=1

7.正切函数的图象与性质

解析式y=tanx

1

!1：isI:

)\

图象-却尸/陛.

田、

定义域xwku+2(keZ)

2

值域R

最小正周期2TI

奇偶性奇函数

单调性在每一个区间aCZ)上都单调递增

对称性对称中心依Z)

5.5三角恒等变换

1、两角和差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(a+S)=sinacosp+cosasinp

(2)sin(a—p)=sinacos0—cosasin0

(3)cos(a+似=cosacos(J—sinasinp

(4)cos(a-S)=cosacosfi+sinasinp

(5)tan(a+g)=tana+tan/?

尸1-tanatan)?

(6)tan(a—俊=tana-tan/?

'11+tanatan)?

2、二倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa

(2)cos2a=cos2a—sin2a=1—2sin2a=2cos2a—1

(3)tan2a=2tana

1-tan2a

5.6函数y=Asin((nx+(p)

左加右减平.横坐标变为原来的工(U倍

1.y=sinx)v=sin(x+<p))y=sin(o)x+(p)

|(p|个单位长度纵坐标不变

纵坐标变为原来的

>V=Asin(o)x+(p)

横坐标不变

横坐标变为原来的《U)倍左加右减平移

2.y=sinx,y=sin(u)x)Icpi人Xdi/4y=sm(3x+(p)

纵坐标不变5个单位长度

纵坐标变为原来的A倍

>y=Asin(a)x+(p)

横坐标不变

第六章平面向量及其应用

一、向量的概念

1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量.（没有位置、不能比较大小）

2、向量的模：向量AB的大小——长度称为向量的模，记作能比较大小）

向量的模：问=Jea=也2+,.

3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作0.（注意。与o的含义与书写区别）

a

4、单位向量：长度为一个单位长度的向量.与非零向量a共线的单位向量％=±时.

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5、平行向量：（1）若非零向量八b的方向相同或相反,则a//b,又叫共线向量；

（2）规定。与任一向量平行.

三点A、B、C共线。AB、AC共线

O沆=一逾+”加入+仇=1.

共线定理：b=4%,

向量平行无传递性，即a//6,b〃c不能推出a〃匕〃e（b可能为。）.

注意：共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.

6、相等向量：若非零向量a、b方向相同且模相等,则向量a、b是相等向量.

（1）相等向量：。=万=模相等，方向相同；

⑵相反向量：：模相等，方向相反.

二、向量的加法

1、三角形法则：首尾相连,起点指向终点.

(1)(2)(3)

注意：（1）和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点.

（2）零向量与任一向量°的和都有a+0=0+&=d.

2、平行四边形法则：共起点,四边形,对角线.

a

3、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

三、向量的减法

1、相反向量：与.长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a.

(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)-(-.)=°；

(3)a+(-a)=(-a)+a=。；(4)若a与6互为相反向量，则a=-b9b=-aa+b=O・

2、向量的减法：共起点,指向被减向量.

四、向量的数乘及数量积

1、向量数乘的定义：实数2和向量a的乘积是一个向量，记作曲.

(1)向量的模(长度)：回=卧4

(2)方向：当；1>0时，与a同方向；当/<。时，与a反方向.

(3)运算律：设大、HeR,贝!!①(九'6a=&+/M,②%(〃a)=(4〃)a；③)(a+b)=夭°+Xb.

注意：4a的结果为应量,所以当2=。时，得到的结果为。而不是。.

2、平面向量数量积(内积)的定义：面斗cos6>(0V6>W%).

非零向量a与b的夹角：.

⑴两个向量的数量积是一个土规定。与任何向量的数量积为Q

(2)运算：(a±5)2=a?±2a-b+t>一,5+切6一加=，

(3)向量a%=1不能推出a=c.

a-b

(4)cos(a,6)=lx叱+坐

\d\x\b\

3、向量b在a方向上的投影：设。为八b的夹角，则斗cos。为6在a方向上的投影.

6在a方向上的投影向量为：同cos他=\b\cosO^.

4、向量的坐标运算：

<1>坐标形式：4=（孙％）、b={x2,y2）

（1）向量的模：@=JxJ+yj.

（2）加法：d+b=（^+x2,%+%），；（3）减法：a-b=（Xj-x2,另一%）;

⑷数乘：2a=（2%1，2%）;（5）数量积：=玉+）1•

向量五与向量6共线：x1y2-x2ji-0;向量向量6（五•石=0）：xrx2+

y，2=°,

<2>A（X1；%）、8（尤2，%）,则AB=（9-勺%-乂），

网=、/（%-%）2+（%二疗.（两点间距离公式）.

五、正余弦定理

1、余弦定理:适用于已知两边及其夹角求第三边;已知三边求一角.

b2+c2-a2

a2-b2+c2—2bccosA；cosA=

2bc

22_2

222a+cb

b-a+c—2accosB；cosB二

2ac

b2+a2-c2

c2=b2+a2—2bacosC；cosC=

2ba

2、正弦定理:适用于已知两角及一边解三角形;已知两边及其中一边的对角解三角

形（此情况要注意是否有两个解）.

-^―——^―-—^―-=2R；

sinAsinBsinC

a：b：c=sinA：sinB：sinC；

a=2RsinA；b=2RsinB；c=2RsinC

3、三角形面积公式:S/=^absinC=acsinB=^bcsinA.

第七章复数

一、复数的概念

1、概念：复数是形如a+瓦形，b£R)的数,工是虚数单位，i2=-l,生是实部，上是

虚部。

实数满足：b=0-,虚数满足：bWO；纯虚数满足：b#0,a=0。

2、复数相等：a+bi=c+di(a,b,c,d@R),只需a=c,b=d.

3、几何意义：复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)一一对应，与平面向量而一一

对应.(复平面中x轴叫儆实轴,y轴叫瞰虚轴)

4、复数的模：复数z=a+bi的模或绝对值记作|z|或|a+bi|,即|z|=E+

bi|="a2+b2,其中a,b©R.

5、共甄复数：复数z=a+bi的共输复数为Z=a-bi.

二、复数的运算

1、加法运算：

2、减法运算：毋叶玩9一^付十遍=€«—e)+(b—d)i

3、乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i(注意：r=-7)

4、除法运算：①写成分式形式；②分子分母同乘分母的共物要教

第八章立体几何

一、基本立体图形

直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；平行六边形：底面是平行四边形的四棱柱.

二、立体图形的直观图

1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：

（1）画轴：在已知图形中取互相垂直的X轴和y轴，两轴相交于点0,画直观图

时，把它们画成对应的X，轴和V轴，两轴交于0、且使Nk'0y'=45。（或135°）,它们

确定的平面表示水平面.

（2）画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于X，轴

或y'轴的线段.

（3）取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变平行于y轴的

线段，在直观图中长度为原来的一半.

2、空间几何体直观图的画法：

（1）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是力

轴.

（2）画底面：平面x，0y表示水平平面，平面y，0N和x，0N表示竖直平面.

（3）画侧棱：已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中平行性和

长度都不变.

（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.

三、简单几何体的表面积与体积

1、圆柱、圆锥、圆台的体积公式

柱体的体积公式（S为底面面积，h为高）；

锥体的体积公式V=l/3Sh（S为底面面积，h为高）；

台体的体积公式V=l/3（S，+闻+S）h.

2、球的表面积和体积公式：

设球的半径为R,则球的表面积S=4TIR2,球的体积片4/3兀R3.

3、内切球与外接球

（1）球心到某几何体各面的距离相等且等于半径的球是几何体的内切球.

（2）正多面体各顶点同在一球面上，这个球叫做正多面体的外接球.

（3）特殊内切球与外接球计算

①球外接于长方体，球的直径是长方体的体对角线（履+受+"a、b、c分别为

长方体的长、宽、高）。

②球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径;

③球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

四、点